Матрицы и действия над ними
Некоторые частные случаи матриц
2. Линейные операции над матрицами
Свойства линейных операции над матрицами
3. Нелинейные операции над матрицами
Пример
Свойства операции умножения матриц
ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ
872.00K
Category: mathematicsmathematics

Матрицы и действия над ними

1. Матрицы и действия над ними

1. Определение и некоторые виды матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Матрицей размера m n называется
таблица, образованная из элементов некоторого множества
(например, чисел или функций) и имеющая m строк и n
столбцов.
Если m n, то матрицу называют прямоугольной.
Если m n, то матрицу называют квадратной, порядка n.
Элементы, из которых составлена матрица, называются
элементами матрицы.
Например, a24 –
a13 –

2.

a11
a
A 21
am1
a12
a22
am 2
a1n
a2 n ,
amn
a11 a12
a
21 a 22
A
an1 an 2
a1n
a 2n
a nn
A ( aij ) , ( i 1, m, j 1, n )
A ( aij ) , ( i, j 1, n )
Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового
размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых
местах, равны между собой, т.е. aij bij.

3. Некоторые частные случаи матриц

a11
a
1) Матрицу A 21 ( ai1 ) , размера m 1 называют
am1
матрицей-столбцом длины m
2) Матрицу A a11 a12 a1n ( a1i ) , размера 1 n
называют матрицей-строкой длиныn
3) Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы
которой равны нулю:
0 0 0
0 0 0
O
0 0 0

4.

4) Пусть A ( aij ) , ( i 1, m, j 1, n )
Элементы a11, a22, …, akk (где k min{m,n}) будем называть
элементами главной диагонали матрицы.
Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне
главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:
a11 0 0
0 a 0
22
A
0 0 ann
Диагональная матрица, у которой все элементы главной
диагонали равны 1, называется единичной:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Обозначают: E или En.

5.

5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы
a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами побочной
диагонали матрицы.
Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше)
главной или побочной диагонали равны нулю, называются
треугольными :
b11 b1, n 2 b1, n 1 b1n
a11 a12 a13 a1n
0 a a a
b
b
b
0
2, n 2
2, n 1
22
23
2n
21
A 0 0 a33 a3 n , B b31 b3, n 2
0
0 ,
0 0 0 a
b 0
0
0
nn
n1
0
0
d1n
0
c11 0 0 0
0
c c
0
d
d
0
0
2, n 1
2n
21 22
C c31 c32 c33 0 , D 0 d3, n 2 d3, n 1 d3n
d d
d
d
cn1 cn2 cn3 cnn
n, n 2
n, n 1
nn
n1

6.

6) Прямоугольную матрицу размера m n будем называть
трапециевидной, если все ее элементы ниже главной
диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:
a11 a12
0 a
22
A 0 0
0 0
a13
a23
a33
0
a1m
a2 m
a3 m
amm
a1n
a2 n
a3 n
amn

7. 2. Линейные операции над матрицами

1) Умножение матрицы на число;
2) Сложение матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(aij) на число
называется такая матрица B=(bij), элементы которой
равны
произведениям
соответствующих
элементов
матрицы A на число , т.е.
bij= ·aij.
Обозначают: ·A, A.
Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A,
Обозначают –A.

8.

a11 a12
a21 a22
A
a
m1 a m2
a1n
a2 n
,
amn
a11 a12
a 21 a 22
A
a
m1 a m 2
αa11 αa12
αa 21 αa22
αA
αα
m1 αam2
a1n
a2n
,
a mn
αa1n
αa 2n
αamn

9.

10.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij)
одинакового размера, называется такая матрица C=(cij),
элементы которой равны суммам соответствующих
элементов матриц A и B, т.е. cij = aij + bij .
Обозначают: A+B
Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B.
Обозначают: A–B
a11 a12
a21 a22
A
a
m1 a m2
a1n
a2 n
,
amn
b11 b12
b21 b22
B
b
m1 bm 2
b1n
b2n
bmn

11.

a11 b11
a 21 b21
A B
a b
m1 m1
a12 b12
a 22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a 2n b2n
,
amn bmn
a12 b12
a11 b11
a 21 b21 a 22 b22
A B
a b
m1 m1 am 2 bm2
a1n b1n
a 2n b2n
,
a mn bmn

12.

13. Свойства линейных операции над матрицами

1) A B B A (коммутативность сложения матриц)
2) ( A B ) C A ( B C ) (ассоциативность сложения
матриц)
3) A O A
4) A ( A ) O
5) ( A ) ( )A (ассоциативность относительно умножения
чисел)
6) ( )A A A (дистрибутивность умножения на
матрицу относительно сложения чисел)
7) ( A B ) A B (дистрибутивность умножения на
число относительно сложения матриц)
8) 1A A

14. 3. Нелинейные операции над матрицами

1) Умножение двух матриц;
2) Транспонирование матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a1i) и B=(bi1) – матрица-строка и
матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением
матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется
матрицу
С, элемент которой число с, равное сумме
произведений их соответствующих элементов, т.е.
c a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 + … + a1n · bn1 .

15.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m n,
B=(bij) – матрица размера n k (т.е. количество столбцов в
матрице A совпадает с количеством строк матрицы B).
Произведением матрицы A на матрицу B называется
матрица C =(cij) размера m k такая, что каждый ее
элемент cij является произведением i-й строки матрицы
A на j-й столбец матрицы B, т.е.
cij ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj .
Обозначают: A ·B, AB.

16. Пример

Найти произведение матриц
0 1 2 3
A
2 0 0 1
и
2
3
B
0
2
0 2 1 3 2 0 3 2 9
AB
2 2 0 3 0 0 1 2 6

17. Свойства операции умножения матриц

1) AE EA A , AO OA O
2) ( AB )C A( BC ) (ассоциативность умножения матриц)
3) ( A B)C AC BC
дистрибутивность умножения
4) C( A B) CA CB
матриц относительно сложения матриц.

18.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m n.
Матрица размера n m, полученная из A заменой каждой
ее строки столбцом с тем же номером, называется
транспонированной к A и обозначается AТ.
Операция нахождения матрицы AТ называется
транспонированием матрицы A.
a11 a12
a21 a22
A
a
m1 a m2
a1n
a2 n
,
amn
a11
a12
T
A
α
1n
a21 am1
a22 a m 2
a2n amn

19. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

4
12
Исходная
A 17
29
матрица (размер 3 на 2)
30 36
12 17 30 Транспонированная
A
матрица (размер 2 на 3)
4
29
36
T

20.

Свойства операции транспонирования матриц
1) (AТ )T = A ;
2) (A + B)T = AT + BT ;
3) (αA)T = αAT ;
4) (A · B)T = BT · AT .
English     Русский Rules