Нечёткие множества и операции над множествами

1.

1.4. Определение комплекта
Комплект – совокупность элементов, обладающих двумя свойствами:
1) элементы комплекта могут повторяться;
2) относительно каждого элемента можно сказать, принадлежит или не
принадлежит он этому комплекту.
~ ~ ~
Обозначение комплекта: A, B , C , …
Способы задания комплекта
1) перечисление элементов
~
A {a, b, b, c, c, c, c, c, c, c, k , k}
2) характеристическое свойство
~
A {x | x обладают общим свойством}
~
Пустой комплект равен пустому множеству .
~
Универсальный комплект U состоит из всех элементов, присутствующих в
данной задаче.
1

2.

Аналогом характеристической
экземплярности комплекта :
функции
множества
является
функция
~
k , x A,
A~ ( x)
~ x U ;
0, x A,
~
k – количество элементов x в комплекте A , U – универсальное множество.
~
~
Комплект A является подкомплектом комплекта B , если для любого
~ ~
~ ( x) ~ ( x) . Обозначение: A B .
элемента x U выполняется неравенство: A
B
~
~
Комплект A равен комплекту B , если для любого элемента
~ ~
~
~
выполняется равенство: A ( x) B ( x) . Обозначение: A B .
x U
2

3.

1.5. Операции над комплектами
~
~
1. Объединение комплектов A и B
A~ B~ ( x) max( A~ ( x), B~ ( x)) .
~
~
2. Пересечение комплектов A и B
A~ B~ ( x) min( A~ ( x), B~ ( x)) .
~
3. Дополнение комплекта A
~ ( x) U~ ( x) A~ ( x) .
A
~ ~
4. Разность комплектов A и B
A~ \ B~ ( x) max( A~ ( x) B~ ( x), 0) .
~ ~
5. Симметрическая разность комплектов A и B
A~ B~ ( x) max( A~ ( x) B~ ( x), B~ ( x) A~ ( x)) .
3

4.

Пример.
~
~
A {a, a, b, d , d , k , k , l , m},
B {a, c, c, c, d , e, e, e, k},
~
C {b, b, c, c, e, k , k , m}.Найти: A~ B~ , C~ B~ , ~ , B~ \ A~ , A~ C~ .
Даны
комплекты:
C
Решение.
Универсальный комплект
~
U {a, a, a, b, b, b, c, c, c, c, c, d , d , d , e, e, e, e, k , k , k , k , k , l , m, m}.
Функции экземплярности
U~ [3
A~ [2
B~ [1
C~ [0
3
1
0
2
5 3 4 5 1 2],
0 2 0 2 1 1] ,
3 1 3 1 0 0],
2 0 1 2 0 1].
4

5.

A~ [2 1 0 2 0 2 1 1] ,
B~ [1 0 3 1 3 1 0 0],
1. Объединение
A~ B~ [2 1 3 2 3 2 1 1].
B~ [1 0 3 1 3 1 0 0],
C~ [0 2 2 0 1 2 0 1].
2. Пересечение
C~ B~ [0 0 2 0 1 1 0 0] .
5

6.

3. Дополнение
U~ [3 3 5 3 4 5 1 2],
C~ [0 2 2 0 1 2 0 1].
~ [3 1 3 3 3 3 1 1] .
C
4. Разность
B~ [1 0 3 1 3 1 0 0],
A~ [2 1 0 2 0 2 1 1]
B~ \ A~ [0 0 3 0 3 0 0 0].
A~ [2 1 0 2 0 2 1 1] ,
C~ [0 2 2 0 1 2 0 1].
5. Симметрическая разность
A~ C~ [2 1 2 2 1 0 1 0] .
6

7.

1.6. Определение нечёткого множества
Основы нечеткой логики были заложены в 60-е гг. ХХ века, когда появилась
потребность принятия решений в условиях неполной и нечеткой информации.
Понятие нечеткого множества было введено Лотфи Заде (американский
математик, 1921 – 2017) в 1965 году. Он расширил понятие множества, допустив,
что характеристическая функция (функция принадлежности) может принимать
любые значения на отрезке [0, 1], а не только значения 0 или 1.
Нечёткое множество – совокупность элементов, обладающих двумя
свойствами:
1) в нечетком множестве нет повторяющихся элементов;
2) относительно каждого элемента можно сказать, с какой степенью он
принадлежит этому нечеткому множеству. Степень принадлежности элемента
изменяется на отрезке [0, 1].
ˆ , Bˆ , Cˆ ...
Обозначение: A
7

8.

Нечёткое множество может быть задано перечислением элементов с
указанием соответствующей степени принадлежности элемента нечёткому
множеству
Aˆ {( x | Aˆ ( x))},
Aˆ ( x) – функция принадлежности элемента нечёткому множеству А̂ ,
Aˆ ( x) [0; 1] .
Пусть А̂ и В̂ – нечёткие множества, U – универсальное множество. Говорят,
что А̂ содержится в В̂ , если для любого элемента x U выполняется
неравенство: ˆ ( x) ˆ ( x) .
A
B
Обозначение: Aˆ Bˆ .
Нечёткие множества А̂ и В̂ равны, если для любого элемента x U
выполняется равенство: ˆ ( x) Bˆ ( x) .
Обозначение: Aˆ Bˆ .
A
8

9.

1.7. Операции над нечёткими множествами
1. Объединение нечётких множеств Â и B̂
Aˆ Bˆ ( x) max( Aˆ ( x), Bˆ ( x)) .
2. Пересечение нечётких множеств Â и B̂
Aˆ Bˆ ( x) min( Aˆ ( x), Bˆ ( x)) .
3. Дополнение нечёткого множества Â
ˆ ( x) Uˆ ( x) Aˆ ( x) (Uˆ U ) U ( x) Aˆ ( x) .
A
4. Произведение нечётких множеств Â и B̂
Aˆ Bˆ ( x) Aˆ ( x) Bˆ ( x) .
9

10.

Пример.
Даны нечёткие множества:
Aˆ b | 1; e | 0,3; f | 0,8; q | 0,6; y | 0,5 ,
Bˆ a | 0,9; b | 0,7; e | 1; h | 0,7; o | 0,8; u | 0,6 ,
Cˆ b | 0,3; d | 1; e | 0,5; f | 0,1; o | 0,4 .
Найти: ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ , ˆ ˆ .
A B C B
B C
C
Решение.
Универсальное множество
U {a, b, d , e, f , h, o, q, u, y}.
Функции принадлежности
Uˆ U [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] ,
Aˆ 0 1 0 0,3 0,8 0 0 0,6 0 0,5 ,
Bˆ 0,9 0,7 0 1 0 0,7 0,8 0 0,6 0 ,
Cˆ 0 0,3 1 0,5 0,1 0 0,4 0 0 0 .
10

11.

Aˆ 0 1 0 0,3 0,8 0 0 0,6 0 0,5 ,
Bˆ 0,9 0,7 0 1 0 0,7 0,8 0 0,6 0 ,
1. Объединение
Aˆ Bˆ 0,9 1 0 1 0,8 0,7 0,8 0,6 0,6 0,5 .
2. Пересечение
Cˆ 0 0,3 1 0,5 0,1 0 0,4 0 0 0 ,
Bˆ 0,9 0,7 0 1 0 0,7 0,8 0 0,6 0 ,
Cˆ Bˆ 0 0,3 0 0,5 0 0 0,4 0 0 0 .
11

12.

Uˆ U [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] ,
Cˆ 0 0,3 1 0,5 0,1 0 0,4 0 0 0
3. Дополнение
ˆ 1 0,7 0 0,5 0,9 1 0,6 1 1 1 .
C
Bˆ 0,9 0,7 0 1 0 0,7 0,8 0 0,6 0 ,
Cˆ 0 0,3 1 0,5 0,1 0 0,4 0 0 0 .
4. Произведение
Bˆ Cˆ 0 0,21 0 0,5 0 0 0,32 0 0 0 .
12