Собственные значения и собственные векторы

1.

§15. Собственные значения и
собственные векторы
Ненулевой вектор x называется собственным
вектором линейного оператора y A ( x )
(матрицы A), если существует такое число ,
что
A ( x ) x ( Ax x ).
Число называется собственным значением
линейного оператора (матрицы),
соответствующим собственному вектору x.

2.

Замечание. При отображении с помощью
линейного оператора собственный вектор
переходит в себе коллинеарный.
Пусть
a11
a
21
A
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
,
... ...
... ann
x1
x
2
x
.
...
xn
Рассмотрим матричное равенство
Ax x.

3.

Запишем в координатной форме
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn x1 ,
a x a x ... a x x ,
21 1 22 2
2n n
2
............................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn xn ,
или
(a11 ) x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a x (a ) x ... a x 0,
21 1
22
2
2n n
.....................................................
an1 x1 an 2 x2 ... (ann ) xn 0.

4.

Получили однородную СЛУ.
ОСЛУ имеет ненулевое решение тогда и
только тогда, когда ее определитель равен
нулю.
В таком случае ОСЛУ имеет бесконечное
количество решений.

5.

Определитель полученной системы
det( A E )
a11
a21
...
an1
a12
...
a22 ...
...
an 2
a1n
a2 n
...
...
... ann
является многочленом степени n
относительно .
Он называется характеристическим
многочленом матрицы A.

6.

Уравнение
det( A E ) 0
называется характеристическим уравнением
матрицы A.
Корни характеристического уравнения
являются собственными числами матрицы A.
Множество собственных чисел называется
спектром матрицы A.

7.

Пример. Найти собственные числа и
собственные векторы матрицы
1 4
A
.
9 1
Решение. Составим характеристическое
уравнение
1
4
9
1
(1 ) 36 0.
2
1 5, 2 7 — собственные числа;
{ 5, 7} — спектр матрицы A.

8.

Найдем собственные векторы.
1 5.
6 x1 4 x2 0,
x2 1,5 x1.
9 x1 6 x2 0,
Пусть
x1 2t ,
тогда
x 3t .
2
Значит,
2t 2
t, t R, t 0
3t 3
— собственные векторы матрицы A,
соответствующие собственному числу 1 5 .

9.

2 7
6 x1 4 x2 0,
x2 1,5 x1.
9 x1 6 x2 0,
Пусть
x1 2t ,
тогда
x 3t .
2
Значит,
2t 2
t, t R, t 0
3t 3
— собственные векторы матрицы A,
соответствующие собственному числу 2 7 .

10.

Свойства собственных числа и собственных
векторов
1) Сумма собственных значений матрицы А
равная равна сумме элементов на главной
диагонали, а произведение собственных
значений равно определителю матрицы.
2) Собственные векторы матрицы А,
соответствующие разным собственным
значениям линейно независимы.

11.

3) Матрица оператора в базисе, состоящем из
его собственных векторов, является
диагональной.
При этом на главной диагонали расположены
элементы, равные собственным числам этого
оператора.

12.

Пример. Привести матрицу
1 4
A
9 1
к диагональному виду. Написать матрицу
перехода.
Решение.
В качестве базисных возьмем векторы
2
,
3
2
.
3

13.

Матрица перехода к новому базису имеет вид:
2 2
C
.
3 3
В новом базисе матрица имеет вид:
5 0
A
.
0 7
*
Проверка:
1 3 2
C
.
12 3 2
1
1 3 2 1 4 2 2 5 0
A C AC
.
12 3 2 9 1 3 3 0 7
*
1