Возможные значения энергии свободной частицы. Стационарное уравнение Шрёдингера

1.

Возможные значения энергии свободной частицы.
Стационарное уравнение Шрёдингера
Для того, чтобы ответить на этот вопрос необходимо определить оператор
энергии. Этот оператор имеет специальное название – гамильтониан – и,
согласно догадке великих, для свободной частицы выражается через оператор
импульса также, как и в классической механике
2
ˆ
p
Hˆ
2m
Уравнение на возможные значения энергии также имеет специальное название – уравнение
Шрёдингера
Hˆ E x E E x
Записать уравнение Шрёдингера в явном виде?

2.

Уравнение Шрёдингера в явном виде
2
2m
d 2 E x
dx
2
E E x
Формально это уравнение совпадает с уравнением движения гармонического осциллятора.
Но мы решим его с помощью «квантовомеханических» рассуждений. Найдите коммутатор
Гамильтониана с оператором импульса
Hˆ , pˆ ?

3.

Результат
1
Hˆ , pˆ
pˆ 2 , pˆ 0
2m
Таким образом, энергия и импульс свободной частицы одновременно измеримы, а
гамильтониан и оператор импульса имеют общие собственные функции!
eipx /
E x p x
2
Найти возможные значения энергии?

4.

Возможные значения энергии свободной частицы
p2
Ep
2m
Состояние свободной частицы полностью определяется заданием двух квантовых чисел:
энергии и импульса. Если мы их знаем, мы сможем определить волновую функцию
частицы в любом представлении. Например, как выглядит волновая функция свободной
2
частицы с энергией E p0 p0 / 2m и импульсом p0 в импульсном представлении?
p0 ( p) ?
Указание: можно воспользоваться результатами, полученными при вычислении
Собственных функций оператора координаты в координатном представлении.

5.

Результат
p0 ( p ) p p0
Вырожденные уровни
Если одному и тому же значению энергии соответствуют два и более состояний системы, то
тогда говорят, что этот уровень энергии является вырожденным.
Для свободной частицы одному и тому же значению энергии соответствуют два состояния
с разными по знаку импульсами
E p E| p|
p
2
2m
Оказывается, что наличие вырождения напрямую связано с симметрией физической
системы относительно преобразований системы координат.
Найти коммутатор гамильниана и оператора чётности
Hˆ , Iˆ ?

6.

Результат
d 2 x d 2 x
Hˆ , Iˆ x
0
2
2
2m dx
d x
2
Вернёмся к уравнению Шрёдингера в явном виде
2
2m
d 2 E x
dx
2
E E x
Найти решения уравнения Шрёдингера, которые одновременно являются собственными
функциями оператора чётности?

7.

Результат
d 2 E x
dx
2
k E x 0, k
2
2mE
2
(E ) x (k ) x , (k ) x Ak( ) cos kx, (k ) x Ak( ) sin kx
Найти коммутатор операторов импульса и чётности
pˆ , Iˆ ?

8.

Результат
d x d x
pˆ , Iˆ x
pˆ , Iˆ 2 pI
ˆˆ
i dx
d x
«Сухой остаток»
Гамильтониан свободной частицы инвариантен относительно преобразований
параллельного переноса и отражения относительно начала отсчёта. Это определяет
Равенство нулю коммутаторов гамильтониана с операторами импульса и чётности,
которые не коммутируют между собой. В результате возникает вырождение уровней
энергии!