лекция 6_теоремы о пределе функции (продолжение)

1. Математический анализ

6. Теоремы о
пределах функций.
Замечательные
пределы.
Эквивалентные бесконечно
малые функции.

2. Первый замечательный предел

sin x
0
lim
1
0 x
AOB
x
0 x 0 x
2
С
| AM |
| BC |
sin
x
tgx
у
R
R
А
| AM | | AB | | CB |
R sin x R x R tgx
х
0 О
sin x x tgx
М
В х
x
1
1
sin x cos x

3. Первый замечательный предел

sin x
0 x
AOB x
lim
1
2
С
x 0
x
x
1
1
у
sin x cos x
А
sin x
cos x
1
x
x 0
х
0 О
х М
В
sin x
lim
1 1
x 0
x
sin x sin x sin( x)
x 0
x
x
( x)
x 0

4. Второй замечательный предел

n
1
lim 1 e
n
n
x
x
1
1
lim 1 e
lim
1
e
x
x
x
x
1
lim 1 e
0
1
x
lim 1 x e
x 0
1
0 при x
x

5. Сравнение бесконечно малых функций

Пусть α=α(х) и β=β(х) есть бесконечно малые
функции при х→х0. lim ( x) 0
x x0
lim ( x) 0
x x0
lim 0 α – б.м. более высокого порядка, чем β,
x x
а β – более низкого порядка, чем α
о
(
)
0
lim
x x0
α – б.м. более низкого порядка, чем β,
а β – более высокого порядка, чем α
о( )
lim
A 0 α и β – б.м. одного порядка
x x
0
lim α и β – несравнимые бесконечно малые
x x
0

6. Эквивалентные бесконечно малые

lim
1 α и β – эквивалентные б.м.
x x
(асимптотически равные) при х→х0
0
α~β
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых функций
не изменится, если каждую или одну из них заменить
эквивалентной ей бесконечно малой.
1
lim
lim
x x
x x
1
α ~ α1 β ~ β1 при х→х0
0
0
1
1 1
1 1
lim lim lim
lim
x x
x x
x x
x x
1
1
1
1
1
0
0
0
0

7. Таблица эквивалентных функций

sin x ~ x
x 0
tg x ~ x
arcsin x ~ x
arctg x ~ x
2
x
1 – cos x ~
ln(1 + x) ~ x 2
e x– 1 ~ x
a x – 1 ~ x∙lna
x
loga(1 + x) ~ ln a
sin x = x +o(x)
(1 + x)m – 1 ~ m∙x
(1 + x)m = 1 + m∙x +o(x)
tg x = x +o(x)
arcsin x = x +o(x)
arctg x = x +o(x)
x2
2
o
(
x
)
1 – cos x =
2
ln(1 + x) = x +o(x)
e x – 1 = x +o(x)
a x = 1 + x∙lna +o(x)
x
o( x )
loga(1 + x) =
ln a

8.

sin x
lim
1
x 0
x
sin x ~ x x 0

9.

tgx
sin x
lim
lim
1
x 0 x
x 0 cos x x
arctgx
lim
1
x 0
x
arctgx t , t 0
x tg t
t
1
lim
lim
1
t 0 tgt
t 0 tgt
t
tg x ~ x x 0

10.

x 0
1 cos x
lim
1
2
x 0
x
2
2
2
1 cos 2 x
sin x
2
x
1 – cos x ~
2
x
x
x
2 sin
sin
sin
1 cos x
2 lim
2
2 1
lim
lim
2
2
x
0
x 0
x 0
x
x
x
x
2
2
2
2
2

11.

1
x
lim 1 x e
x 0
ln lim 1 x ln e
x 0
1
x
1
x
lim ln 1 x 1
x 0
ln 1 x
lim
1
x 0
x
ln(1 + x) ~ x x 0

12.

ln 1 x
lim
1
x 0
x
ln( 1 x) t , t 0
x e 1
t
t
lim t
1
t 0 e 1
e 1
lim
1
x 0
x
x
e x– 1 ~ x x 0