Два замечательных предела

1. Два замечательных предела

2.

В теории пределов большую роль
играют два предела, которые, в
силу их важности, получили
названия замечательных
пределов.

3. Первый замечательный предел

x
lim
1
x 0
sin x
tgx
lim
1
x 0
x
x
lim
1
x 0
tgx
sin kx
lim
1
x 0
kx

4. Примеры

5. Примеры

6. Примеры

7. Примеры

8.

0
1 cos 4 x
2 sin 2x
sin 2 x
lim
lim
2 lim
2
2
x 0
x
0
x
0
0
x
x
x
2
2
sin 2 x 2 lim 2 sin 2 x
x 0
2 lim
2x
x 0 x
2
2
sin 2 x
2
2 2 lim
2 2 1 8
x 0
2x
2

9. Примеры

10. Второй замечательный предел

• Число е , заданное этим пределом, играет
очень большую роль как в математическом
анализе, так и в других разделах математики.
• Число е часто называют основанием
натуральных логарифмов.

11. Следствия из 2-го замечательного предела

12. Следствия из 2-го замечательного предела

Пример:
1
4
lim 1 lim 1
x
x
x
x
4
x
x
1
lim 1
x
x
4
x
4
4
e 4

13. Пример

14. Задания

• Вычислить следующие пределы: