Линейная алгебра. Невырожденные матрицы. Обратная матрица. Матричные уравнения

1. Линейная алгебра

Невырожденные матрицы. Основные понятия.
Обратная матрица.
Методы нахождения обратной матрицы.
Матричные уравнения.

2.

Пусть дана квадратная матрица:
æ a11 a12 ... a1n ö
ça
÷
a
...
a
21
22
2n ÷
ç
A=
çK
... K K ÷
ç
÷
è an1 an 2 ... ann ø
Квадратная матрица называется невырожденной,
если её определитель не равен нулю: D = det A ¹ 0.
В противном случае (D = det A = 0 ) матрица А
называется вырожденной.

3.

Обратной матрицей по отношению к данной
невырожденной квадратной матрице A n - ного
порядка, называется матрица, которая, будучи
умноженной как слева, так и справа на данную
матрицу, дает единичную матрицу, а сама матрица –
обратимой.
Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким
образом, согласно определению: АА-1=А-1А=Е. (1)
Теорема. Для каждой обратимой матрицы
существует только одна обратная матрица.
Доказательство.

4.

Пусть для матрицы А существует обратная матрица
Х, тогда должно выполняться условие (1)
= =
Пусть для матрицы А существует ещё одна обратная
матрица
¢
тогда согласно (1)
¢ =
Умножим слева последнее выражение на матрицу Х:
X ( A X ¢) = X E = X
Согласно свойству произведение матриц левую часть
выражения можно записать
X ( A X ¢) = ( X A) X ¢ = EX ¢ = X ¢
Т.е. получили
¢ =
Что и требовалось доказать.

5.

Матрицей, союзной (присоединенной) к
матрице А, называется матрица
æ A11
çA
12
*
ç
A =
çK
ç
è A1n
A21
A22
...
...
... K
A2 n ...
An1 ö
÷
An 2 ÷
K ÷
÷
Ann ø
где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij
данной матрицы (оно определяется так же, как и
алгебраическое дополнение элемента определителя).
Заметим, что в i -ой строке матрицы А* расположены
алгебраические дополнения элементов j- ого столбца
определителя.

6. Свойства обратной матрицы:

-1
det A = (det A)
-1
-1
( A B) = B A
(A )
T
-1
=( A
-1
-1
)
-1 T
Докажем, например второе свойство: в соответствии с
определением обратной матрицы достаточно доказать два
равенства:
-1
-1
(
B
A
)( A B ) = E
( A B) B A = E и
-1
-1
Используя ассоциативность умножения матриц, получим:
-1
-1
-1
-1
-1
-1
( A B) B A = A ( B B ) A = A E A = A A = E
-1
-1
-1
-1
-1
-1
( B A )( A B ) = B ( A A) B = B EB = B B = E

7. Методы вычисления обратной матрицы

Метод присоединенной
матрицы:
заключается в использовании формулы.
1
A*
A det A ¹ 0 A A A =
det A
Транспонированная матрица
T
*
-1
Присоединенная матрица
получается из матрицы А Если определитель матрицы
получается путем замены каждого
путем замены строк т
равен нулю, то обратная
элемента матрицы А на его
соответствующими
матрица не существует
алгебраическое дополнение
столбцами

8. Найти матрицу обратную для данной.

0 3 1
0 3 1
æ 0 3 1ö
2 1
ç
÷
4
=
(
1
)
=2
det
A
=
2
4
1
=
2
1
0
A = ç 2 4 1÷
2 2
ç2 2 0÷
2 2 0
2 2 0
è
ø
æ 0 2 2 öИз второй æ -2
ç
÷
*
T
вычтем
A = ç 3 4 строки
2÷ A
= çç 2
строку
ç 1 1 первую
÷
ç -4
0
è
ø
è
2 -1 ö
÷ определитель
Разложим
-2 2 ÷
по элементам
3 столбца
÷
6 -6 ø
4 2
A 11 = 3 2
( -1)2 =3 -2
2 320 42 3 5
A 12 0
=1 20 ( -1) = 2
2 23
2=2 ( -4 1( )4-( 5
A 21 A=
=)14)2==-2
A
0
1
0
=
1
1
A
=
(
1
)
=6
01
AA
= æ 13-12 1 0
( -(211
-4ö-62 æ - 1
1 - 320.5 ö
-2)11)=- =1
31 22 =
( -1÷) = ç-6
20
÷3 2
ç4331 =
1A
-1
1 ÷
A = ç 2 3- 24 2 ÷ = ç 1 - 1
2ç
÷
÷ ç- 2
3
3
4
6
6
ø
è
ø è

9.

Методы вычисления обратной
матрицы
Метод
элементарных преобразований:
Для данной матрицы А n – ого порядка построим
прямоугольную матрицу Г A = ( A E ) размера n ´ 2n ,
приписывая к А справа единичную матрицу.
Далее, используя элементарные преобразования над
B)
строками, приводимГ Aматрицу ( кE виду
, что
всегда возможно, если А невырожденная. BТогда
= A-1
.

10.

Найти матрицу обратную для данной.
æ 0 3 1ö
ç
÷
A = ç 2 4 1÷
ç2 2 0÷
è
ø

11. Виды матричных уравнений и их решения

A X = B
умножим слева на А-1
-1
X = A B
-1
X
=
B
A
X A = B умножим справа на А
-1
A X B = C умножим справа на В -1
и
X = A-1 C B -1
умножим слева на А-1

12. Решить матричное уравнение

æ1 2ö
æ 5 6ö
ç3 4÷ X = ç7 8÷
è
ø
è
ø

13. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
æ a11 a12
ç
ç a 21 a 22
ça
a 32
31
ç
ç
ç
è am1 am 2
a13
a 23
a 33
am3
a1n ö
÷
aa1111 a1212 aa131n
a 2n ÷
a1112 aa121n
==22aa=3121 a 3222 a 233n
M33M
a3n ÷ M
÷
a 2132 aa223n
aam311 aam322 a mn
÷
33
÷
amn ø
Выделим в этой матрице произвольное число k строк и k столбцов.
Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк
и столбцов, образуют определитель k - того порядка.
Минором k-того порядка матрицы А называют определитель,
полученный из А выделением произвольных k строк и k столбцов.

14. Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от
нуля минора этой матрицы.
æ2 3 4 5 ö
ç
÷
A = ç0 - 2 3 1 ÷
ç0 2 2 - 4÷
è
ø
Матрица А имеет 4 минора 3 - его порядка,
например:
18 миноров 2 - го порядка, например:
2 3 4
0 - 2 3 = -20
0 2 2
2 3
= -4
0 -2
12 миноров 1 - го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы равен 3, поэтому: r( A ) = 3

15. Ранг матрицы

Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется
базисным минором. Он может быть не единственным.
Можно показать, что эквивалентные преобразования не меняют
ранга матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы,
ее приводят к треугольному виду.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы,
приведенной к треугольному виду
æ 1 3 2 ö I + III æ 1 3 2 ö
æ 1 3 2ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
~
A = ç 0 5 4÷ ~ ç0 5 4÷
ç0 5 4÷
II
´
(
2)
+
III
ç-1 7 6÷
ç0 0 0÷
ç 0 10 8 ÷
è
ø
è
ø
è
ø
r( A ) = 2