Матрицы и действия над ними

1.

Лекция 1

2.

3.

Матрицей размера m x n называется
прямоугольная таблица элементов,
содержащая m строк и n столбцов.
элементами
матрицы
могут
быть
числа,функции,вектора и сами матрицы

4.

Обозначение:
A
- матрица размерности m x n
a ij
- элемент матрицы i –ой строки и j -го
столбца
m n
Где
i=1,2…m
j=1,2…n

5.

a11 a12
a21 a22
A (aij )
m n
...
...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

6.

Две матрицы называются равными, если
у них одинаковая размерность и
совпадают строки и столбцы.
Если число строк матрицы равно числу ее
столбцов, то такая матрица называется
квадратной.

7.

0 2
1
A 2 4
5
0 3 1
- квадратная матрица размерности 3х3

8.

Элементы матрицы aij , у которых номер
столбца совпадает с номером строки,
называются диагональными.
Если в квадратной матрице все
диагональные элементы равны 1, а
остальные элементы равны 0, то
она называется единичной.

9.

1
0
E
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1

10.

Матрица любого размера называется
нулевой, если все ее элементы равны 0.
0
0
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0

11.

Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей-строкой или
вектором-строкой.
A (a11 a12 ... a1n )

12.

Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей-столбцом или
вектором-столбцом.
b11
b21
B
b
n1

13.

С
помощью матриц удобно
различного рода зависимости.
Например:
Распределение
экономики:
ресурсов
описывать
по
отраслям
Ресурсы
Промышленность
с/хозяйство
Эл.
энергия
Труд.
ресурсы
Водные
ресурсы
8
7.2
5
3
4.5
5.5

14.

Эту зависимость можно представить в виде
матрицы:
8 7.2
A 5
3
3 2
4.5 5.5
Где элемент aij показывает сколько i – го
ресурса потребляет j – отрасль.
Например, a32 показывает, сколько воды
потребляет сельское хозяйство.

15.

Чтобы умножить матрицу на число, надо
каждый элемент матрицы умножить на
это число.
Полученные
произведения
итоговую матрицу.
образуют

16.

Пусть дана матрица
A (aij )
m n
Умножаем ее на число λ:
A B
Где каждый элемент матрицы В:
bij aij
Где:
i 1,2...m
j 1,2...n

17.

Например:
Умножая матрицу
2 3 0
A
1 0 4
на число 2, получим:
2 2 3 2 0 2 4 6 0
A 2
1 2 0 2 4 2 2 0 8

18.

Складываются матрицы одинаковой
размерности. Получается матрица той же
размерности, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих
элементов исходных матриц.

19.

Пусть даны матрицы
Складываем их:
A (aij )
B (bij )
A B C
Где каждый элемент матрицы С:
cij aij bij
Аналогично проводится вычитание матриц.

20.

Найти сумму и разность матриц:
2 3 0
A
1 0 4
0 2 3
B
1 5 2

21.

2 1 3
A B
2 5 6
2 5 3
A B
0 5 2

22.

Умножение матриц возможно, если число
столбцов первой матрицы равно числу строк
второй.
Тогда каждый элемент полученной матрицы
равен сумме произведений элементов i – ой
строки
первой
матрицы
на
соответствующие элементы j-го столбца
второй.

23.

Пусть даны матрицы
Умножаем их:
A (aij )
m k
B (bij )
k n
A
B
C
m k k n
m n
Где каждый элемент матрицы С:
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... aik bkj
i 1,2...m
j 1,2...n

24.

Найти произведение матриц:
2 3 0
A
1 0 4
1 0
B 1 4
0 2

25.

Число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй, следовательно их
произведение существует:
2 1 3 1 0 0 2 0 3 4 0 2 5 12
A B
2 3 3 2
1 1 0 1 4 0 1 0 0 4 4 2 1 8

26.

Теперь перемножим матрицы в обратном
порядке:
1 2 0 1 1 3 0 0 1 0 0 4 2 3 0
B A 1 2 4 1 1 3 4 0 1 0 4 4 6 3 16
3 2 2 3
0 2 2 1 0 3 4 0 0 0 2 4 2 0 8
Умножение
матриц
некоммутативно:
в
A B B A
общем
случае

27.

Перечисленные операции над матрицами
обладают следующими свойствами:
1
А+В=В+А
2
(А+В)+С=А+(В+С)

28.

3
λ(А+В)= λА+λВ
4
А(В+С)=АВ+АС
5
А(ВС)=(АВ)С

29.

Матрица АТ называется
транспонированной к матрице А, если
в ней поменяли местами строки
и столбцы.
a11
a21
A
m n
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
a11 a21
a12 a22
T
A
... ...
n m
a1n a2 n
... am1
... am 2
... ...
... amn

30.

1
(АТ)Т=А
2
(А+В)Т=АТ+ВТ

31.

3
(λА)Т= λАТ
4
(АВ)Т=ВТАТ

32.

Транспонировать матрицу:
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9

33.

1 4 7
T
A 2 5 8
3 6 9

34.

35.

Понятие матриц впервые введено в работах
английских математиков У.Гамильтона (1805 –
1865) и А. Кели (1821 – 1895). В настоящее
время матрицы служат важным аппаратом
математического исследования, в частности,
экономико-математического моделирования.
Выше это мы попытались объяснить.