Матрицы и действия над ними

1.

«Матрицы
и действия над
ними»

2.

1. Определение матрицы
Прямоугольная таблица чисел вида
a11
a21
A
...
am1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... am n
называется матрицей.
aij - элементы матрицы (i – номер строки, j – номер
столбца)
Размер матрицы – m x n
Главная диагональ матрицы –
a11, a22…..amn

3.

Пример:

4.

Виды матриц
Матрица называется прямоугольной, если количество ее
строк не совпадает с количеством столбцов:
Матрица называется квадратной, если количество ее строк
совпадает с количеством столбцов:

5.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы нулевые :
Квадратная матрица называется единичной, если элементы
по главной диагонали единицы, а остальные элементы
нулевые :

6.

Квадратная матрица называется диагональной, если
элементы по главной диагонали отличны от нуля, а
остальные элементы нулевые:
Квадратная матрица называется симметричной, если
относительно главной диагонали для всех ее элементов
выполняется условие aij a ji :

7.

Матрицы А и В (одинаковых размерностей) называются
равными, если a b
ij
ij

8.

Квадратные матрицы вида
a11
a
n1
a1n
или
0
a11
0
a1n
ann
называются треугольными.
1 2 3
À 4 5 0
6 0 0
1
0
À
0
0
4
5 6 7
0 8 9
0 0 10
2 3

9.

Прямоугольная матрица вида
a11
0
0
a12
a1m
a22
a2 m
0
amm
a1n
a2 n
amn
называется квазитреугольной (ступенчатая или
трапециевидная)
1
À 0
0
2
1
0
3
2
2
3
1
0
3
3
1
1
0
5

10.

Матрица, состоящая из одной строки называется
матрицей-строкой или строчной матрицей.
Матрица, состоящая из одного столбца называется
матрицей-столбцом или столбцевой матрицей

11.

Операции над матрицами
Линейные:
1) Сумма (разность) матриц;
2) Произведение матрицы на число.
Нелинейные:
1) Транспонирование матрицы;
2) Умножение матриц;
3) Нахождение обратной матрицы.

12.

Сумма (разность) матриц
Для того, чтобы сложить две матрицы A и B (одинаковой
размерности) нужно сложить их соответствующие элементы.
Для того, чтобы найти разность матриц А и В (одинаковой
размерности) нужно из каждого элемента матрицы А
вычесть соответствующий элемент матрицы В.
Матрица -А называется матрицей противоположной А.
Пример:
Тогда
Пусть
2 5 6
A
,
0 4 1
1 7 10
A B
,
6
0 9
3 2 4
B
.
0 5 7
5 3 2
A B
,
0 1 8
2 5 6
A
.
0
4
1

13.

Вычислите:
2
À 0
4
A B ?
A B ?
B A ?
3
5
4 , B 7
2
9
6
0
1

14.

Ответ:
3
A B 7
6
7
A B 7
2
7
B A 7
2
9
4
10
3
4
8
3
4
8

15.

Произведение матрицы на число
Для того, чтобы умножить матрицу А на число R нужно
каждый элемент матрицы умножить на число .
2 5 6
Пример: Пусть A
,
0 4 1
тогда
4 10 12
2 A
.
0 8 2

16.

Вычислите:
2
À 0
4
3
5
4 , B 7
2
9
2A ?
3 B ?
4B 7 A ?
6
0
1

17.

Ответ:
4 6
2A 0 8
8 18
15 18
3B 21 0
6
3
34 3
4 B 7 A 28 28
20 59

18.

Линейные операции обладают следующими свойствами:
1) A B B A
2) A B C A B C
3) A 0 A
4) A A 0
5) 1 A A
6) A A
7) A B A B
8) A A A

19.

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки
столбцом с тем же номером, называется матрицей,
транспонированной относительно данной.
Пример:

20.

Свойства операции транспонирования:
1) A
T T
A
2) A B A B
T
T
3) A B B A
T
T
T
T

21.

Матрица А называется согласованной с
матрицей В, если число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В:
Например:
1)
Àm n ,
Bn k
2)
À2 4 ,
B4 1
3)
Àm 2 ,
B2 k

22.

Умножение матриц определяется для согласованных матриц.
Произведением
матрицы
называется матрица
на матрицу
, для которой
cij ai1 b1 j ai 2 b2 j ... ain bnj
т.е. каждый элемент матрицы С равен сумме
произведений элементов i-й строки матрицы А
на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

23.

Пример:

24.

Свойства операции умножение матриц:
1. Свойство сочетательности или ассоциативности
AB C A BC
2.
AB A B A B
3.
Свойство распределительности (дистрибутивности)
справа и слева относительно сложения матриц
A B C AC BC
C A B CA CB

25.

Вычислите:
2
À 0
4
A B ?
3
1
4 , B
0
9
B A ?
A B ?
B A ?
A B ?
B A ?
T
T
T
T
T
T
2
3