Теория пределов. Понятие предела. Предел функции в точке. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Бесконечно малые функции

1.

Теория пределов
•Понятие предела
•Предел функции в точке
•Теоремы о пределах
•Замечательные пределы
•Бесконечно малые функции

2.

Понятие предела
Рассмотрим функцию непрерывного аргумента у =
f(х). Проиллюстрируем понятие предела функции на
примерах.
При приближении значения
аргумента к числу
х0 =3
у
(х 3),
значение
функции
приближается к числу А =2 как
А=2
угодно близко (в данном
примере
даже
становится
равной 2). Записывается это
так: lim f(х) = 2 или в общем
х =3
х
0
случае:
0
limf ( х) А
х
х0

3.

у
у
А
х
0
При неограниченном увеличении
значения х (х ∞) значение
функции
приближается
к
конечному числу А.
0
Аргумент х неограниченно
увеличивается (х ∞) и
значение функции при этом
стремится к нулю:
limf ( х ) А
х
Прямая у = А является
горизонтальной асимптотой к
кривой у = f(х).
х
limf ( х ) 0
х

4.

Теоремы о пределах
Теорема 1. Предел суммы функций f(х) и g(х)
при х + ∞ равен сумме их пределов:
lim
f
(
x
)
g
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
g
(
x
)
x
x
x
Теорема 2. Предел произведения функций f(х) и g(х)
при х + ∞ равен произведению их пределов:
lim
f
(
x
)
g
(
x
)
lim
f
(
x
)
lim
g
(
x
)
x
x
x
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за
знак предела:
lim
Cf
(
x
)
C
lim
f(
x
)
x
x

5.

Теорема 3. Если предел знаменателя g(х) при х + ∞
отличен от нуля, то предел дроби при х + ∞ равен
отношению пределов числителя и знаменателя:
lim
f(x
)
f(x
) x
lim
x
g
(x
) lim
g
(x
)
x
Предел функции в точке
Число b называется пределом функции f(x) при х а,
если разность f(x) – b , бесконечно малая функция при
х а. Пишут
lim
f (x) b
x
a

6.

Пример 1. Вычислим
Решение:
lim
(
x
3
x
8
)
lim
x
lim
3
x
lim
8
2
x
4
2
x
4
x
4
x
4
(
lim
x
)
3
lim
x
lim
8
4
3
4
8
12
2
x
4
2
x
4 x
4
Пример 2. Вычислим
lim
(
x
7
)2
x
7
7
9
x
2
lim
1
,
8
x
2
x
3
lim
(
x
3
)2
3
5
x
2

7.

Раскрытие неопределенностей вида
0
и
0
Рассмотрим предел
x
14
165
lim
2
2
x
4
0
x
16
4
16
3
3
f ( x)
g ( x)
Вывод: если числитель дроби
при х =
а отличен от нуля, а ее знаменатель при х =
а обращается в ноль, то предел f ( x) при х
= а не существует или равен ∞. g ( x)

8.

Пример 3. Вычислим
x 6х 5
lim 2
x
5 x
25
2
Решение:
2
D
36
20
16
(
x
6
x
5
0
x
5
)(
x
1
) x
1
6
4
lim
lim
lim
2
x
5
;
1
x
5
x
5
x
5
1
,
2
x
25
0
(
x
5
)(
x
5
)x
5
2
5
1 4 2
5 5 10 5
Замечание
ах2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2);
a2 – b2 = (a – b)(a + b).

9.

Пример 4. Вычислим
x 1 1
lim
x
0
x
(a-b)(a+b)=a2-b2
Решение:
x
1
1
0
x
1
1
х
1
1
x
1
1
lim
lim
lim
x
0 x
x
0
0
0
x
х
1
1 x
x
x
1
1
x
1 1
lim
lim
x
0
0x
2
x
x
1
1x
1
1

10.

Пример 5. Вычислим
lim
(
x
2
x
1
)
2
1
3
2
3
2
x
Пример 6. Вычислим
4x3 3x2 1
x ( 3 3 3)
4x3 3x2 1
x
x
x
lim 3
lim
3
2
x
5
x
6
x
7
5x 6x2 7 x
x3( 3 3 3)
x
x
x
0
0
3 1
4 3
4
x
x
lim
x
6 7
5
5 3
x x
3
0
0

11.

Пример 7. Вычислим
0
4
2
0
x 6x 1
x ( 4 4 4)
4
2
x 6x 1
x
x
x
lim
lim
3
3
x
2 3
x
2
3
x
7x
x 7x
4
x ( 4 4 4)
x x
x
6 1
0
0
0
1 2 4
1
x
x
lim
x
2
3 7 0
3
4
x x x
4

12.

Пример 8. Вычислим
2
x
6x 1
3
x ( 3 3 3)
2
x 6x 1
x x x
lim
lim
3
3
x
4 3
x
3x 5x
x 5x
3 4
x ( 3 3 3)
x x
x
1 6 1
2 3
0
x
x
x
lim
0
x
4
5 3
3 2
3
x
x

13.

Вообще справедлива следующая теорема:
Теорема 4. Если числитель и знаменатель
алгебраической дроби имеют одинаковые
степени, то предел этой дроби при х + ∞
равен отношению коэффициентов при
старших членах:
n
n
1
n
n
1
n
n
1
x
n
n
1
,
a
x
a
x
...
a
x
a
1
0a
n
lim
b
x
b
x
...
b
x
b
n
1
0 b
где ап ≠ 0, bn ≠ 0.

14.

Если же степень числителя меньше
степени
знаменателя,
то
дробь
бесконечно мала при х + , т.е. ее предел
равен нулю.
Наконец, если степень числителя
больше степени знаменателя, то в этом
случае предела нет, но говорят, что дробь
стремится к бесконечности при х + ,
и пишут
f(x)
lim
x
g(x)

15.

Первый и второй замечательные пределы
Большое практическое приложение имеют
следующие пределы:
1-ый замечательный предел:
sin
x x
x tgx
lim
lim
lim
lim
1
x
0xx
0
x
0
x
0
sin
x
tgx
x
2-й замечательный предел:
x
1
lim
1 e
x
x
1-я форма
е=2,72
1 e
lim
1
0
2-я форма

16.

Пример 1. Вычислим
sin
5
x 5
sin
5
x sin
5
x
lim
lim
5
lim
5
1
5
.
x
0xx
05
0
x x
5
x
sinx
lim
1
x
0 x

17.

Пример 2. Вычислим
sin
3
x
sin
7
x
sin
3
xsin
7
x
lim
lim
x
0
x
0 4
4
x
x
x 4
3
sin
3
x 7
sin
7
x 3 sin
3
x7 sin
7
x
lim
lim lim lim
x
0 4
04
x
03
x
07
3
x x
7
x 4
x 4
x
3 7 4
1
1
1
4 4 4

18.

Пример 3. Вычислим
2
x x
x
x
x
lim
lim
lim
lim
1
1
1
2
x
x
0
x
0
x
0
tg
x
tgx
tgx
tgx
tgx
Пример 4. Вычислим
2
2
1
cos
x sin
x
1
sin
x
sin
x
lim
lim
lim
2
2
x
05
0
x
0xx
x x
5
x5
1 sin
x sin
x1 1
lim
lim
1
1
x
0xx
0x 5
5
5

19.

Пример 5. Вычислим
x
1
5
lim
1
lim
1
x
x
x
x
5
x
x5
5
1
5
lim
1
e
x
x
5
x
5
5
1
lim
1 e
x
x

20.

Пример 6. Вычислим
lim 1 7 x lim 1 ( 7 x)
9
x
x 0
x 0
(lim 1 7 x
1
63
7x
)
e
x 0
1 e
lim
1
0
63
1
7 9
7x

21.

Пример 7. Вычислим
3
x
x
2
x
2
1
lim
lim
x
1
2
2
x x
x
3
x
3
x
3
2
x
2
1
1
lim
1
lim
1
x
x
x
x
2
2
3
2
x 2
3
1
lim
1
e2
x
2
x

22.

Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение предела функции
2. Сформулируйте теоремы о пределах
3. Назовите формулы первого и второго
замечательных пределов
4. Сформулируйте правила раскрытия
неопределенностей
0
и
0