Магнитное поле, скорость, ускорение

1.

Движение заряженной частицы в магнитном поле
Функция Гамильтона в магнитном поле
1
e
H
p A r
2m
c
2
Гамильтониан в координатном представлении
1 ˆ e
Hˆ
p A r
2m
c
2
Раскрыть квадрат в гамильтониане?

2.

Раскрываем квадрат в гамильтониане
2
2
1
e
1
e
e
ˆ
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
H
p A r
p p A r A r p A r
2m
c
2m
c
c
Коммутатор
pˆ , A r pˆ i , Ai r ?

3.

Коммутатор
pˆ , A r pˆ i , Ai r Ai Ai Ai
i xi
xi i xi
Или
pˆ , A r div A
i
Выбираем кулоновскую калибровку
divA 0 pˆ , A r 0
Гамильтониан в кулоновской калибровке
2
ˆ2
p
e
e
2
Hˆ
A r pˆ
A
r
2
2m mc
2mc
Гамильтониан в кулоновской калибровке для однородного поля?

4.

Векторный потенциал для однородного поля
Связь напряжённости с векторным потенциалом
rot A r i eikl
Al
xk
Поле однородное, поэтому векторный потенциал линеен по координатам.
Напряжённость перпендикулярна векторному потенциалу. Результат
A C r
Найти
C ?

5.

Связь напряжённости с векторным потенциалом в случае однородного поля
i Ceikl elmn
m xn Ceikl elmn m kn C im kn in km m kn C 3 im im m 2C i
xk
A
1
r
2

6.

Гамильтониан для однородного поля
2
ˆ2
2
p
e
e
ˆ
H
eikl k xl pˆ i
r
2
2m 2mc
8mc
Или
2
ˆ2
2
p
e
e
ˆ
ˆ
H
k ekli xl pi
r
2
2m 2mc
8mc
2
ˆ2
2
p
e
e
ˆ
ˆ
H
l
r
2
2m 2mc
8mc

7.

Оператор скорости (вычислить)
vˆi
i
Hˆ , xi
i
e
e
pˆ k Ak pˆ k Ak , xi
2m
c
c
Полезная формула
ˆ ˆ , Cˆ ABC
ˆ ˆ ˆ ACB
ˆ ˆ ˆ ACB
ˆ ˆ ˆ CAB
ˆ ˆ ˆ Aˆ Bˆ , Cˆ Aˆ , Cˆ Bˆ
AB

8.

Оператор скорости
vˆi
i
e
e
pˆ k Ak pˆ k Ak , xi
2m
c
c
i
e
e
e
e
pˆ k Ak pˆ k Ak , xi pˆ k Ak , xi pˆ k Ak
2m
c
c
c
c
i
e
e
pˆ k Ak pˆ k , xi pˆ k , xi pˆ k Ak
2m
c
c
i
e
1
e
2
pˆ k Ak ik pˆ i Ai
2m
c
m
c
i
Оператор скорости (результат)
vˆi
1
e
pˆ i Ai
m
c

9.

Оператор ускорения (вычислить)
ˆv i Hˆ , vˆ
i
i
Полезная формула
m
ˆ
H vˆk vˆk
2

10.

Оператор ускорения
ˆv im vˆ vˆ , vˆ im vˆ vˆ , vˆ vˆ , vˆ vˆ
i
k k
i
k
k
i
k
i
k
2
2
Вспомогательный коммутатор
vˆk , vˆi ?

11.

Вспомогательный коммутатор
vˆk , vˆi
1
m2
e
e
e
ˆ
ˆ
pk Ak , pi Ai 2 pˆ k , Ai Ak , pˆ i
c
c
mc
e
ie Ai Ak
2
, Ai Ak , 2
im c xk
x
m
c
x
x
i
i
k
Ответ пропорционален тензору электромагнитного поля, точнее, компонентам, связанным с магнитным
полем. Вычислить комбинацию вида
eikm m ?

12.

Результат
eikm m eikm emjl
Al
A A A
ij kl il kj l k i
x j
x j xi xk
Вспомогательный коммутатор (продолжение)
ie Ai Ak ie
vˆk , vˆi 2 2 ekim m
m c xk xi m c

13.

Оператор ускорения
ˆv im vˆ vˆ , vˆ vˆ , vˆ vˆ im ie e vˆ vˆ
i
k
k
i
k
i
k
kim
k
m
m k
2
2 m2c
e
eikm vˆk m eimk m vˆk
2mc
Оператор ускорения в векторном виде
e
ˆ
v
vˆ vˆ
2mc