(6.2) 8_Stationary_Eq_Sch_Free_particle (2)

1.

Возможные значения энергии свободной частицы.
Стационарное уравнение Шрёдингера
Для того, чтобы ответить на этот вопрос необходимо определить оператор
энергии. Этот оператор имеет специальное название – гамильтониан – и,
согласно догадке великих, для свободной частицы выражается через оператор
импульса также, как и в классической механике
2
ˆ
p
Hˆ
2m
Уравнение на возможные значения энергии также имеет специальное название – уравнение
Шрёдингера
Hˆ E x E E x
Записать уравнение Шрёдингера в явном виде?

2.

Уравнение Шрёдингера в явном виде
2
2m
d 2 E x
dx
2
E E x
Формально это уравнение совпадает с уравнением движения гармонического осциллятора.
Но мы решим его с помощью «квантовомеханических» рассуждений. Найдите коммутатор
Гамильтониана с оператором импульса
Hˆ , pˆ ?

3.

Результат
1
Hˆ , pˆ
pˆ 2 , pˆ 0
2m
Таким образом, энергия и импульс свободной частицы одновременно измеримы, а
гамильтониан и оператор импульса имеют общие собственные функции!
eipx /
E x p x
2
Найти возможные значения энергии?

4.

Возможные значения энергии свободной частицы
p2
Ep
2m
Состояние свободной частицы полностью определяется заданием двух квантовых чисел:
энергии и импульса. Если мы их знаем, мы сможем определить волновую функцию
частицы в любом представлении. Например, как выглядит волновая функция свободной
2
частицы с энергией E p0 p0 / 2m и импульсом p0 в импульсном представлении?
p0 ( p) ?
Указание: можно воспользоваться результатами, полученными при вычислении
Собственных функций оператора координаты в координатном представлении.

5.

Результат
p0 ( p ) p p0
Вырожденные уровни
Если одному и тому же значению энергии соответствуют два и более состояний системы, то
тогда говорят, что этот уровень энергии является вырожденным.
Для свободной частицы одному и тому же значению энергии соответствуют два состояния
с разными по знаку импульсами
E p E| p|
p
2
2m
Оказывается, что наличие вырождения напрямую связано с симметрией физической
системы относительно преобразований системы координат.
Найти коммутатор гамильниана и оператора чётности
Hˆ , Iˆ ?

6.

Результат
d 2 x d 2 x
Hˆ , Iˆ x
0
2
2
2m dx
d x
2
Вернёмся к уравнению Шрёдингера в явном виде
2
2m
d 2 E x
dx
2
E E x
Найти решения уравнения Шрёдингера, которые одновременно являются собственными
функциями оператора чётности?

7.

Результат
d 2 E x
dx
2
k E x 0, k
2
2mE
2
(E ) x (k ) x , (k ) x Ak( ) cos kx, (k ) x Ak( ) sin kx
Найти коммутатор операторов импульса и чётности
pˆ , Iˆ ?

8.

Результат
d x d x
pˆ , Iˆ x
pˆ , Iˆ 2 pI
ˆˆ
i dx
d x
«Сухой остаток»
Гамильтониан свободной частицы инвариантен относительно преобразований
параллельного переноса и отражения относительно начала отсчёта. Это определяет
Равенство нулю коммутаторов гамильтониана с операторами импульса и чётности,
которые не коммутируют между собой. В результате возникает вырождение уровней
энергии!