Линейная алгебра. Невырожденные матрицы. Основные понятия

1.

Линейная алгебра
Невырожденные матрицы. Основные понятия.
Обратная матрица.
Методы нахождения обратной матрицы.
Матричные уравнения.

2.

Пусть дана квадратная матрица:
a11 a12
a
a22
21
A
...
an1 an 2
... a1n
... a2 n
... ann
Квадратная матрица называется невырожденной,
если её определитель не равен нулю: det A 0.
В противном случае ( det A 0 ) матрица А
называется вырожденной.

3.

Обратной матрицей по отношению к данной
невырожденной квадратной матрице A n - ного
порядка, называется матрица, которая, будучи
умноженной как слева, так и справа на данную
матрицу, дает единичную матрицу, а сама матрица –
обратимой.
Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким
образом, согласно определению: АА-1=А-1А=Е. (1)
Теорема. Для каждой обратимой матрицы
существует только одна обратная матрица.

4.

Матрицей, союзной (присоединенной) к
матрице А, называется матрица
A11
A
12
*
A
A1n
A21
A22
...
A2 n
...
...
...
An1
An 2
Ann
где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij
данной матрицы (оно определяется так же, как и
алгебраическое дополнение элемента определителя).
Заметим, что в i -ой строке матрицы А* расположены
алгебраические дополнения элементов j- ого столбца
определителя.

5.

Свойства обратной матрицы:
1
det A (det A)
1
1
1
1
( A B) B A
A A
1
T
1 T
Докажем, например второе свойство: в соответствии с
определением обратной матрицы достаточно доказать два
равенства:
1
1
(
B
A
)( A B) E
( A B) B A E и
1
1
Используя ассоциативность умножения матриц, получим:
1
1
1
1
1
1
( A B) B A A ( B B ) A A E A A A E
1
1
1
1
1
1
( B A )( A B) B ( A A) B B EB B B E

6.

Виды матричных уравнений и их
решения
A X B умножим слева на А-1 X A 1 B
X A B умножим справа на
A X B C
А-1
1
X B A
умножим справа на В -1
1
1
и
X A C B
-1
умножим слева на А

7.

Самостоятельно