1/47

СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР МАТРИЦЫ

МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ

УМНОЖЕНИЕ СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ (СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА СТОЛБЕЦ

ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ

Свойства линейных операции над матрицами

634.50K

Category: $mathematics$ mathematics

Матрицы и действия над ними. Слайд-лекция №1

1.

СЛАЙД-ЛЕКЦИЯ № 1
ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД
НИМИ»

2. ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ
2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ
И РАЗМЕР МАТРИЦ
3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

3. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ

4. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЕЙ НАЗЫВАЕТСЯ
ПРЯМО-УГОЛЬНАЯ ИЛИ
КВАДРАТНАЯ ТАБЛИЦА,
ЗАПОЛНЕННАЯ ЧИСЛАМИ.
ЧИСЛА, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ
МАТРИЦУ, НАЗЫВАЮТСЯ
ЭЛЕМЕНТАМИ МАТРИЦЫ.

5. ВИДЫ МАТРИЦ

4
12
17 29 Прямоугольная
матрица
30 36
3
22
Матрица-столбец
0
5
3 1 2
4 2 0 Квадратная
матрица
5 6 1
1 3 2
0
Матрица-строка

6. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР МАТРИЦЫ

7. ПРИНЦИП НУМЕРАЦИИ СТРОК И СТОЛБЦОВ

СТРОКИ НУМЕРУЮТСЯ СВЕРХУ
ВНИЗ, НАЧИНАЯ С № 1.
СТОЛБЦЫ НУМЕРУЮТСЯ СЛЕВА
НАПРАВО, НАЧИНАЯ С № 1.

8. СТРОКА И СТОЛБЕЦ

4
12
17
29
30 36 3-я строка
4
12
17
29
30 36 2-й столбец

9. РАЗМЕР МАТРИЦЫ

МАТРИЦА, ИМЕЮЩАЯ m СТРОК И n
СТОЛБЦОВ, НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
РАЗМЕРА m НА n.
4
12
17 29 Матрица размера 3 на 2
(3 строки, 2 столбца)
30 36

10. ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ РАЗМЕРА m НА n

a11 a12
a21 a22
A
...
...
a
m1 am2
a1n
... a2n
... ...
... amn
...

11. ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ

4 Элемент a31 a-три-один 30
12
17 29
(3-я строка,1-й столбец)
30 36

12. ДИАГОНАЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

3 1 2
4 2 0 Главная диагональ
5 6 1
3 1 2
4 2 0 Побочная диагональ
5 6 1

13. ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Верхняя треугольная матрица
3 1 2
0 2 0 (под главной диагональю стоят нули)
0 0 1
Нижняя треугольная матрица
3 0 0
1 2 0 (над главной диагональю стоят нули)
2 0 1

14. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

15. ЛЮБУЮ МАТРИЦУ МОЖНО УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛО

3 1 2 15 5 10
5 4 2 0 20 10 0
5 6 1 25 30 5

16. МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ

3 1 2 8 5 5
4 2 0 7 3 14
3 8 1 5 2 5
2 3
0 14
4 7

17. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

4
12
Исходная
A 17
29
матрица (размер 3 на 2)
30 36
12 17 30 Транспонированная
A
матрица (размер 2 на 3)
4
29
36
T

18. УМНОЖЕНИЕ СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ (СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)

7
2
5
3
0
2 7 5 0 3 4 2
4

19. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА СТОЛБЕЦ

3 1 2 8 3 8 1 7 2 2 21
4 2 0 7 4 8 2 7 0 2 46
5 6 1 2 5 8 6 7 1 2 4

20. ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА,
МОЖНО УМНОЖИТЬ НА
МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА,
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A
РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B

21. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ

С A B
A левая матрица, B правая матрица

22. ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

3 1 2 8 1
4 2 0 7 2
5 6 1 2 3
3 8 1 7 2 2 3 1 1 2 2 3 21 5
4 8 2 7 0 2
4 1 2 2 0 3 46 8
5 8 6 7 1 2 5 1 6 2 1 3 4 4

23. УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ

7 5
7 2
7
0 2 5 3 0 2
0
5
4
4 2 4 5
14 35 21
0
0
0
8 20 12
7 3
0 3
4 3

24. ВАЖНЫЕ ТИПЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

1 0 0
Единичная матрица
E 0 1 0
(размер 3 на 3)
0 0 1
0 0 0
Нулевая матрица
0 0 0 0
(размер 3 на 3)
0 0 0

25. СВОЙСТВО ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ: A•E=E•A=A

5 7 4 1 0 0 5 7 4
3 6 8 0 1 0 3 6 8
11 4 0 0 0 1 11 4 0
1 0 0 5 7 4 5 7 4
0 1 0 3 6 8 3 6 8
0 0 1 11 4 0 11 4 0

26. § 1. Матрицы и действия над ними

1. Определение и некоторые виды матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Матрицей размера m n называется
таблица, образованная из элементов некоторого
множества (например, чисел или функций) и имеющая m
строк и n столбцов.
Если m n, то матрицу называют прямоугольной.
Если m n, то матрицу называют квадратной, порядка n.
Элементы, из которых составлена матрица, называются
элементами матрицы.
Например, a24 –
a13 –

27.

a11
a
A 21
am1
a12
a22
am 2
a1n
a2 n
,
amn
a11 a12
a21 a22
A
a
m1 am 2
a1n
a2 n
amn
A ( aij ) , ( i 1, m, j 1, n )
A ( aij ) , ( i, j 1, n )
Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового
размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых
местах, равны между собой, т.е. aij bij.

28. Некоторые частные случаи матриц

a11
a
1) Матрицу A 21 ( ai1 ) , размера m 1 называют
am1
матрицей-столбцом длины m
2) Матрицу A a11 a12 a1n ( a1i ) , размера 1 n
называют матрицей-строкой длиныn
3) Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы
которой равны нулю:
0 0 0
0 0 0
O
0 0 0

29.

4) Пусть A ( aij ) , ( i 1, m, j 1, n )
Элементы a11, a22, …, akk (где k min{m,n}) будем называть
элементами главной диагонали матрицы.
Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне
главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:
a11 0
0 a
22
A
0 0
0
0
ann
Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1,
называется единичной:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Обозначают: E или En.

30.

5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы
a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами
побочной диагонали матрицы.
Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше)
главной или побочной диагонали равны нулю, называются
треугольными :
b11 b1, n 2 b1, n 1 b1n
a11 a12 a13 a1n
0 a a a
b
b
b
0
2, n 2
2, n 1
22
23
2n
21
A 0 0 a33 a3 n , B b31 b3, n 2
0
0 ,
0 0 0 a
b 0
0
0
nn
n1
0
0
d1n
0
c11 0 0 0
0
c c
0
d
d
0
0
2, n 1
2n
21 22
C c31 c32 c33 0 , D 0 d3, n 2 d3, n 1 d3n
d d
d
d
cn1 cn2 cn3 cnn
n, n 2
n, n 1
nn
n1

31.

6) Прямоугольную матрицу размера m n будем называть
трапециевидной, если все ее элементы ниже главной
диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:
a11 a12
0 a
22
A 0 0
0 0
a13
a23
a33
0
a1m
a2 m
a3 m
amm
a1n
a2 n
a3 n
amn

32. 2. Линейные операции над матрицами

1) Умножение матрицы на число;
2) Сложение матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(aij) на число
называется такая матрица B=(bij), элементы которой
равны произведениям соответствующих элементов
матрицы A на число , т.е.
bij= ·aij.
Обозначают: ·A, A.
Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A,
Обозначают –A.

33.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij)
одинакового размера, называется такая матрица C=(cij),
элементы которой равны суммам соответствующих
элементов матриц A и B, т.е. cij = aij + bij .
Обозначают: A+B
Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B.
Обозначают: A–B

34. Свойства линейных операции над матрицами

1) A B B A (коммутативность сложения матриц)
2) ( A B ) C A ( B C ) (ассоциативность сложения
матриц)
3) A O A
4) A ( A ) O
5) ( A ) ( )A (ассоциативность относительно умножения
чисел)
6) ( )A A A (дистрибутивность умножения на
матрицу относительно сложения чисел)
7) ( A B ) A B (дистрибутивность умножения на
число относительно сложения матриц)
8) 1A A

35. 3. Нелинейные операции над матрицами

1) Умножение двух матриц;
2) Транспонирование матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a1i) и B=(bi1) – матрица-строка
и матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением
матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется
число c, равное сумме произведений их соответствующих
элементов, т.е.
c a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 + … + a1n · bn1 .

36.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m n,
B=(bij) – матрица размера n k (т.е. количество столбцов
в матрице A совпадает с количеством строк матрицы
B). Произведением матрицы A на матрицу B
называется матрица C =(cij) размера m k такая, что
каждый ее элемент cij является произведением i-й
строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е.
cij ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj .
Обозначают: A ·B, AB.

37. Свойства операции умножения матриц

1) AE EA A , AO OA O
2) ( AB )C A( BC ) (ассоциативность умножения матриц)
3) ( A B)C AC BC
дистрибутивность умножения
4) C( A B) CA CB
матриц относительно сложения матриц.

38.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m n.
Матрица размера n m, полученная из A заменой
каждой ее строки столбцом с тем же номером,
называется транспонированной к A и обозначается AТ.
Операция нахождения матрицы AТ называется
транспонированием матрицы A.
Свойства операции транспонирования матриц
1) (AТ )T = A ;
2) (A + B)T = AT + BT ;
3) (αA)T = αAT ;
4) (A · B)T = BT · AT .