(8.1) 11_1_Nonstationary_Eq_Sch_Derivative (2)

1.

Производная от физической величины в квантовой механике
Вводный вопрос: почему для «квантовомеханической» частицы скорость нельзя
определять так же, как и в ньютоновой механике?
Определение оператора производной от оператора
Постулат
ˆ ˆ
f f
Рассмотрим правую часть равенства
fˆ
x, t ˆ
x, t
d
ˆf
ˆ
ˆ
dx x, t f x, t dx
f x, t dx x, t f
dx x, t x, t
dt
t
t
t
Преобразовать выражение, воспользовавшись нестационарным уравнением Шрёдингера
i
x, t
t
Hˆ x, t ,
x, t
i
t
Hˆ x, t

2.

Рассмотрим правую часть равенства
i
fˆ
i
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
dx H x, t f x, t dx x, t f H x, t dx x, t t x, t
Используя операцию транспонирования, преобразовать
i
ˆ x, t fˆ x, t ?
dx
H

3.

Результат
i
ˆ x, t fˆ x, t i dx x, t Hˆ
dx
H
T
i
ˆ ˆ x, t
fˆ x, t dx x, t Hf
Или
ˆ
ˆf dx x, t i Hˆ , fˆ f x, t fˆ
t
В силу произвольности волновой функции
ˆ i ˆ ˆ fˆ
f H , f
t
Интегралы движения
ˆ i ˆ ˆ
f H , f 0

4.

Задача. Вычислить
2
ˆ
p
xˆ, xˆ ? Hˆ
U x
2m
Указание. При вычислении оператора ускорения воспользоваться явным видом оператора импульса.

5.

Оператор скорости
xˆ
i
2
ˆ
i
p
i
2
Hˆ , xˆ
ˆ
ˆ
U
x
,
x
p
, xˆ
2m
2 m
Воспользоваться операторным тождеством
ˆ ˆ , Cˆ Aˆ Bˆ , Cˆ Aˆ , Cˆ Bˆ pˆ 2 , xˆ ?
AB

6.

Оператор скорости (продолжение)
xˆ
2
pˆ
pˆ , xˆ
pˆ pˆ , xˆ pˆ , xˆ pˆ
pˆ
2 m
2 m
2 m i
m
i
2
i
i
Или
ˆx pˆ
m

7.

Оператор ускорения
xˆ
i
2
ˆ
i
p
pˆ
i
Hˆ , xˆ
U x ,
U x , pˆ ?
m
m
2m
Воспользоваться явным видом оператора импульса

8.

Оператор ускорения (продолжение)
d x d
dU x
ˆ
U x x
x
U x , p x U x
i
dx
dx
i dx
«Квантовый» аналог уравнения Ньютона
ˆx i U x , pˆ i dU x 1 dU x
m
m i dx
m dx
3D геометрия
1
ˆ
r U r
m