1.82M

Category: $mathematics$ mathematics

Замечательные пределы

1.

Центр дистанционного обучения
Замечательные пределы
ФИО преподавателя:Головешкин Василий Адамович
e-mail: [email protected]
Online-edu.mirea.ru
online.mirea.ru

2.

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
sin x
1.
x 0
x
случай x 0 . Тригонометрический круг (радиуса единица).
Первый замечательный предел. lim
угол АОВ равен x .
online.mirea.ru

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
1
площадь S1 треугольника АОВ равна S1 sin x ;
2
1
площадь S 2 сектора АОВ равна S2 x ;
2
1
площадь S 3 треугольника АОС равна S3 tgx .
2
1
1
1
Поскольку
то
sin x x tgx .
S1 S2 S3 ,
2
2
2
Следовательно
x
1
sin x
; cos x
1
1.
sin x cos x
x
Поскольку lim1 1, limcos x cos0 1, то по теореме о
x 0
x 0
sin x
1.
x 0 0
x
пределе промежуточной функции имеем lim
online.mirea.ru

4.

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
случай x 0 .
sin x
замена
lim
(
x 0 0
x
sin( t )
sin t
lim
1.
= lim
t 0 0 ( t )
t 0 0 t
sin x
Следовательно lim
1.
x 0
x
sin kx
Пример. Вычислить lim
x 0
x
-
Замена переменной kx t , x
переменной
x t )
t
.Тогда lim t 0
x 0
k
sin kx
sin t
sin t
lim
k lim
k
x 0
t
0
t
0
t
x
t
k
lim
online.mirea.ru

5.

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
случай x 0 .
sin x
замена
lim
(
x 0 0
x
sin( t )
sin t
= lim
lim
1.
t 0 0 ( t )
t 0 0 t
sin x
Следовательно lim
1.
x 0
x
sin kx
Пример. Вычислить lim
x 0
x
-
Замена переменной kx t , x
переменной
x t )
t
.Тогда lim t 0
x 0
k
sin kx
sin t
sin t
lim
k lim
k
x 0
t
0
t
0
t
x
t
k
lim
online.mirea.ru

6.

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
Пример. Вычислить
x
x
x
sin
sin
1 cos x
2 2lim
2
2
lim
lim
x 0
x 0
x 0
x2
x2
x
x
1
1
sin
x
sin
x
1 1 1
2
2
= 2 lim lim 2 .
x
x
2 2 2
x 0
x 0
2sin 2
online.mirea.ru

7.

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
sin mx
.
x 0 sin mx
sin mx
sin mx
lim
sin mx
x x 0 x m
Решение. lim
lim
x 0 sin mx
x 0 sin nx
sin nx n
lim
x
x 0 x
Пример. Вычислить lim
online.mirea.ru

8.

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
cos mx cos nx
.
x 0
x2
Пример. Вычислить lim
m n
m n
x sin
x
cos mx cos nx
2
2
Решение. lim
lim
2
2
x 0
x 0
x
x
m n
m n
m n
m n
sin
x
sin
x
sin
x
sin
x
2
2
2
2
2lim
2lim
lim
2
x 0
x
0
x
0
x
x
x
x
2sin
m n m n n2 m2
2
.
2
2
2
online.mirea.ru

9.

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
cos mx cos nx
.
x 0
x2
Пример. Вычислить lim
m n
m n
x sin
x
cos mx cos nx
2
2
Решение. lim
lim
2
2
x 0
x 0
x
x
m n
m n
m n
sin
x
sin
x
sin
x
2
2
2
2lim
2lim
2
x 0
x
0
x
x
x
m n
sin
x
m n m n n2 m2
2
lim
2
x 0
x
2
2
2
2sin
online.mirea.ru

10.

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
sin 2 x
Пример. Вычислить lim
.
x 1
x
ctg
2
Что бы свести данный пример к вычислению пределов,
близких к первому замечательному, сделаем замену
t x 1, x t 1. Тогда lim t 0 .
x 1
sin 2 x
sin 2 (t 1)
(t 1) sin 2 (t 1)
Получаем lim
lim
lim sin
x 1
x t 0
(t 1)
(t 1) t 0
2
ctg
cos
cos 2
2
2
(t 1)
sin
2
online.mirea.ru

11.

Центр дистанционного обучения
Первый замечательный предел
=
sin 2 (t 1)
(t 1)
lim sin
lim
t 0
t 0
(
t
1)
2
cos
2
sin 2 t cos 2 cos 2 t sin 2
sin lim
2 t 0 cos t cos sin t sin
2
2
2
2
=(так как cos 2 1, sin 2 0, cos
sin 2 t
2
lim
4 .
t 0
sin t
2
2
2
0, sin
2
1)=
online.mirea.ru

12.

Центр дистанционного обучения
второй замечательный предел
n
1
Второй замечательный предел lim 1 e
n
n
Формула бинома Ньютона
n
a b a n Cn1a n 1b ... Cnk a n k bk ... bn
n!
где Cnk
- биномиальные коэффициенты
k ! n k !
1! 1 ; 2! 1 2 2 ; 3! 1 2 3 6 ; 4! 1 2 3 4 24 .
По определению полагают 0!=1. Отметим так же полезное
соотношение (n 1)! n!(n 1) .
n!
1 2 n
Cnk
k !(n k )! k !1 2 (n k )
1 2 ( n k ) ( n k 1) n
k !1 2 (n k )
(n k 1) n n(n 1)(n 2) (n k 1)
online.mirea.ru
.

13.

Центр дистанционного обучения
второй замечательный предел
n!
1 2 n
k !(n k )! k !1 2 (n k )
1 2 ( n k ) ( n k 1) n
k !1 2 (n k )
(n k 1) n n(n 1)(n 2) (n k 1)
.
k!
k!
Cnk
n(n 1)(n 2) (n k 1)
.
k!
n
n(n 1)
n(n 1)(n 2)
Cn0 1; Cn1 ; Cn2
; Cn3
1
1 2
1 2 3
(n k 1)
k!
n
online.mirea.ru

14.

Центр дистанционного обучения
второй замечательный предел
k n
(a b) Cnk a n k b k
n
k 0
n
n
1 n(n 1) 1
1
un 1 1 1
1
n
1!
n
2!
n
2
n(n 1)(n 2) 1
1
3!
n
3
n(n 1)(n 2) ( n k 1) 1
1
k!
n
k
n
1
n
online.mirea.ru

15.

Центр дистанционного обучения
второй замечательный предел
1 n (n 1) 1 n (n 1) (n 2)
2! n n
3! n n
n
1 n (n 1)
(n k 1)
k! n n
n
1 n (n 1)
1
+
=
n! n n
n
1 1 1 1 2
2 1 1 1
2! n 3! n n
=
1 1 2 k 1
1
1 1 1
k ! n n
n
nn
un 1 1
online.mirea.ru

16.

Центр дистанционного обучения
второй замечательный предел
последовательность un возрастает с ростом n .
Проведем оценку слагаемых
1 1 1 1 1 2 1 1
1 1
1
2! n 2 3! n n 3! 22
1 1 2
1
k 1 1
1
1
1
k ! n n
n k ! 2k 1
1
1
1
2
n 1
1 1
2 2n
1
3
Тогда un 2 2
1
2 2
2
2
последовательность un возрастает с ростом n и ограничена.
Следовательно, существует lim un , который обозначим
n
n
1
числом e . lim 1 e e 2,718281828...
n
n
online.mirea.ru

17.

Центр дистанционного обучения
второй замечательный предел
x
1
lim 1 e
x
x
Для каждого x 1найдется n( x) целое, такое что n x n 1.
n 1
x
n
1
1
1
Тогда 1 1 1
.
n
x
n
1
n 1
n
1
1 1
lim 1 lim 1 1 e 1 e .
n
n
n n
n
n
m 1
1
1
lim 1
(m n 1) mlim
1
n
n
1
m
m
1
1
e
m
lim
e
m
1 1
1
m
.
online.mirea.ru

18.

Центр дистанционного обучения
второй замечательный предел
по теореме о пределе промежуточной функции имеем
x
1
lim 1 e .
x
x
x
1
Покажем, что xlim
1 e .
x
Сделаем замену x (t 1) . Тогда, тогда при значении x
значение t , то есть xlim
t .
Получаем
x
1
1
lim 1 lim 1
x
x t t 1
( t 1)
t
lim
t t 1
( t 1)
1
lim 1
t
t
( t 1)
e.
x
1
Следовательно lim
1 e .
x
x
online.mirea.ru

19.

Центр дистанционного обучения
второй замечательный предел
Логарифм по основанию e называется натуральным
логарифмом и обозначается
loge x ln x . Как правило, в теоретических исследованиях
используется не десятичный, а натуральный логарифм.
x
k
Пример. Вычислить lim 1 e .
x
x
Сделаем замену. x kt . Получаем
k
k
1 t
1 t
k
1
lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 ek .
x
t
x t t
t
t t
x
x
1
1
( 1)
1
e
В частности lim 1 lim 1
.
x
x
x
x
e
x
kt
online.mirea.ru

20.

Центр дистанционного обучения
второй замечательный предел
2x 1
Пример. Вычислить. lim
x 2 x 3
2x 1
lim
x 2 x 3
3 x 2
1
1
2x
lim
x
3
1
2
x
1
2
lim 1
x
x
x
3
2
lim 1
x
x
x
2
x 3
x
3x 2
. Получаем
1
1
2
x
lim
x
3
1
2 x
x
2
3
x
2
lim 3
x
x
3
1
e2
3 e6
e 2
online.mirea.ru

21.

Центр дистанционного обучения
Третий замечательный предел
(1 x ) a 1
Вычислить lim
- иногда этот предел называется третьим
x 0
x
замечательным пределом
замену переменной 1 x et . Тогда x et 1. lim t 0 .
x 0
at
e
1
e 1 lim
t
t 0
(1 x) a 1
e at 1
lim t
lim t t
Получаем. lim
x 0
t 0 e 1
t 0 e 1
x
et 1
lim
t 0
t
t
at
Вычислим
lim z 0 .
et 1
lim
. Сделаем замену
t 0
t
et 1 z , t ln(1 z ) .
t 0
online.mirea.ru

22.

Центр дистанционного обучения
Третий замечательный предел
Получаем
et 1
z
1
1
1
lim
lim
lim
lim
y
=
1
t 0
z
0
z
0
z
0
z
1
ln(1 z )
t
ln(1 z )
ln(1 z ) z
z
e at 1
1
1
= lim
1. Вычислим lim
. Сделаем замену
y
t
0
y
ln e
1
t
ln 1
y
z
at z , t .
a
online.mirea.ru

23.

Центр дистанционного обучения
Третий замечательный предел
z
e 1
e 1
ez 1
Получаем lim
z a lim
lim
a.
t 0
z
0
z
0
t
z
a
(1 x) a 1
a.
Следовательно lim
x 0
x
at
et 1
ln(1 x)
мы получили lim
1 , lim
1.
t 0
x 0
x
t
online.mirea.ru

24.

Центр дистанционного обучения
Сравнение бесконечно-малых
Определение. Бесконечно-малая ( x) называется бесконечномалой более высокого порядка по сравнению с бесконечно-малой
( x)
0.
( x) в окрестности точки x a , если lim
x a ( x)
Этот факт означает, что в окрестности точки x a имеет место
( x)
соотношение
0 ( x), ( x) ( x) ( x) , где
( x) ( x)
бесконечно-малая величина, то есть lim ( x) 0 .
x 0
В
математике этот факт символически обозначается так
( x) o( ( x)) , и читается ( x) - о-малое от ( x) . В дальнейшем,
для краткости мы будем писать o( ) , и читать - о-малое от .
online.mirea.ru

25.

Центр дистанционного обучения
Сравнение бесконечно-малых
Определение. Если бесконечно-малая ( x) представима в виде
( x) g ( x) ( x) , где ( x) - бесконечно-малая, g ( x) - ограничена в
окрестности точки x a , то в математике этот факт символически
обозначается так ( x) O( ( x)) , и читается ( x) - О-большое от
( x) .
Отметим, что всякое о-малое является и О-большим, но не
наоборот.
online.mirea.ru

26.

Центр дистанционного обучения
Сравнение бесконечно-малых
Пусть x 0 . ( x) x , ( x) x 2 .
x
x2
Заметим, что lim
lim lim x 0 .
x 0 x
x 0 x
x 0
Тогда x 2 o x
x 0 . ( x) x cos x , ( x) x .
cos x 1
Заметим, что cos x 1.
Тогда x cos x O x
online.mirea.ru

27.

Центр дистанционного обучения
эквивалентные бесконечномалые.
( x) и
( x) называются
( x)
эквивалентными в окрестности точки x a , если lim
1.
x a ( x)
Факт эквивалентности обозначается символически .
( x)
1.Рефлексивность. lim
1, значит .
x a ( x)
( x)
1 . Имеем
2.Симметричность. Пусть . Тогда lim
x a ( x)
( x)
1
1
lim
lim
1. Значит .
x a ( x)
x a ( x)
( x)
( x) lim
x a ( x)
( x)
( x)
1 , lim
1.
Транзитивность. и . Тогда lim
x a ( x)
x a ( x)
( x)
( x) ( x)
( x)
( x)
lim
lim
lim
lim
1 1 1 . Значит .
x a ( x)
x a ( x) ( x)
x a ( x) x a ( x)
online.mirea.ru
Определение. Бесконечно-малые

28.

Центр дистанционного обучения
эквивалентные бесконечномалые.
Теорема. Если , то их разность является
бесконечно-малой более высокого порядка по сравнению с и .
( x)
( x) ( x)
lim
1 1 1 0 .
Доказательство. lim
x a
x a ( x)
( x)
Если при вычислений предела бесконечно-малая входит в виде
множителя, или знаменателя дроби, то ее можно заменить
эквивалентной. Пусть .
( x )
lim ( x) f ( x) lim
(
x
)
f
(
x
)
x a
x a
( x )
( x)
lim
( x) f ( x)
lim ( x) f ( x) lim
x a ( x) x a
x a
( x) ( x)
( x)
lim
lim
x a f ( x)
x a
(
x
)
f
(
x
)
.
( x)
( x)
( x)
lim
lim
lim
x a ( x) x a
f ( x) x a f ( x)
online.mirea.ru

29.

Центр дистанционного обучения
Банк эквивалентных бесконечномалых.
sin x
1, то sin x x
x 0
x
ln(1 x)
2. lim
1, то ln(1 x) x
x 0
x
x
e 1
1 , то e x 1 x
3. lim
x 0
x
tgx
1 sin x 1
4. lim
lim
1 1, то tgx x
x 0 x
x 0 cos x
x
1
arctgx
arctg (tgt )
t
(tgx t ) lim
lim
1 , то arctgx
5. lim
x 0
t 0
t 0 tgt
x
tgt
arcsin x
arcsin(sin t )
t
6.
lim
(sin x t ) lim
lim
1,
x 0
t 0
t 0 sin t
x
sin t
arcsin x x
1. lim
x
то
online.mirea.ru

30.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Пример. Вычислить lim
ln 1 4 x 5
e 1 tg3x
Заметим, что ln 1 4 x 4 x , e 1 2x , tg3 x
x 0
5
2 x3
2
5
.
2 x3
3
2
3x 2 .
ln 1 4 x 5
4 x5
2
lim 3
Тогда lim
.
3
2x
2
x 0
x 0 2 x 3x 2
3
e 1 tg3 x
e3 x e x
e x (e 2 x 1)
ex 2x
lim
lim
1.
Пример. Вычислить lim
x 0 sin 2 x
x 0
x
0
2x
2x
.
online.mirea.ru

31.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Пример. Вычислить. lim 1 tg3x
lim 1 tg3x
ctg2 x
x 0
lim ln 1 tg3 x ctg 2 x
e x 0
x 0
ln 1 tg3 x ctg 2 x
lim e
x 0
e
tg 3 x
x 0 tg 2 x
lim
e
3x
x 0 2 x
lim
ctg 2 x
.
e
3
2
.
1
Пример. Вычислить. lim cos x x2 .
x 0
1
1
ln cos x . По
x 0
x 0 x 2
x
ln 1 2sin 2
ln cos x
x
2
формуле cos x 1 2sin 2 , имеем lim
lim
x 0
x 0
x2
x2
2
В начале вычислим
lim ln cos x x2 .Имеем
lim
online.mirea.ru

32.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Используя ln 1 x
x lim
x 0
ln cos x
x
2
lim
x 0
2sin 2
x
2
x
2 , так как sin x
x
2
x
ln cos x
2 1 . Тогда
lim
2lim
x 0
x 0 x 2
x2
2
1
1
1
lim ln cos x x2
1
2
x 0
lim cos x x e
e 2
x 0
e
online.mirea.ru

33.

34.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Задача 1. Имеется компьютер, который способен выполнять
следующие операции – сложение, вычитание, умножение,
сравнение, но операция деления отсутствует. Как на таком
компьютере получить с заданной точностью корень уравнения
0,7 x 2 .
Перепишем данное уравнение в виде
x 0,3x 2 ,
зададим значение x1 1 и рассмотрим последовательность значений
xn , определенных соотношением
x1 1;
xn 1 0,3 xn 2.
Мы получили рекурсивно заданную последовательность, в
которой следующее значение определяется на основе
предыдущего. Изучим свойства этой последовательности.
online.mirea.ru

35.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Обозначим xn 1 xn через rn .
xn 2 xn 1 0,3 ( xn 1 xn )
Следовательно rn 1 0,3 rn .
Поскольку r1 0 , последовательность xn не убывает.
Покажем, что последовательность xn ограничена для всех
значений n . Так как x1 1, то x2 2,3, тогда при n 2 имеем
xn x1 ( xn xn 1 ) ( xn 1 xn 2 ) ( x3 x2 ) ( x2 x1 )
xn x1 xn xn 1 xn 1 xn 2 x3 x2 x2 x1
xn x1 rn 1 rn 2 r2 r1. Поскольку rn 1 0,3 rn ,
То
xn x1 0,3n 2 r1 0,3n 3 r1 0,3r1 r1 .
1 0,3n 1
xn x1 r1
1 0,3
online.mirea.ru

36.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Поскольку последовательность не убывает и ограничена, то данная
последовательность имеет предел при значении n стремящемся к
бесконечности.
Обозначим lim xn z ,
n
и перейдем к пределу в соотношении
xn 1 0,3 xn 2 .
Имеем
lim xn 1 lim(0,3 xn 2) ,
n
n
тогда получаем
z 0,3z 2 ,
следовательно, значение предела и является корнем уравнения.
Таким образом, алгоритм, основанный на соотношении (1)
позволяет решать уравнение с любой заданной точностью, не
используя операцию деления
online.mirea.ru

37.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Задача. Считая, что компьютер умеет выполнять операции
сложения, умножения, вычитания, деления и сравнения,
предложить способ вычисления с заданной точностью a , если
a 0.
Искомое число является положительным корнем уравнения x 2 a .
Проведем следующие преобразования.
1
a
x 2 a ; 2x 2 x 2 a ; x x .
2
x
Рассмотрим рекуррентно заданную последовательность
x1 1;
1
a .
x
x
n 1 2 n x
n
Исследуем lim xn
n
online.mirea.ru

38.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Очевидно, что данная последовательность принимает только положительные
значения. Для того чтобы исследовать свойства данной последовательности, нам
понадобится некоторая информация о свойствах функции
1
a
y x x ,
2
x
1
a
При x 0 , y x x a
2
x
Значит y a
Значит все члены последовательности, кроме может быть первого,
больше либо равны
a : xn a при n 1.
online.mirea.ru

39.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Значит все члены последовательности, кроме может быть
первого, больше либо равны
a : xn a при n 1. Далее покажем,
что все члены последовательности, начиная со второго, не
возрастают, то есть xn 1 xn при n 2 . Нетрудно заметить, что при
x a выполнено
1
a 1
x
x x x .
2
x 2
Следовательно, члены последовательности не возрастают, начиная
со второго.
online.mirea.ru

40.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Не возрастающая ограниченная последовательность имеет
предел. Обозначим lim xn z и, переходя к пределу в соотношении
n
1
a
xn 1 xn ,
2
xn
получаем, что значение предела является положительным корнем
уравнения
1
a
z z ,
2
z
который равен z a .
online.mirea.ru

41.

Центр дистанционного обучения
Примеры
Вычислить lim 2 2 ........... 2
n
x1 2
Рекуррентная последовательность
xn 1 2 xn
Заметим, что: Если x 2 , то 2 x 2 . x1 2 . Тогда xn 2 для
всех n . Последовательность ограничена.
При xn 2 имеем xn 1 2 xn xn . Последовательность
возрастает с ростом n . Значит существует lim xn z
n
Перейдем к пределу в соотношении xn 1 2 xn ..
lim xn 1 lim 2 xn ,
n
n
z 2 z . z2 2 z z2 z 2 0
z1 1 z2 2 . Так как z 0 , то
lim 2 2 ........... 2 2
n
online.mirea.ru