Системы линейных уравнений. (Тема 9.1)

1. Системы линейных уравнений.

2.

• Системой m линейных уравнений с n
неизвестными х1, х2, …, хn называется система
вида
(*)
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1
22 2
2n n
2
...........................................
a m1 x1 a m 2 x2 ... a mn xn bm
aij - коэффициенты системы, i=1,…,m; j=1,…,n
bi - свободные члены.

3.

• Решением системы (*) называется такой набор
чисел (с1, с2,…, сn), что при его подстановке в
систему вместо соответствующих неизвестных
(с1 вместо х1, …, сn вместо хn) каждое из
уравнений системы обращается в тождество.
• Если система (*) имеет хотя бы одно решение,
то она называется совместной; система, не
имеющая ни одного решения, называется
несовместной.

4.

• Система называется определенной, если она
имеет
единственное
решение;
и
неопределенной, если она имеет более одного
решения.
• В случае неопределённой системы каждое её
решение называется частным решением
системы. Совокупность всех частных решений
называется общим решением.

5.

• Если b1=b2=…=bm=0, то система называется
однородной; в противном случае она
называется неоднородной.
• Две системы называются эквивалентными или
равносильными, если любое решение одной из
них является также решением другой, т.е. если
они имеют одно и то же множество решений.
(любые две несовместные
эквивалентными)
системы
считаются

6.

• Элементарными преобразованиями линейной
системы называются следующие преобразования:
- перестановка уравнений системы;
- умножение или деление коэффициентов и свободных
членов на одно и то же число, отличное от нуля;
- сложение и вычитание уравнений;
- исключение из системы тех уравнений, в которых все
коэффициенты и свободные члены равны нулю.

7.

• Систему (*) можно записать в матричной форме:
АХ=В,
где
a11 a12 ... a1n
a 21
A
...
a
m1
a 22
...
am 2
... a 2 n
... ...
... a mn
x1
матрица-столбец
x2
X (вектор-столбец)
неизвестных
x
n
матрица коэффициентов
системы;
b1
b2
B
b
m
матрица-столбец
(вектор-столбец)
свободных членов

8. 1. Решение систем линейных уравнений при помощи обратной матрицы.

a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...........................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn
a11 a12
a21 a22
A
... ...
a
n1 an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann
основная матрица системы
x1
матрица-столбец
x2
X (вектор-столбец)
неизвестных
x
n
b1
b2
B
b
n
матрица-столбец
(вектор-столбец)
свободных членов

9.

Пусть detA≠0, тогда ∃ А-1
A X B
1
1
A
A
X
A
B
E
E X A 1 B
X A 1 B

10.

Решить систему линейных уравнений при помощи
обратной матрицы:
x 2 y 3z 6
4 x 5 y 6 z 9
7 x 8 y 6
1 2 3
6
4 5 6 X 9
7 8 0
6
А
В

11.

1 2 3
1) det A 4 5 6 27 0 A 1
7 8 0
2)
5 6
A11
48
8 0
2 3
A21
24
8 0
4 6
A12
42
7 0
1 3
A22
21
7 0
4 5
A13
3
7 8
1 2
A23
6
7 8

12.

2 3
A31
3
5 6
1 3
A32
6
4 6
1 2
A33
3
4 5
48 42 3
A 24 21 6
3
6
3

13.

A
T
3)
4)
16 8 1
48 24 3
42 21 6 3 14 7 2
1
3
2
1
6
3
1
A
A
det A
1
T
16 8 1
16 8 1
1
1
3 14 7 2 14 7 2
27
9
1
2
1
1
2
1

14.

5)
16 8 1 6
16 8 1 2
3
1
1
X A B 14 7 2 9 14 7 2 3
9
9
1 2 1 6
1 2 1 2
6 2
1
3 1
3
6 2
то есть:
Ответ: (-2; 1; 2)
x 2
X y 1
z 2
x 2
y 1
z 2

15. 2. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Система n уравнений с n неизвестными, определитель
которой отличен от нуля, всегда имеет решение и
притом единственное.
Оно находится следующим образом: значение каждого
из неизвестных равно дроби, знаменателем которой
является определитель системы, а числитель
получается из определителя системы заменой столбца
коэффициентов при искомом неизвестном на столбец
свободных членов.

16.

• Дана система n линейных уравнений с n
неизвестными х1, х2, …, хn:
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a x a x ... a x b
21 1 22 2
2n n
2
...........................................
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn

17.

• Систему можно записать в матричной форме:
АХ=В,
где
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2 n
A
... ... ... ...
a
n1 an 2 ... ann
x1
матрица-столбец
x2
X (вектор-столбец)
неизвестных
x
n
матрица коэффициентов
системы;
b1
b2
B
b
n
матрица-столбец
(вектор-столбец)
свободных членов

18.

A X B
X A 1 B
x1
A11
x2 1 A12
...
x
A
n
1n
пусть
a11
a12
det A
a21
a22 ... a2 n
...
an1
... ... ...
an 2 ... ann
An1 b1
... An 2 b2
... ...
... Ann bn
A21 ...
A22
...
A2 n
... a1n
A
1
0

19.

x1
A11b1 A21b2 ... An1bn
x2 1 A12b1 A22b2 ... An 2bn
......................................
x
A b A b ... A b
2n 2
nn n
n
1n 1

20.

A11b1 A21b2 ... An1bn
x1
A12b1 A22b2 ... An 2 bn
x2
.............................................
A1n b1 A2 n b2 ... Annbn
xn

21.

A11b1 A21b2 ... An1bn
разложение det по
элементам 1-го столбца
b1
a12
... a1n
b2
a22 ... a2 n
... ... ... ...
bn an 2 ... ann
x1
столбец свободных членов
Итак:
x1
x1

22.

a11
A12b1 A22b2 ... An 2bn
разложение det по
элементам 2-го столбца
b1
... a1n
a21 b2 ... a2 n
... ... ... ...
an1 bn ... ann
x2
столбец свободных членов
Итак:
x2
x2

23.

A1nb1 A2 nb2 ... Annbn
разложение det по
элементам n-го столбца
Итак:
То есть:
xn
xn
a11
a12
... b1
a21
a22 ... b2
...
an1
... ... ...
an 2 ... bn
xn
столбец свободных членов
x1
x2
x1
; x2
; ...
xn
xn

24. Формулы Крамера

xk
xk
, k 1, 2, ..., n
где
Δ=detA≠0,
Δхk- определитель, получающийся из detA заменой
к-го столбца на столбец свободных членов.

25.

Решить систему линейных уравнений по формулам
Крамера:
x 2 y 3z 6
4 x 5 y 6 z 9
7 x 8 y 6
1 2 3
1 2 1
det A 4 5 6 3 4 5 2 27 0
7 8 0
7 8 0

26.

6
x 9
2 3
2
5 6 9 3
6 8 0
1
y 4
2 1
2
5 2 18 3
2 8 0
6
9
3
1
6 9 4
7 6 0
2
5
1
2 54
1 4 0
2
3
1
2 27
7 2 0

27.

1 2
z 4 5
6
1 2
9 3 4 5
7 8 6
x 54
x
2;
27
2
3 54
7 8 2
y 27
y
1;
27
z 54
z
2
27
Ответ: (-2; 1; 2)