лекция 6_теоремы о пределах (начало)

1. Математический анализ

6. Теоремы о
пределах функций.
Замечательные
пределы.
Эквивалентные
бесконечно малые

2. Теорема о связи бесконечно малой с пределом функции

Для того чтобы число А было пределом функции в
точке х0, необходимо и достаточно, чтобы эта
функция была представлена в виде суммы числа А
и некоторой бесконечно малой функцией в точке
х0, т.е. в виде f ( x) A ( x)
lim f ( x) A f ( x) A ( x), lim ( x) 0
x x0
x x0
Замечание. Теоремы справедливы и для
случая бесконечной точки.

3. Свойства бесконечно малых функций

1. Сумма конечного числа бесконечно малых
функций в точке х0 есть бесконечно малая в х0.
2. Произведение бесконечно малой на
ограниченную функцию (на число) есть бесконечно
малая.
3. Произведение конечного числа бесконечно малых
есть бесконечно малая
4. Частное от деления бесконечно малой на
функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть
величина бесконечно малая.
1
5. lim ( x ) 0 lim
( x) 0
x x0
x x0
( x)

4. Предел арифметических операций функций

lim f1 ( x) A lim f 2 ( x) B
x x0
x x0
lim ( f1 ( x) f 2 ( x)) lim f1 ( x) lim f 2 ( x) A B
x x0
x x0
x x0
lim ( f1 ( x) f 2 ( x)) lim f1 ( x) lim f 2 ( x) A B
x x0
x x0
x x0
lim C f1 ( x) C lim f1 ( x) C A
x x0
x x0
lim f1 ( x)
f1 ( x) x x0
A
lim
(B 0 )
x x0 f ( x )
lim f 2 ( x) B
2
x x0

5. Критерий Коши

lim f ( x) A 0 0 x1 , х2 Х :
x x
0
0 х1 х0 0 х2 х0 f ( х1 ) f ( х2 )
у
ε
у=f(x)
f(х2)
A
f(х1)
0
х1
х2
δ х0
δ
х

6. Основные теоремы о пределах

Функция не может иметь более одного предела.
Если функция имеет конечный предел, то для значений х,
достаточно близких к х0, функция будет ограниченной.
Если функция монотонна и ограниченна в точке х0, то
существуют односторонние пределы в этой точке.
Пусть функция y=f(x) задана на множестве Х, функция
x=g(y)– на множестве Y и f(X) содержится в Y. Если
существуют конечные или бесконечные пределы
lim f ( x) y0 lim g ( y) z0
x x0
y y0
то в точке х0 существует предел (конечный или бесконечный)
сложной функции g(f(x)), причем
lim g ( f ( x)) lim g ( y )
x x0
y y0

7.

Если
f ( x) a ( f ( x) a ), x X и существует
конечный или определенного знака бесконечный
предел lim f ( x) , то lim f ( x) a
x x0
x x0
Если lim f ( x ) a конечный предел и а>p (а<p),
x x0
то для достаточно близких к х0 значений х
(отличных от х0) и сама функция удовлетворяет
неравенству f(x)>p (f(x)<p).
Теорема о пределе промежуточной функции. Если
( x) f ( x) ( x), x X, и существует конечные
или определенного знака бесконечные пределы , и они
равны между собой, то их пределы равны:
lim ( x) lim f ( x) lim ( x)
x x0
x x0
x x0