АГиТДУ Лекция 4 Ядро и образ ЛО

1.

АГиТДУ
Линейная алгебра
Лекция 3 Алгебра Л.О.
Ядро и образ линейного оператора.
Лектор курса
Поторочина К.С.
Доцент ДИТиА, ИРИТ-РТФ

2.

Алгебра линейных операторов
Пусть Aˆ : Ln Ln и Bˆ : Ln Ln – линейные операторы, действующие в ЛП Ln ,
x – произвольный вектор из Ln .
1. Равенство операторов
Определение. Aˆ Bˆ
ˆ Bx
ˆ .
x Ln Ax
Замечание. Рассмотрим Б e1,
, en – фиксированный базис в Ln ,
A и B – матрицы линейных операторов в соответствующем базисе,
X – столбец координат произвольного вектора x в базисе Б .
Из
определения
равенства
линейных
операторов
следует,
ˆ Bx
ˆ AX BX . В силу произвольности элемента x имеем A B .
Aˆ Bˆ x Ln Ax
Итак, при фиксированном базисе равным операторам соответствуют равные матрицы.
что

3.

Алгебра линейных операторов
2. Сложение операторов
Определение. Суммой операторов Â и B̂ называется оператор Cˆ Aˆ Bˆ , действующий по
ˆ Aˆ Bˆ x Ax
ˆ Bx
ˆ .
правилу: x Ln Cx
Покажем, что оператор Cˆ Aˆ Bˆ также является линейным оператором.
Проверим выполнение условий линейности:
x1, x2 Ln , 1, 2 P Cˆ 1x1 2 x2 Aˆ Bˆ 1x1 2 x2
ˆ Ax
ˆ Bx
ˆ
ˆ
Aˆ 1x1 2 x2 Bˆ 1x1 2 x2 1 Ax
1
2
2
1 1 2 Bx2
ˆ Bx
ˆ Bx
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ Ax
ˆ
1 Ax
1
1
2
2
2 1 A B x1 2 A B x2 1Cx1 2Cx2 .
ˆ Cx
ˆ , т.е. оператор линеен.
Итак x1, x2 Ln , 1, 2 P Cˆ 1x1 2 x2 1Cx
1
2
2

4.

Алгебра линейных операторов
3. Умножение оператора на число
Определение. Произведением оператора Â на число P называется такой оператор B̂ Aˆ , действу-
ˆ .
ющий по правилу: x Ln B̂x Aˆ x Ax
Легко проверить, что оператор B̂ Aˆ – линейный.
Замечание 1. При умножении линейного оператора на число матрица этого оператора умножается на
это число.
Замечание 2. Множество всех линейных операторов, действующих в Ln , образует линейное пространство
относительно операций сложения операторов и умножения оператора на число.

5.

Алгебра линейных операторов
4. Умножение операторов
ˆ ˆ (или
Определение. Произведением операторов Â и B̂ называется оператор Cˆ AB
ˆ AB
ˆ ˆ x Aˆ Bx
ˆ .
Cˆ Aˆ Bˆ ), действующий по правилу: x Ln Cx
Легко убедиться, что произведение линейных операторов также является линейным оператором
(доказать самостоятельно).
Замечание. При умножении линейных операторов перемножаются их матрицы в фиксированˆ ˆ BA
ˆ ˆ.
ном базисе, поэтому AB

6.

Алгебра линейных операторов
5. Обратный оператор
Пусть Â и B̂ – линейные операторы, действующие в линейном пространстве Ln .
ˆ ˆ BA
ˆ ˆ Eˆ .
Определение. Оператор B̂ называется обратным к Â и обозначается Â 1 , если AB
Замечание. Обратному оператору соответствует обратная матрица.

7.

Алгебра линейных операторов
Определение. Линейный оператор Â , действующий в линейном пространстве Ln , называется невырожденным, если равенство Âx возможно только для нулевого элемента пространства Ln . В противном случае оператор называется вырожденным.
Замечание. Невырожденному оператору соответствует невырожденная матрица.
Вывод: оператор имеет обратный тогда и только тогда, когда он является невырожденным.

8.

Образ и ранг ЛО
Пусть оператор Aˆ : Ln Lm .
Определение. Образом пространства оператора Â называют множество
ˆ ,
Im Aˆ Aˆ Ln y Lm | y Ax
x Ln .
Замечание. Im Aˆ – линейное подпространство Lm .
Определение. Рангом оператора Â называется число rg Aˆ dim Im Aˆ .
.
Замечание. Ранг оператора не зависит от выбора базисов в Ln и Lm
Теорема. Ранг оператора Â равен рангу его матрицы в любом базисе.

9.

Ядро и дефект линейного оператора
Пусть оператор Aˆ : Ln Lm , e1,
, en – базис в Ln , 1,
, m – базис в Lm .
Определение. Ядром оператора Â называется множество
ˆ , L .
KerAˆ x Ln | Ax
L L
m
Замечание. Ker Aˆ – линейное подпространство Ln .
Определение. Размерность ядра оператора Â называется дефектом оператора Â :
d Aˆ dim KerAˆ .
Теорема (о сумме ранга и дефекта линейного оператора). Сумма ранга и дефекта линейно-
го оператора Aˆ : Ln Lm равна размерности пространства Ln : rg Aˆ d Aˆ n .

10.

Собственные значения и собственные векторы ЛО
Пусть Â – линейный оператор, действующий на линейном пространстве Ln ( Aˆ : Ln Ln ).
Определение. Ненулевой вектор x Ln называется собственным вектором линейного оператора
 , соответствующим собственному значению , если справедливо равенство: Âx x .
(1)
Определение. Совокупность всех собственных значений линейного оператора называется его
спектром и обозначается Spec Aˆ .

11.

Собственные значения и собственные векторы ЛО
Замечание. Собственный вектор линейного оператора Â всегда отыскивается с точностью до произвольного ненулевого множителя.
Действительно, пусть x Ln – собственный вектор линейного оператора Â , соответствующий собственному значению , т.е. Âx x .
Подействуем оператором на вектор cx , где c P, c 0 : Aˆ cx cAˆ x c x cx .
Таким образом, вектор cx также является собственным вектором, соответствующим собственному
значению .

12.

Собственные значения и собственные векторы ЛО
Выберем в Ln некоторый базис Б e1,
, en ,
X - столбец координат собственного вектора x Ln в базисе Б,
через A – матрицу оператора в этом базисе.
Перейдем от операторного уравнения Âx x к матричному: AX X .
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a x a x ... a x 0,
22
2
2n n
Тогда A E X или 21 1
......
an1x1 an 2 x2 ... ann xn 0.
Получили систему линейных однородных уравнений (СЛОУ).
Так как вектор x , то ОСЛУ должна иметь ненулевое решение.
Это возможно лишь в случае, когда det A E A E 0 .
(2)

13.

Связь матриц ЛО при изменении базиса
det A E A E 0 .
(2)
Получили алгебраическое уравнение n -ой степени относительно переменной ,
которое называется характеристическим уравнением матрицы оператора Â .
Корни характеристического уравнения i (их число по основной теореме алгебры не превосходит n)
будут собственными значениями линейного оператора.
Подставляя каждое из собственных значений i в систему, находим координаты соответствующего
собственного вектора xi .
Замечание. В комплексном линейном пространстве Cn любой линейный оператор имеет хотя бы
один собственный вектор.

14.

Характеристический многочлен
det A E A E 0 .
(2)
Определение. Левая часть характеристического уравнения (2) называется характеристическим
многочленом оператора Â .
Определение. Инвариантом линейного оператора Aˆ : Ln Ln называется такое свойство матрицы оператора, которое не изменяется при изменении базиса в Ln .
Покажем, что характеристический многочлен инвариантен, т.е. не зависит от базиса.

15.

Характеристический многочлен
Зададим в Ln некоторый базис Б e1,
, en и базис Б e1 ,
, en .
A - матрица оператора Â в базисе Б, через – A’ матрицу оператора в базисе Б’.
Покажем, что det A E det A E .
Воспользуемся формулой связи матриц оператора в различных базисах: A T 1 AT ,
где T – матрица перехода от базиса Б к базису Б .
Тогда
det A E A E T 1 AT E T 1 AT T 1T T 1 A E T ,
T 1 A E T
1
A E T det A E , что и требовалось доказать.
T
Из инвариантности характеристического многочлена следует, что его корни являются
инвариантами оператора Â .

16.

Поиск СВ и СЗ ЛО. Способ 1.
Алгоритм поиска собственных значений и собственных векторов оператора Aˆ : Ln Ln
1. Составить характеристический многочлен
найти все его корни 1,
A E матрицы A оператора Â в некотором базисе и
, k , лежащие в основном поле P .
Это и будут собственные значения оператора Â : Spec Aˆ 1,
, n .
2. Если ЛО действует в вещественном пространстве, то оставить в спектре только вещественные i .
3. Для каждого i найти ненулевые решения системы A i E X .
Это и будут собственные векторы оператора Â .

17.

Второй способ поиска собственных векторов
A i E
Под матрицей A i E подписывают единичную матрицу того же размера
.
E
Элементарными преобразованиями столбцов этой матрицы нужно получить в верхней ее половине один или несколько нулевых столбцов, тогда под ними в нижней половине образуются собственные векторы, соответствующие данному значению i .

18.

Пример
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора Â , которому в не-
5 4
котором базисе соответствует матрица A
.
2
3
Решение. Составим характеристический многочлен и найдем его корни:
A E
5
4
2
3
(5 )(3 ) 8 2 8 7 ,
2 8 7 0, 1 7, 2 1 – корни характеристического уравнения.
(5 7) x1 4 x2 0
2 x1 4 x2 0
Для корня 1 7 :
,
.
2
x
(3
7)
x
0
2
x
4
x
0
1
1
2
2
2
Из системы получается зависимость: x1 2 x2 , откуда получаем первый собственный вектор b1 C ,
1
причем произвольную константу C можно отбросить.

19.

Пример
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора Â , которому в не-
5 4
котором базисе соответствует матрица A
.
2
3
Для собственного значения 2 1 найдем собственный вектор вторым способом:
4
A E 2
E 1
0
4
2
0
1
4 0
2 0
.
1
1
0 1
В верхней половине матрицы получили нулевой столбец, а в нижней половине – соответствующий соб-
1
b
ственный вектор, т.е. 2 .
1
Отметим, что в этом случае при нахождении собственных векторов постоянные множители не возникают.
2
1
Итак, b1 7 , b2 1 .
1
1