Матрицы и действия над ними

1.

МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД
НИМИ
1

2. Содержание

1. ПОНЯТИЕ И ВИДЫ МАТРИЦ
2. СТРОКИ, СТОЛБЦЫ, ЭЛЕМЕНТЫ
И РАЗМЕР МАТРИЦ
3. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
2

3.

ПОНЯТИЕ И ВИДЫ
МАТРИЦ
3

4. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТРИЦЕЙ НАЗЫВАЕТСЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ИЛИ КВАДРАТНАЯ
ТАБЛИЦА, ЗАПОЛНЕННАЯ
ЧИСЛАМИ.
ЧИСЛА, ЗАПОЛНЯЮЩИЕ
МАТРИЦУ, НАЗЫВАЮТСЯ
ЭЛЕМЕНТАМИ МАТРИЦЫ.
4

5. ВИДЫ МАТРИЦ

4
12
17 29 Прямоугольная
матрица
30 36
3 1 2
4 2 0 Квадратная
матрица
5 6 1
3
22
Матрица-столбец
0
5
1
3 2 0
Матрица-строка
5

6.

СТРОКИ, СТОЛБЦЫ,
ЭЛЕМЕНТЫ И РАЗМЕР
МАТРИЦЫ
6

7. ПРИНЦИП НУМЕРАЦИИ СТРОК И СТОЛБЦОВ

СТРОКИ НУМЕРУЮТСЯ СВЕРХУ
ВНИЗ, НАЧИНАЯ С № 1.
СТОЛБЦЫ НУМЕРУЮТСЯ СЛЕВА
НАПРАВО, НАЧИНАЯ С № 1.
7

8. СТРОКА И СТОЛБЕЦ

12
17
30
4
29
36 3-я строка
12
4
17
29
30 36 2-й столбец
8

9. РАЗМЕР МАТРИЦЫ

МАТРИЦА, ИМЕЮЩАЯ m СТРОК И n
СТОЛБЦОВ, НАЗЫВАЕТСЯ МАТРИЦЕЙ
РАЗМЕРА
m НА n.
4
12
17 29 Матрица размера 3 на 2
(3строки, 2 столбца)
30 36
9

10. ОБЩИЙ ВИД МАТРИЦЫ РАЗМЕРА m НА n

a11 a12
a
a
21 22
A
...
...
a
a
m1 m2
... a1n
... a2n
... ...
... amn
10

11. ЭЛЕМЕНТ МАТРИЦЫ

Элемент
124
a31 три-один 30
÷
17
2
9
÷
30 36÷ (3-я строка,1-йстолбец)
11

12. ДИАГОНАЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

3 1 2
÷
4
2
0
Главная
диагон
аль
÷
5 6 1
3 1 2
÷
Побочнаядиагон
4
2
0
аль
÷
5 6 1
12

13. ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ

Верхняя треугольная матрица
3 1 2
0 2 0 (под главной диагональю стоят нули)
0 0 1
Нижняя треугольная матрица
3 0 0
1 2 0 (над главной диагональю стоят нули)
2 0 1
13

14.

ОПЕРАЦИИ НАД
МАТРИЦАМИ
14

15. ЛЮБУЮ МАТРИЦУ МОЖНО УМНОЖИТЬ НА ЧИСЛО

3 1 2 15 5 10
5 4 2 0 20 10 0
5 6 1 25 30 5
15

16. МАТРИЦЫ ОДИНАКОВОГО РАЗМЕРА МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ И ВЫЧИТАТЬ

3 1 2 8 5 5
4 2 0 7 3 14
3 8 1 5 2 5
2 3
0 14
4 7
16

17. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ

4
12
Исходная
A 17 29
матрица (размер 3 на 2)
30 36
12 17 30 Транспонированная
A
матрица (размер 2 на 3)
4
29
36
T
17

18. УМНОЖЕНИЕ СТРОКИ НА СТОЛБЕЦ (СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)

7
÷
253253
× ×+×+×
07042
÷
÷4
18

19. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СТОЛБЕЦ КАЖДАЯ СТРОКА МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА СТОЛБЕЦ

3 1 2 8 3 8 + 1 7 + 2 2 21
4 2 0 7 4 8 + 2 7 + 0 2 46
5 6 1 2 5 8 + 6 7 + 1 2 4
19

20. ВОЗМОЖНОСТЬ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ

МАТРИЦУ A, ЗАПИСАННУЮ СЛЕВА,
МОЖНО УМНОЖИТЬ НА
МАТРИЦУ B, ЗАПИСАННУЮ СПРАВА,
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА
ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ A
РАВНО ЧИСЛУ СТРОК МАТРИЦЫ B
20

21. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ НА МАТРИЦУ КАЖДАЯ СТРОКА ЛЕВОЙ МАТРИЦЫ СКАЛЯРНО УМНОЖАЕТСЯ НА КАЖДЫЙ СТОЛБЕЦ ПРАВОЙ МАТРИЦЫ

С A B
A левая матрица, B правая матрица
21

22. ПРИМЕР УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ

3 1 2 8 1
4 2 0 7 2
5 6 1 2 3
3 8+ 1 7+ 2 2 3 1+ 1 2+ 2 3 21 5
4 8+ 2 7+0 2 4 1+ 2 2+0 3 46 8
5 8+6 7+1 2 5 1+6 2+1 3 4 4
22

23. УМНОЖЕНИЕ СТОЛБЦА НА СТРОКУ

7 5
7 2
7
0 2 5 3 0 2
0
5
4
4 2 4 5
14 35 21
0 0
0
8 20 12
7 3
0 3
4 3
23

24. ВАЖНЫЕ ТИПЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

1 0 0
Единичная матрица
E 0 1 0
(размер 3 на 3)
0 0 1
0 0 0
Нулевая матрица
0 0 0 0
(размер 3 на 3)
0 0 0
24

25. СВОЙСТВО ЕДИНИЧНОЙ МАТРИЦЫ: A•E=E•A=A

5 7 4 1 0 0 5 7 4
3 6 8 0 1 0 3 6 8
11 4 0 0 0 1 11 4 0
1 0 0 5 7 4 5 7 4
0 1 0 3 6 8 3 6 8
0 0 1 11 4 0 11 4 0
25

26. ВЫЧИСЛИТЬ A•E и E•A

A
5
7
4
3
6
8
11
4
0
Е
1
0
0
0
1
0
0
0
1
26