Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления. (Семинар 6)

1.

Семинар 6. Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления
Первый замечательный предел
(предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге)
Теорема Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной
в радианах, равен единице, то есть lim
x 0
sin x
1
x
(1)
Доказательство
B
C
O
A
Рассмотрим в координатной плоскости круг радиуса R с центром в начале координат
OA R, AOB x,0 x , AC OA
2
x
1
S AOB S сект.AOB S AOC , то есть 1 R 2 sin x 1 R 2 x 1 R 2tgx или 1
.
sin
x
cos
x
2
2
2
1
x
В силу четности функций
это неравенство справедливо и для интервала
и
cos x
sin x

2.

2
x 0 . Перейдя в этом неравенстве к пределу при x 0 и заметив, что в силу
непрерывности функции cosx при х=0 имеет место равенство lim x 0 cos x 1 получим
x
sin x
lim x 0
1 , что равносильно lim x 0
1.
sin x
x
Второй замечательный предел
n
Рассмотрим выражение 1 1 , где n – натуральное число.
n
n
Задаем для n неограниченно возрастающие значения и вычисляем 1 1 . Получим
следующий результат
n
n
1
1
n
n
1
2
10
100
1000
10000
2
2,25
2,594
2,705
2,717
2,718
1
Как видно из таблицы при увеличении n выражение 1
n
n
изменяется все медленнее и стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718.
Теорема
n
1
Последовательность 1 стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3.
n

3.

(Доказательство на основании разложения по биному Ньютона). Этот предел
называется числом e. Итак
n
1
e lim n 1 , е=2,7182818284…
n
x
1
Рассмотрим функцию 1 , где ( x ( , 1) (0, )) . Можно доказать, что
e lim
x
1
x 1 .
x
x
Другое выражение для числа е. Полагая , 1 ( 1) будем иметь e lim 0 1
x
1
При вычислении пределом полезно применять следующие формулы:
k
ln( 1 x)
lim x (1 ) x e k ; lim x 0 (1 kx) x e k ; lim x 0
1.
x
x
1
Данные формулы легко получаются из двух основных формул.
Примеры с решениями
sin mx
x 0
x
1.Найти lim
Решение. Используя первый замечательный предел, имеем
m sin mx
sin mx
sin mx
lim
lim
m
lim
= x 0
x 0
mx = x 0 mx m
x

4.

1 cos 5 x
2. Найти lim
x 0
x2
2
2 sin 2 (5 x / 2)
1 cos 5 x
sin(
5
x
/
2
)
5
2
Решение. Имеем lim
= lim
= 2 lim (
) 2 25 / 2
2
x 0
x 0
x2
x 0
x
x
2
cos 3 x cos 7 x
x 0
x2
3. Найти lim
cos 3 x cos 7 x
2 sin 5 x sin 2 x
=
lim
2 5 2 20
x 0
x2
x 0
x x
Решение. Имеем lim
arcsin x
x 0
x
4. Найти lim
Решение. Сделаем замену
t arcsin x x sin t t 0
. Тогда получим
arcsin x
t
= lim
1
x 0
t
0
x
sin t
5. Найти lim 1 cos x
x 0
x2
lim
Решение. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное, то есть
x
1 cos x
1 cos x lim (1 cos x )(1 cos x)
2
lim
=
= lim
=
lim
2
2
2
x
0
2
x
0
x 0
x (1 cos x)
x
x (1 cos x ) x 0 x (1 cos x )
2 sin 2

5.

2
x
sin
1
1
2
lim
x 0
x 2(1 cos x ) 4
2
x
x
6. Найти lim
x x 1
Решение. Преобразуем выражение в скобках и выделим второй замечательный предел.
x
x = lim 1 1
lim
x 1 1 / x
x x 1
e
x 2
x 1
lim
7. Найти
x x 3
x
Решение. Преобразуем выражение в скобках и выделим второй замечательный предел.
x 1
lim
x x 3
x 2
e 1 1
1 1/ x 1 1/ x
3 e 4
= lim
x 1 3 / x
e 1
1 3/ x
x
x 5x 4
lim 2
x x 3 x 7
2
8. Найти
x
2

6.

Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть, а именно
x 2 5x 4
8x 3
. Таким образом, при x данная функция представляет
1
x 2 3x 7
x 2 3x 7
собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности
(неопределенность вида 1 ). Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй
замечательный предел.
x ( 8 x 3)
x
x 3 x 7 x 2 3 x 7
x 2 5x 4
8x 3
8x 3
= lim 1 2
lim 2
lim (1 2
) 8 x 3
=
=
x x 3 x 7
x
x
x
3
x
7
x
3
x
7
8 3 / x
x
2
x 3 x 7 1 3 / x 7 / x 2
8
x
3
lim (1 2
) 8 x 3
8x 3
. Так как
x
0 , при x , то
x
3
x
7
2
x 3x 7
x 2 3 x 7
8
x
3
lim (1 2
) 8 x 3 e
8 3/ x
x
. Принимая во внимание, что lim
8,
x
3
x
7
x 1 3 / x 7 / x 2
2
x
x 2 5x 4
окончательно получаем lim 2
e 8 .
x x 3 x 7
x
9. Найти lim e 1
x 0
x
Решение. Сделав замену e x 1 z, x ln( 1 z ), z 0 , получим второй
замечательный предел, а именно
ex 1
z
lim
x 0
x
lim
z 0
ln( 1 z )
1

7.

Примеры для самостоятельного решения.
Найти пределы:
tgx sin x
2) lim
x 0
x3
tg (mx)
1) lim
x 0 sin( nx )
sin 2 x
x 0 ln( 1 x)
4) lim
x 1
7) lim
x x 2
x
a x 1
9) lim
x 0
x
1 cos 5 x
x 0 1 cos 3 x
3) lim
x 1
6) lim 2
x
x
ln( x 2) ln 2
8) lim
x 0
x
arctg 2 x
5) lim
x 0 sin 3 x
e ax e bx
10) lim
x 0
x
2
x2 2