Линейные преобразования: основные понятия и определения

1.

2.

Линейные преобразования: основные понятия и определения

3.

Доказательство теоремы 1.
x x1e1 x2e2 ... xnen ,
y y1e1 y2e2 ... ynen
y A x A x1e1 x2e2 ... xnen x1 A e1 x2 A e2 ... xn A en
y x1 a11e1 a21e2 ... an1en x2 a12 e1 a22 e2 ... an 2en
... xn a1ne1 a2ne2 ... annen .
y x1a11 x2a12 ... xna1n e1 x1a21 x2a22 ... xna2n e2
... x1an1 x2an 2 ... xnann en .

4.

Продолжение доказательства теоремы 1
y1 x1a11 x2 a12 ... xn a1n ,
y1
y x a x a ... x a ,
2
y2
1 21
2 22
n 2n
Y
,
y n x1an1 x2 an 2 ... xn ann .
yn
Y A X
x1
x
X 2 ,
xn
a11
a
A 21
an1
a12
a22
an 2
a1n
a2 n
ann

5.

6.

Связь матриц одного и того же линейного преобразования в двух базисах
Y A X ,
Y T Y' , X T X ' ;
T Y' A T X ' ,
Y' A' X'
A' T
1
A T
T 1 T Y' T 1 A T X ' ,
E Y' T 1 A T X ' ,
Y' T 1 A T X '
A T A' T
1

7.

Инвариантность величины определителя матрицы линейного преобразования
A' T 1 A T ,
det A' det T
1
det A T
A T det T
1
1
det A det T det A
det T

8.

Невырожденные линейные преобразования
A x 0
A X O,
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0 ,
0
a x a x ... a x 0 ,
0
22 2
2n n
O 21 1
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0.
0

9.

A e1 e1 1 e1 0 e2 ... 0 en ,
A e2 e2 0 e1 1 e2 ... 0 en ,
A en en 0 e1 0 e2 ... 1 en
1 0 0
0 1 0
A
0 0 1

10.

1)
a)
y1 , y2 E A
x1 , x2 L : y1 A x1 , y2 A x2 ,
y1 y2 A x1 A x2 A x1 x2 , x1 x2 L , y1 y2 A x1 x2 L
y A x A x
б) y E A x L : y A x R
x L , y A x L
2)
y A x , x x1e1 x2e2 ... xnen ,
E A
y x1 A e1 x2 A e2 ... xn A en ,

11.

12.

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0 ,
a x a x ... a x 0 ,
21 1
22 2
2n n
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0 ,
a11
a
A 21
an1
a12
a22
an 2
a1n
a2n
ann
(1)

13.

Пример 1.
5 7 0
3 4
2
3
3
2
0
A
~
4 11 13 16 0
7 2 1
3
0
1
7
0 17
3 x1 4 x2 5 x3 7 x4 0 ,
2 x 3 x 3 x 2 x 0 ,
1
2
3
4
4 x1 11x2 13 x3 16 x4 0 ,
7 x1 2 x2 x3 3 x4 0.
8 9 0
1 7
2 3 3 2 0
4 11 13 16 0 ~
7 2 1
3 0
7
1
0 17
0 17
0 51
8
19
19
57
9 0
20 0
~
20 0
60 0
7
8
9 0
1
0 17 19 20 0
A
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
17 0,
x1 7 x2 8 x3 9 x4 0,
-17 x2 19 x3 20 x4 0.
3
13
17
17
19
20
X1
,X
,
17 2 17
1
0
0
1
x2
19
3
, x1 ;
17
17
x2
20
13
, x1 ;
17
17
13
3
13 3
C1 C 2
17
17
17 17
19
20
19
20
X C1 X 1 C 2 X 2 C1 C 2 C1 C 2 .
17
17 17
17
1
0
C1
C2
0
1

14.

Собственные векторы и собственные значения
A x A x A x x A 0 0,
A x A x x x x.
x 0,
x 0, 0,

15.

Собственные векторы и собственные значения
A kx kA x k x kx
x x1e1 x2e2 ... xnen ,
x1 , x2 ,...,xn R ,
x1
x2
X
xn

16.

Собственные векторы и собственные значения
A x x A X X
a11 a12 a1n x1
x1
a21 a22 a2 n x2
x2
an1 an 2 ann xn
xn
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn x1 ,
a x a x ... a x x ,
21 1 22 2
2n n
2
an1x1 an 2 x2 ... ann xn xn ;
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a x a x ... a x 0,
21 1
22
2
2n n
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0.

17.

Собственные векторы и собственные значения
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a x a x ... a x 0,
21 1
22
2
2n n
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn 0.
a11
a21
a1n
a22
a2n
a12
an1
an 2
ann
0
(1)
(2)

18.

Собственные векторы и собственные значения
Пример
Решение.
2
1
0,
2
3
5 4 0,
2
1:
2 3 2 0, 6 3 2 2 2 0,
1,
4.
x1 x2 0 ,
x2 x1 ;
2 x1 2 x2 0 ,
x1 a ,
x2 a ,
a
, a 0
a
a R.
4:
2 x1 x2 0,
x2 2 x1 ;
2
x
x
0
,
1
2
x1 b ,
x2 2b ,
b R.
b
, b 0
2b

19.

Характеристический многочлен
a11
a21
an1
a11 a12 a1n 0 0
a22
a2 n a21 a22 a2 n 0 0
A E
an 2
ann an1 an 2 ann 0 0
a12
a1n
A T 1 A T
det A' E det T 1 A T E T 1 T det T 1 A T T 1 E T
det T 1 A E T
1
det A E det T det A E .
det T

20.

Спектор линейного преобразования
Доказательство. Изучите самостоятельно.

21.

A e1 1e1 1e1 0 e2 ... 0 en ,
A e2 2e2 0 e1 2 e2 ... 0 en ,
A en n en 0 e1 0 e2 ... n en
1 0 0
0 2 0
0 0 n