Матрицы. Действия с матрицами

1. МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ.

2. Основные определения

Определение. Матрицей
размера m n, где m- число
строк, n- число столбцов,
называется таблица чисел,
расположенных в
определенном порядке. Эти
числа называются
элементами матрицы.
Элементы матрицы
обозначаются aij, где i- номер
строки, а j- номер столбца.
a11 a12
a21 a22
... ...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

3.

Матрица может состоять как из одной
строки, так и из одного столбца. Вообще
говоря, матрица может состоять даже
из одного элемента
Определение. Если число столбцов
матрицы равно числу строк (m=n), то
матрица называется квадратной

4.

Определение. Матрица вида:
1
0
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1
называется единичной матрицей

5.

Определение. Если amn = anm , то матрица
называется симметрической
Определение. Квадратная матрица вида
называется диагональной матрицей
a11
0
...
0
0
a 22
...
0
0
... 0
... 0
... a nn
...

6. Основные действия над матрицами

Сложение и вычитание матриц сводится
к соответствующим операциям над их
элементами. Самым главным свойством
этих операций является то, что они
определены только для матриц
одинакового размера.

7.

Определение. Суммой (разностью)
матриц является матрица, элементами
которой являются соответственно
сумма (разность) элементов исходных
матриц.
cij = aij bij
С = А + В = В + А.

8.

Операция умножения (деления)
матрицы любого размера на произвольное
число сводится к умножению (делению)
каждого элемента матрицы на это число.
(А+В) = А В
А( ) = А А
a11
a 21
A
...
a
m1
a12
a 22
...
a m 2
... a1n
... a 2 n
...
...
... a mn

9. Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц
называется матрица, элементы которой
могут быть вычислены по следующим
формулам:
Из приведенного определения
A B = C;
видно, что операция
умножения матриц
n
определена только для
сij aik bkj матриц, число столбцов
k 1
первой из которых равно
числу строк второй.

10.

11
21
12
22
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
1l
2l
...
...
...
...
...
...
...
j1
j2
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
m1 m 2
11
21
12
22
...
1i
2i
...
...
...
j1
j2
...
...
m1 m 2
...
1i
2i
...
...
1n
2n
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
jl
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
ml
...
...
...
...
...
...
l1
l 2
...
li
...
ln
...
1n
2n
...
...
...
...
ji
...
jn
...
...
...
...
...
mi
...
mn
...
11 12
21 22
...
l
ji jk ki
k 1

11. Свойства операции умножения матриц

1)Умножение матриц не коммутативно,
т.е. АВ ВА даже если определены оба
произведения. Однако, если для каких – либо
матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие
матрицы называются перестановочными.
Перестановочными могут быть только квадратные
матрицы одного и того же порядка.
Заметим: А Е = Е А = А
Очевидно, что для любых матриц выполняются
следующее свойство:
A O = O; O A = O, где О – нулевая матрица.

12.

2) Операция перемножения матриц
ассоциативна, т.е. если определены
произведения АВ и (АВ)С, то определены
ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц
дистрибутивна по отношению к
сложению, т.е. если имеют смысл
выражения А(В+С) и (А+В)С, то
соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.

13.

4) Если произведение АВ определено, то для
любого числа верно соотношение:
(AB) = ( A)B = A( B).
5) Если определено произведение АВ , то
определено произведение ВТАТ и
выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ, где индексом Т обозначается
транспонированная матрица.
6) Заметим также, что для любых квадратных
матриц det (AB) = detA detB.
(Понятие det (определитель, детерминант) будет
рассмотрено ниже).

14. Операция транспонирования

Транспонированием матрицы называется
операция, в результате которой образуется новая
матрица, где строками служат столбцы исходной,
записанные с сохранением порядка их следования
* *
1
* *
* *
2
* *
* * * * * *
*
*
* *
3
* *
* * * * * *
*
*
* *
...
* *
* *
k
*транспонирование
*
1 2 3 ... k ... n 1 n
* *
...
* *
* * n 1 * *
* *
n
* *
* * * * * *
*
*
* * * * * *
*
*

15.

Для элементов транспонированной
T
матрицы A
при верно равенство:
j i
T
ij
i [1, m] , j [1, n]
Операция транспонирования не изменяет
симметрическую матрицу, но переводит
строку размера 1xm в столбец размера
mx1 и наоборот.
.

16. Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными
преобразованиями матрицы назовем
следующие преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам одной строки
элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание (удаление) одной из
одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование.

17.

Те же операции, применяемые для
столбцов, также называются
элементарными преобразованиями.
С помощью элементарных
преобразований можно к какой-либо
строке или столбцу прибавить линейную
комбинацию остальных строк ( столбцов ).

18. Обратная матрица

Определение. Если существуют
квадратные матрицы Х и А одного
порядка, удовлетворяющие условию:
XA = AX = E,
где Е - единичная матрица того же самого
порядка, что и матрица А, то матрица Х
называется обратной к матрице А и
обозначается А-1.

19. НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ (1 способ)

20.

К матрице Aij «дописывают» справа
единичную матрицу. С помощью
элементарных преобразований приводят
матрицу Aij к единичному виду, тогда матица,
которая получится справа – обратная
a11
an1
a12
an 2
0 ... 0
...
...
...
...
...
...
... ann 0 0 ... 1
a1n 1

21. ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

обратная матрица позволяет найти
решения следующих матричных
уравнений:
АХ=С
ХВ=С
АХВ=С
Решение:
Х=А-1С
Х=СВ-1
Х=А-1СВ-1

22. Замечание:

В качестве всех или некоторых элементов
матрицы возможно использование не
только чисел, но и других математических
объектов, для которых подходящим
образом определены операции сравнения,
сложения и умножения на число,
например, векторов, функций или тех же
матриц.