Линейная алгебра

1. МАТЕМАТИКА. ТЕМА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

http://connect.ustu.ru
МАТЕМАТИКА.
ТЕМА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Адрес электронной образовательной среды,
системы электронного обучения Гиперметод
learn.urfu.ru
Лектор:
Карицкая Светлана Геннадьевна,
Кандидат технических наук, доцент

2. ПЛАН ЛЕКЦИИ

1.
2.
3.
4.
Определение и виды матриц.
Действия над матрицами
Определители
Вырожденные и обратные матрицы
Решение систем линейных
уравнений

3.

1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД
НИМИ

4. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Прямоугольной матрицей размером m n,
где m – число строк, n – число столбцов,
называется прямоугольная таблица чисел,
расположенных в определенном порядке.
Эти числа называются элементами
матрицы. Место каждого элемента
однозначно определяется номером строки и
столбца, на пересечении которых он
находится.

5. ВИДЫ МАТРИЦ

4
12
17 29 Прямоугольная
матрица
30 36
3
22
Матрица-столбец
0
5
3 1 2
4 2 0 Квадратная
матрица
5 6 1
1
3 2 0
Матрица-строка

6. ПРИНЦИП НУМЕРАЦИИ СТРОК И СТОЛБЦОВ

СТРОКИ НУМЕРУЮТСЯ СВЕРХУ
ВНИЗ, НАЧИНАЯ С № 1.
СТОЛБЦЫ НУМЕРУЮТСЯ СЛЕВА
НАПРАВО, НАЧИНАЯ С № 1.

7. СТРОКА И СТОЛБЕЦ

4
12
17
29
30 36 3-я строка
4
12
17
29
30 36 2-й столбец

8. РАЗМЕР МАТРИЦЫ

МАТРИЦА, ИМЕЮЩАЯ m СТРОК И n
СТОЛБЦОВ, НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
РАЗМЕРА m НА n.
4
12
17 29 Матрица размера 3 на 2
(3 строки, 2 столбца)
30 36

9. ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ РАЗМЕРА m НА n

a11 a12
a21 a22
A
...
...
a
m1 am2
A ( aij )
a1n
... a2n
... ...
... amn
...

10. ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ

4 Элемент a31 a-три-один 30
12
17 29
(3-я строка,1-й столбец)
30 36

11. ДИАГОНАЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

3 1 2
4 2 0 Главная диагональ
5 6 1
3 1 2
4 2 0 Побочная диагональ
5 6 1

12. ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Верхняя треугольная матрица
3 1 2
0 2 0 (под главной диагональю стоят нули)
0 0 1
Нижняя треугольная матрица
3 0 0
1 2 0 (над главной диагональю стоят нули)
2 0 1

13. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

14. ЛЮБУЮ МАТРИЦУ МОЖНО УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛО

3 1 2 15 5 10
5 4 2 0 20 10 0
5 6 1 25 30 5

15. МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ

3 1 2 8 5 5
4 2 0 7 3 14
3 8 1 5 2 5
2 3
0 14
4 7

16. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

4
12
Исходная
A 17
29
матрица (размер 3 на 2)
30 36
12 17 30 Транспонированная
A
матрица (размер 2 на 3)
4
29
36
T

17. УМНОЖЕНИЕ СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ (СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)

7
2
5
3
0
2 7 5 0 3 4 2
4

18. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА СТОЛБЕЦ

3 1 2 8 3 8 1 7 2 2 21
4 2 0 7 4 8 2 7 0 2 46
5 6 1 2 5 8 6 7 1 2 4

19. ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА,
МОЖНО УМНОЖИТЬ НА
МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА,
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A
РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B

20. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ

С A B
A левая матрица, B правая матрица

21. ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

3 1 2 8 1
4 2 0 7 2
5 6 1 2 3
3 8 1 7 2 2 3 1 1 2 2 3 21 5
4 8 2 7 0 2
4 1 2 2 0 3 46 8
5 8 6 7 1 2 5 1 6 2 1 3 4 4

22. УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ

7 2
7
0 2 5 3 0 2
4
4 2
7 5
0 5
4 5
14 35 21
0
0
0
8 20 12
7 3
0 3
4 3

23. ВАЖНЫЕ ТИПЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

1 0 0
Единичная матрица
E 0 1 0
(размер 3 на 3)
0 0 1
0 0 0
Нулевая матрица
0 0 0 0
(размер 3 на 3)
0 0 0

24. СВОЙСТВО ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ: A•E=E•A=A

5 7 4 1 0 0 5 7 4
3 6 8 0 1 0 3 6 8
11 4 0 0 0 1 11 4 0
1 0 0 5 7 4 5 7 4
0 1 0 3 6 8 3 6 8
0 0 1 11 4 0 11 4 0

25.

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

26.

detA =
a11
a12
a21
a22
a11a22 a12 a21

27.

a11
a12
a13
a21
a22
a23 а11a22 a33 a12 a23 a31 a21a32 a13
a31
a32
a33
a31a22 a13 a21a12 a33 a32 a23 a11

28.

29.

Правило треугольников для вычисления
определителя

30.

a11
...
ai1
...
an1
a12
...
.
a1 j
...
a1n
...
...
...
...
...
ai 2
...
aij
...
...
...
...
...
ain M ij
...
anj
...
ann
an 2 ...

31.

Aij ( 1)
.
i j
M ij

32.

Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель
не меняется:detA = detAT.
Свойство 2. det (A B) = det A det B.
Свойство 3. det (AB) = detA detB
.
Свойство 4. Перестановка любых двух строк (или столбцов)
меняет знак определителя.
Свойство 5.Общий множитель строки (столбца) можно
выносить за знак определителя.
Свойство 6. Определитель с двумя равными строками (или
столбцами) равен нулю.

33.

Свойство 7. Определитель с двумя пропорцио-нальными
строками (или столбцами) равен нулю.
Свойство 8. Если матрица содержит нулевой столбец или
нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное
утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно
.
именно по нулевой строке или
столбцу.)
Свойство 9. Величина определителя не изменится, если к
элементам одной из его строк(столбца)
прибавить(вычесть) соответствующие элементы другой
строки(столбца), умноженные на какое-либо число k, не
равное нулю.

34.

Свойство 10. Если для элементов какой-либо
строки (или столбца) матрицы верно соотношение
d = d1 d2 , e = e1 e2 , f = f1 f2 , то верно
a b
c
a
d
e
f d1 e1
k
l
m
k
b
l.
c
a
b
c
f1 d 2
e2
f2
m
l
m
k
Свойство 11. Величина определителя треугольной
матрицы равна произведению элементов, стоящих
на главной диагонали.

35.

Свойство
12.
Теорема
аннулирования. Сумма произведений
элементов некоторой строки (столбца)
на соответствующие алгебраические
дополнения элементов другой строки
(столбца) равна нулю.
.
Свойство 13. Теорема разложения.
Величина определителя равна сумме
произведений элементов некоторой
строки
(или
столбца)
на
их
алгебраические дополнения.

36. Вырожденные и обратные матрицы

ВЫРОЖДЕННЫЕ И
ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

37.

Если определитель квадратной
матрицы А не равен нулю,
матрицу
называют
невырожденной, в противном
случае
А
называют
вырожденной матрицей.
.

38.

Матрица, составленная из алгебраических
дополнений
элементов
исходной
матрицы
А,
называется
присоединенной матрицей
A11.
A21
V
A
...
An1
A12
...
A22
...
...
...
An 2 ...
A1n
A2 n
...
Ann

39.

1
V
A
A
det A
1
T
A11
1 A12
.
det A ...
A1n
An1
... An 2
... ...
... Ann
A21 ...
A22
...
A2 n

40.

.

41.

Если матрица не квадратная, то обратной
матрицы не существует.
Вычисляем определитель исходной
матрицы. Если он равен нулю, обратной
матрицы не существует. Если нет,
переходим к следующему пункту.
Находим алгебраические дополнения
элементов исходной. матрицы и
составляем из них транспонированную
присоединенную матрицу.
Вычисляем обратную матрицу по формуле
Проверяем правильность вычисления
обратной матрицы, исходя из ее
определения.

42.

.

43.

.

44.

Сводная таблица по векторной алгебре