lek_05_25 (1)

1. Лекция № 5

КОЛЕБАНИЯ

2.

Колебания – это движения или
процессы, характеризуемые той или иной
степенью повторяемости во времени (в
природе: колебания уровня воды в
водоемах, биение сердца и т.д.).
В технике колебания могут играть
как положительную роль (маятник,
колебательный контур и т.д.), так и
отрицательную (вибрации машин и
сооружений и т.д.).

3.

x x t
Колебания физич. величины
x
x
x
0
0
0
t
а)
t
б)
t
в)
Периодические колебания x t x t T
Период колебаний T – наименьший
интервал
времени,
определяющий
повторение значения функции x(t).
1
Частота колебаний
ν
T
–1
В СИ T =[с], ν = [Гц], [1 Гц]=[1с ]

4. Гармонические колебания

– простейшие периодические колебания,
при которых изменение физической
величины происходит по закону синуса
или косинуса.
x A cos 0t , x A sin 0t , (5.1)
где A – амплитуда колебаний, (ω0t + ) –
фаза колебаний, – начальная фаза.
ω0 – круговая или циклическая
частота гармонических колебаний:
2
0
2 ν
T
В СИ ω0=[с–1]

5.

x A cos 0t ,
dx
x A 0 sin 0t
dt
2
d x
2
x 0 A cos 0t
2
dt
x
Дифференциальное уравнение (ДУ)
гармонических колебаний:
2
x 0 x 0
– однородное ДУ второго порядка, его
общее решение имеет вид (5.1).

6.

x
T
A
0
A
t

7. Векторная диаграмма

Представим гармоническое колебание как
результат вращения
на плоскости вектора
амплитуды A. Проекция вектора на ось
совпадает с уравнением
A гармонического колебания
Ax x A cos 0t
За время полного
A
оборота A его
0t
0
О
Ax
проекция
x совершит полное
колебание вокруг
т. O.

8. Сложение гармонических колебаний одного направления равных частот

Рассмотрим сложение колебаний
и
x1 A1 cos 01t 1
x2 A2 cos 02 t 2
x x1 x 2
Пусть 01 02 0
Воспользуемся методом векторной
диаграммы.

9.

1 01t 1, 2 02t 2 , 2 1
A 2 A12 A22 2 A1 A2 cos 2 1
A2 A12 A22 2 A1 A2 cos
A
A2
2
1
О x
2
A1
x1
x
(5.2)
A1 sin 1 A2 sin 2
tg
(5.3)
A1 cos 1 A2 cos 2
0 A A1 A2
A A1 A2
x Если A = A ,
1
2
то A = 0 – происходит
гашение колебаний.

10. Сложение гармонических колебаний одного направления близких частот

Когерентные колебания – это
согласованные во времени и пространстве
колебания, у которых разность фаз
Ф= Ф2–Ф1= const,
не зависит от времени t.
При
сложении
когерентных
гармонических
колебаний
амплитуда
результирующего колебания (см. (5.2)),
остается постоянной.

11.

При сложении некогерентных колебаний
x1 A1 cos 01 t t 1 t ,
x2 A2 cos 02 t t 2 t ,
(5.4)
их разность фаз изменяется во времени
t 2 t 1 t
амплитуда
A
результирующего
колебания будет, согласно (5.2), изменяться
по закону косинуса, т.е. вектор амплитуды
будет пульсировать по величине.

12.

Рассмотрим сложение колебаний с
01 const, 02 const, 1 const, 2 const
01 02 . В результате получаем
и
биения – колебания с периодически
изменяющейся амплитудой.
Пусть
A1 A2 A, 1 2 0, тогда
x x1 x2 A cos 01t A cos 02t
x 2 A cos cp t cos мoд t

13.

01 02
где cp
–
2
средняя
круговая
частота,
01 02
мoд
2
– круговая частота
модуляции (частота биений).
При
01 02
x Aмoд t cos cp t
Aмoд t 2 A cos мoд t – медленно
где
изменяющаяся амплитуда.
При 01 02 биения исчезают.

14.

x
T=2π/
M2
0
t
M1
A
Tб=2π/( )
0
Самостоятельно: Сложение взаимно
перпендикулярных
гармонических
колебаний равных и кратных частот.
t

15. Свободные незатухающие колебания (СНК) – (собственные гармонические колебания)

происходят
в
консервативных
колебательных системах.
Рассмотрим СНК пружинного маятника.
Масса пружины << массы груза m.
k – коэффициент упругости пружины.

16.

В положении устойчивого равновесия
mg k lст .
Ур-е
движения
l
k
груза на
k
k
l0
пружине в lст
проекции на
l ст
0 l
m
ось x:
x
mg
mx mg k lст x
m
F
mg
С учетом условия равновесия
x
ст
упр
m x kx
mx kx 0 : m
Обозначим
Fупр
mg
k
2
0
m
mg

17.

ДУ СНК пружинного маятника
2
x 0 x 0
Решение ДУ:
x A cos 0 t
Скорость груза
x A 0 sin 0t ,
его ускорение
2
a x A 0 cos 0t

18.

Начальные условия (НУ) – значения
координаты и скорости груза при t = 0:
x 0 x0 ; 0 0
x0
cos ;
A
x0 A cos ;
Тогда
0
sin
.
A 0
0 A 0 sin .
Отсюда:
A
0
2
x0
0
2
0
; tg
x0 0

19. Энергия и импульс гармонического осциллятора

Осциллятор – система, совершающая
l0
колебания.
m
k
x1 0
x2 x x
l x
m
k
l
Fупр
m
Полная механическая энергия СНК
пружинного маятника в любой момент
2
2
времени:
m
kx
E Ek E p
2
2

20.

Кинетическая энергия
1
m
2 2
2
Ek
mA 0 sin 0t ,
2
2
потенциальная энергия
2
k m 02
1 2 2
kx 2
2
mA 0 cos 0t
Ep
2
2
Полная энергия гармонического
осциллятора:
1
E mA2 02 const
2
В консервативной МС выполняется ЗСМЭ.

21.

Фазовая траектория
зависимости p = p(x).
–
график
Импульс гармонического осциллятора:
p m mA 0 sin 0t
2
p
sin 0t 2 2 2
m A 0
2
Из (5.1)
2
x
cos 0 t 2
A
2

22.

2
2
x
p
cos 0t sin 0t 2 2 2 2
A m A
0
1
2
2
2
2
x
p
–
уравнение
эллипса
1
2
2 2 2
A
m A 0
в фазовой плоскости
p
(в
координатной
плоскости x, p).
x
Каждому эллипсу определенный
уровень энергии осциллятора E.

23. Физический маятник

– тв. тело, которое может совершать
колебания под действием силы тяжести
относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через ЦМ тела.
O
z
l
С
mg
Ур-е вращения твердого
тела вокруг неподвижной оси
J z M z
(5.5)
Jz – момент инерции
относительно оси вращения,

24.

Проекция момента внешних сил на ось Oz:
M z mgl sin
O z
l
С
mg
(5.6)
Из (5.5) и (5.6)
J z mgl sin
(5.7)
mgl
sin 0
Jz
уравнение
При φ<<1 sin и
колебаний физического маятника
mgl
0
Jz

25.

ДУ СНК
2
0 0,
mgl
Jz
его решение: A cos 0t ,
(5.8)
2
0
2
0
T
Период малых колебаний физического
маятника
Jz
T 2
mgl
(5.9)

26.

Всякому физическому маятнику можно
сопоставить математический маятник
(точечное тело, подвешенное на невесомой
нерастяжимой нити), имеющий такую же
~
частоту колебаний. Длина нити l такого
математического маятника называется
приведенной
длиной
физического
маятника.
g
0 M ~
l
ωM – частота колебаний математического
маятника.
g
~
l
2
0

27. Квазиупругая сила

Квазиупругие
силы
–
силы,
физическая природа которых отлична от
упругих сил, но определяющая их
зависимость имеет вид:
Fx kx,
где k – постоянный коэффициент, x –
смещение
физического
объекта
относительно положения равновесия. Если
на тело действует квазиупругая сила, то
оно совершает свободные гармонические
колебания.