Функция, ее свойства и график

1. «Функция, ее свойства и график»

«ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И
ГРАФИК»
Учебное пособие по дисциплине
«Математика»
Преподаватель: Шевченко О.А.

2. Переменные

ПЕРЕМЕННЫЕ
(Различные меняющиеся
величины Т,V,p,I,U,S,t…..)
независимые
X
Рене́ Дека́рт
1596 — 1650,
— французский
математик,,
создатель
аналитической
геометрии и
современной
алгебраической
символики
зависимые
y
Реальные процессы связаны с большим количеством
переменных и зависимостей между ними.
Изучение зависимостей между
переменными - наша главная задача.

3. Простейшие зависимости

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАВИСИМОСТИ
1. Пропорциональная зависимость: у=кх, к- постоянное
число.
График: прямая.
2.Обратно пропорциональная зависимость: у=к/х, кпостоянное число, к≠0.
График: гипербола.
3.Квадратичная зависимость: у = ах2 +bх+с.
График: парабола.
Пример: I=U/R

4. Определение функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
Функция – это такая зависимость переменной у от
переменной х, при которой, по некоторому правилу,
каждому значению х соответствует одно единственное
значение у.
у есть функция от х.
Обозначают:
y f (x).
Переменная х называется независимой переменной или
аргументом функции.
Переменная у называется зависимой переменной или
функцией.

5. Способы задания функции:

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ:
Аналитический(формулами)
2
1
)
S
R
;
например:
Табличный
(на практике часто приходится пользоваться таблицами
значений функций, полученных опытным путём или в
результате наблюдений)
Графический(задаётся график функции).

6. График функции

ГРАФИК ФУНКЦИИ
Графиком функции y = f(x) называется
множество точек (х; у) плоскости О х у,
координаты которых связаны соотношением y
= f(x).
Само равенство y = f(x) называется уравнением
этого графика.

7. Область определения функции

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
Совокупность всех значений аргумента х, для которой
функция y=f(x)определена, называется
областью определения этой функции
(обозначают D(f(x)) или D(у)).
10
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10

8. Область значений (множество значений) функции

ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ (МНОЖЕСТВО
ЗНАЧЕНИЙ) ФУНКЦИИ
Совокупность всех значений, принимаемых
переменной у, называют
областью значений функции y=f(x)
(Обозначают Е(f(x))или Е(у)).
10
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

9. Нули функции

НУЛИ ФУНКЦИИ
Точки, при которых функция обращается в нуль (
решения уравнения f(x)=0).
10
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-10 -9 -8
-7 -6 -5 -4 -3
-2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

10. Промежутки знакопостоянства

ПРОМЕЖУТКИ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА
Интервалы, на которых функция положительна или
отрицательна (решение уравнений: f(x)>0 и
f(x)<0).
10
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-10 -9 -8
-7 -6 -5 -4 -3
-2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

11. Точки экстремума (критические точки)

ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА (КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ)
Точки, лежащие внутри области определения, в которых
функция принимает или самое большое(max) значение или
самое малое( min)значение по сравнению со значением в
близких точках. Значение переменной х в данном случае
называется точкой экстремума, а точка графика с
координатами (х;у)- экстремумом функции.
10
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-10 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

12. Свойства функции

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
монотонность
наибольшее и
наименьшее
значения
ограниченность
выпуклость
четность
свойств
а
функции
периодичность
непрерывность

13. Монотонность

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
МОНОТОННОСТЬ
Возрастающая
Функцию у = f(х) называют
возрастающей на множестве Х,
если для любых двух точек х1 и
х2 множества Х, таких, что х1 <
х2, выполняется неравенство
f(х1) < f(х2).
f(x2)
f(x1)
х1
x2
Убывающая
Функцию у = f(х) называют
убывающей на множестве
Х,
если для любых двух точек
х1 и х2 множества Х, таких, что
х1 < х2, выполняется неравенство
f(х1) >f(х2).
f(x1)
f(x2)
x1
x2

14. Непрерывность

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график
функции на промежутке Х сплошной, т.е. не имеет проколов и
скачков.
Задание: Определите, на каком из рисунков изображен график
непрерывной функции.
подумай
правильно
5
4
3
2
1
0
-4
-2
-1 0
-2
-3
-4
-5
2
4
6

15.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ЧЕТНОСТЬ
Четная функция
Нечетная функция
Функция y = f(x) называется четной, если
при всех значениях аргумента f (-x) = f (x).
Четная функция симметрична
относительно оси ординат.
Функция y = f(x) называется нечетной,
если если при всех значениях аргумента f
(-x) = -f (x). Нечетная функция
симметрична относительно начала
координат.

16. Выпуклость

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ВЫПУКЛОСТЬ
Функция выпукла вниз на
промежутке Х, если, соединив
любые две точки ее графика
отрезком прямой, мы обнаружим,
что соответствующая часть графика
лежит ниже проведенного отрезка.
Функция выпукла вверх на
промежутке Х, если соединив
любые две точки ее графика
отрезком прямой, мы обнаружим,
что соответствующая часть графика
лежит выше проведенного отрезка.

17. Ограниченность

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
ОГРАНИЧЕННОСТЬ
Функцию у = f(х) называют
ограниченной снизу на множестве
Х, если все значения функции на
множестве Х больше некоторого
числа.
у
Функцию у = f(х) называют
ограниченной сверху на множестве
Х, если все значения функции на
множестве Х меньше некоторого
числа.
у
х
х

18. Наибольшее и наименьшее значения

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
Число m называют наименьшим
значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
1)
в Х существует такая точка х0, что
f(х0) = m.
2)
для всех х из Х выполняется
неравенство
f(х) ≥ f(х0).
10
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Число M называют наибольшим
значением функции
у = f(х) на множестве Х, если:
1)
в Х существует такая точка х0, что
f(х0) = M.
2)
для всех х из Х выполняется
неравенство
f(х) ≤ f(х0).

19. периодичность

ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Функция
y = f (x)называется периодической,
если существует такое числоT≠0, что для
каждого х из области определения функции
значения х + Т и х -Т также принадлежат её
области определения, и при этом выполняются
равенства
f ( x – T ) = f ( x ) = f ( x + T ).
Число Т называется
периодом функции y = f(x).

20.

y
Масштаб :3
1
2
3
2
3
2
2
0
2
−1
2
x

21. Закрепление

ЗАКРЕПЛЕНИЕ
Опишите свойства функции по ее графику:
1.у=│x│

22.

2.