5 Системы линейных уравнений

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Линейная алгебра»,
часть 5
Оренбург 2018

2.

Основные определения и понятия
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm ,
Примеры.
Неоднородная:
5 x1 6 x2 7 ,
3 x1 8 x2 6.
(1)
Однородная: 4 x1 6 x2 7 x3 0 ,
3 x1 9 x2 5 x3 0.

3.

Основные определения и понятия

4.

Правило Крамера
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
an1x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
,
an1 a n 2 ann
b1
b2
bn
a12 a1n
a22 a2 n
,
a n 2 ann
главный определитель
aij , bi R ,
2
i 1, ..., n;
a11 b1 a1n
a21 b2 a2 n
,
an1 bn ann
a11
a21
an1
…,
j 1,...,n.
a12 b1
a22 b2
a n 2 bn
вспомогательные определители
det A, 1 det A1 , 2 det A2 ,..., n det An .
x1
1
, x2 2 , ..., xn n .
3

5.

Правило Крамера
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
2
an1x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
a11 A1i x1 a12 A1i x2 ... a1i A1i xi ... a1n A1i xn b1 A1i ,
a A x a A x ... a A x ... a A x b A ,
21 2i 1 22 2i 2
2i 2i i
2 n 2i n
2 2i
an1 Ani x1 an 2 Ani x2 ... ani Ani xi ... ann Ani xn bn Ani .
4
(5)
xi b1 A1i b2 A2i ... bn Ani .
(6)

6.

Продолжение доказательства.
a11 a12
a21 a22
i
an1 an 2
b1
b2
bn
Правило Крамера
xi b1 A1i b2 A2i ... bn Ani .
a1n
a2 n
ann
a11 .... a1,i 1 a1,i 1
a31 .... a3,i 1 a3,i 1
b2 1 2 i
an ,1 ... an ,i 1 an ,i 1
a21 .... a2 ,i 1 a2 ,i 1
1 i a31 .... a3 ,i 1 a3 ,i 1
b1 1
an1 ... an ,i 1 an ,i 1
a2 n
a3n
ann
a1n
a11 .... a1,i 1
a1,i 1
a3n
a21 .... a2 ,i 1
a2 ,i 1
... bn 1 n i
an ,n
an 1,1 ... an 1,i 1 an 1,i 1
i b1 A1i b2 A2i ... bn Ani ,
0,
(7)
i
xi
.
xi i .
(9)
(6)
a1n
a2 n
an 1,n
(8)

7.

Правило Крамера: замечания
x1
1
, x2 2 , ..., xn n , 0.
xi i .
(8)
(3)

8.

Правило Крамера
Пример.
x1 2 x2 5 x3 9,
x1 x2 3x3 2,
3x 6 x x 25.
2
3
1
1 2
5
1 1 3 1 1 1 1 6 5 2 3 3 3 1 5 1 2 1 6 3 1 24 ,
3 6 1
9 2
5
1 2 1 3 9 1 1 2 6 5 2 3 25 25 1 5 2 2 1 6 3 9 48,
25 6 1
1 9 5
2 1 2 3 1 2 1 1 25 5 9 3 3 3 2 5 1 9 1 25 3 1 72 ,
3 25 1
1 2 9
3 1 1 2 1 1 25 1 6 9 2 2 3 3 1 9 1 2 25 6 2 1 24;
3 6 25
x1
1 48
72
24
2; x2 2
3; x3 3
1
24
24
24

9.

Следствия из правила Крамера
i 0, i 1, 2, ..., n;
xi
0
0, i 1, 2, ..., n.

10.

Решение систем с помощью обратных матриц
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
(2)
an1x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
aij , bi R , i 1, ..., n;
j 1,...,n.
a11 a12 a1n
a
a
a
22
2n
A 21
,
an1 an 2 ann
столбец
матрица из коэффициентов столбец
неизвестных свободных
при неизвестных
членов
A X B.
Доказательство.
A X B,
x1
b1
x
b
X 2 , B 2 .
xn
bn
det A 0
(10)
A 1 .
A 1 A X A 1 B,
X A 1 B.
E X A 1 B,

11.

Применение обратных матриц
Пример.
x1 2 x2 5 x3 9,
x1 x2 3x3 2,
3x 6 x x 25
2
3
1
5
1 2
A 1 1 3 ,
3 6 1
x1
X x2 ,
x
3
9
B 2 .
25
1 2
5
A 1 1 3 1 1 1 1 6 5 2 3 3 3 1 5 1 2 1 6 3 1 24.
3 6 1
A11
1
1
. A
A12
A
A13
A21
A22
A23
A31
19 28 11
1
1
i
j
A32 , Aij 1 M ij . A 10 16 2 ,
24
A33
3 12 3
19 28 11 9
19 9 28 2 11 25
48 2
1
1
1
Х 10 16 2 2 10 9 16 2 2 25 72 3 .
24
24
24
3 12 3 25
3 9 12 2 3 25
24 1
x1 2; x2 3; x3 1.

12.

Метод Гаусса
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
an1x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
aij , bi R ,
i 1, ..., n;
(2)
j 1,...,n.

13.

Метод Гаусса – схема единственного деления
1 x ... a 1 x b 1 ,
x1 a12
2
1n n
1
a21 x1 a22 x2 ... a2n xn b2 , (11)
a x a x ... a x b ,
n2 2
nn n
n
n1 1
a1 j
1
a
,
1j
a11
j 2, ..., n; b1 1
b1
.
a11
(12)
.
1 x ... a 1 x b 1 ,
x1 a12
2
1n n
1
1 x ... a 1 x b 1 ,
a22
2
2n n
2
1 x b 1 ,
an 12 x2 ... ann
n
n
1
1
1
1
(13) aij aij ai1 a1 j ; bi bi ai1 b1 ; (14)
i 2, ..., n; j 2,..., n.

14.

Метод Гаусса – схема единственного деления
1 x a 1 x ... a 1 x b 1 ,
x1 a12
2
13 3
1n n
1
1 x a 1 x ... a 1 x b 1 ,
x1 a12
2
13 3
1n n
1
2 x ... a 2 x b 2 ,
x2 a23
3
2n n
2
1 x a 1 x ... a 1 x b 1 ,
a32
2
33 3
3n n
3
(15)
a2 1j
2
a2 j 1 ,
a
22
b2 1
2
j 3, ..., n; b2 1
a
(16)
22
1 x b 1 ,
an 12 x2 an 13 x3 ... ann
n
n
2 x ... a 2 x b 2 ,
x2 a23
3
2n n
2
2 a 1 a 1 a 2 ; b 2 b 1 a 1 b 2 ;
a
(18)
ij
ij
i
i
i2
2j
i2 2
2 x ... a 2 x b 2 , (17)
a33
3
3n n
3
i 3, ..., n; j 3,..., n
2 x b 2 ,
an 23 x3 ... ann
n
n

15.

Метод Гаусса – схема единственного деления
1 x a 1 x ... a 1 x
1 x b 1 ,
x1 a12
a
2
3
n
1
13
1,n 1
1n n
1
2 x ... a 2 x
2
2
x2 a23
3
2 ,n 1 n 1 a 2 n xn b2 ,
x3 ... a3 3,n 1 xn 1 a3 3n xn b3 3 ,
(19)
xn 1 an n 11,n xn bn n 11 ,
n 1 x b n 1 .
ann
n
n
bn n 1
xn n 1 ,
ann
n 1
n 1
xn 1 bn 1 an 1,n xn ,
x b 1 a 1 x a 1 x ... a 1 x .
1n n
1,n 1 n 1
12 2
1 1
(21)

16.

Схема единственного деления
Пример.
x1 2 x2 5 x3 9,
3x2 2 x3 11,
12 x 16 x 52;
2
3
x1 2 x2 5 x3 9,
x1 x2 3x3 2,
3x 6 x x 25,
2
3
1
x1 2 x2 5 x3 9,
2
11
x
x
,
2
3
3
3
12 x2 16 x3 52;
x3 1,
x2
11 2
9
1 3,
3 3
3
x1 9 5 1 2 3 9 5 6 2.
x1 2 x2 5 x3 9 ,
2
11
x2 x3 ,
3
3
- 8 x3 8.

17.

Метод Гаусса – компактная схема единственного деления
Пример.
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1 ,
1 x a 1 x ... a 1 x b 1 ,
a22
2
23 3
2n n
2
2 x ... a 2 x b 2 ,
a33
3
3n n
3
(22)
n 1 x b n 1 .
ann
n
n
x1 2 x2 5 x3 9,
x1 x2 3x3 2,
3x 6 x x 25;
2
3
1
x1 2 x2 5 x3 9,
3x2 2 x3 11,
12 x 16 x 52;
2
3
x1 2; x2 3; x3 1.
x1 2 x2 5 x3 9,
- 3x2 2 x3 11,
- 8 x3 8.

18.

Применение матриц для записи решения систем методом Гаусса
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 ,
a x a x ... a x b ,
21 1
22 2
2n n
2
an1 x1 an 2 x2 ... ann xn bn ,
aij , bi R ,
i 1, ..., n;
j 1,...,n.
a11 a12 a1n b1
a
a
a
b
22
2n 2
A 21
,
a
n1 an 2 ann bn
a11
0
A
0
a1 n b1
a12
a2 n b2
a22
.
bn
0 ann
x1 a12
x2 a13
x3 ... a1 n xn b1 ,
a11
x2 a23
x3 ... a2 n xn b2 ,
a22
x3 ... a3 n xn b3 ,
a33
xn bn .
ann

19.

Применение матриц для записи решения систем методом Гаусса
Пример.
5 9
1 2
A 1 1 3 2
3 6 1 25
x1 2 x2 5 x3 9,
x1 x2 3x3 2,
3x 6 x x 25.
2
3
1
5 9
1 2
~ 0 3 2 11
0 12 16 52
x1 2 x2 5 x3 9,
- 3x2 2 x3 11,
- 8 x3 8
5 9
1 2
~ 0 3 2 11 A
0 0 8 8
x1 2; x2 3; x3 1

20.

Метод Гаусса: модификации
a11
0
A
0
a1 n b1
a12
a2 n b2
a22
.
bn
0 ann
1 0 0 b1
0 1 0 b2
A
0 0 0 b
n
x1 b1 ,
x b ,
2
2
xn bn .

21.

Метод Гаусса: модификации
Пример.
x1 2 x2 5 x3 9,
x1 x2 3x3 2,
3x 6 x x 25.
2
3
1
5 9 1
2
5 9 1 2
5 9
1 2
A 1 1 3 2 ~ 0 3 2 11 ~ 0 3 2 11 A
3 6 1 25 0 12 16 52 0 0 8 8
1 2 0 4
1 2 0 4
5 9 1 2
5 9
1 2
A 0 3 2 11 ~ 0 3 2 11 ~ 0 3 0 9 ~ 0 1 0 3 ~
0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 8 8 0 0
1
1
1 0 0 2
~ 0 1 0 3 A .
0 0 1 1
x1 2,
x2 3,
x 1.
3

22.

Параллельное решение нескольких систем методом Гаусса
a11 a12 a1n b11 b12 b1 p
a22 a2n b21 b22 b2 p
a
С 21
an1 an 2 ann bn1 bn 2 bnp
~ ... ~
1
0
0
b12
b1 p
0 0 b11
1 0 b21 b22 b2 p
C
0 1 bn 1 bn 2 bnp

23.

Параллельное решение нескольких систем методом Гаусса
Пример.
Решение.
Решить системы уравнений:
x1 2 x2 3x3 3,
x1 3x2 7 x3 1,
x 3x x 2;
2
3
1
x1 2 x2 3x3 5,
x1 3x2 7 x3 2,
x 3x x 1;
2
3
1
1 2 3 3 5 1
C 2 3 7 1 2 1 ~
1 3 1 4 1 6
5
1
1 2 3 3
0 1 1 5 8 1 ~
1 3 1 4
1 6
5
1
1 2 3 3
~ 0 1 1 5 8 1 ~
0 0 1 4 12 8
5
1
1 2 3 3
0 1 0 9 20 9 ~
0 0 1 4 12 8
1 0 0 27 71 41
~ 0 1 0 9 20 9 ~
0 0 1 4 12 8
x1 2 x2 3x3 1,
x1 3x2 7 x3 1,
x 3x x 6.
2
3
1
3 3
5
1
1 2
0 1 1 5 8 1 ~
0 1 2 1 4 7
1 2 0 9 31 23
0 1 0 9 20 9 ~
0 0 1 4 12 8
1 0 0 27 71 41
0
1
0
9
20
9
C .
0 0 1 4
12
8

24.

Нахождение обратных матриц с помощью элементарных преоразований
a11 a12 a1n x11
a
a
a
21
22
2 n x21
a
a
a
n2
nn xn1
n1
a11 a12 a1n x11 1
a21 a22 a2 n x21 0
,
an1 an 2 ann xn1 0
x12 x1n 1 0 0
x22 x2 n 0 1 0
,
xn 2 xnn 0 0 1
a11 a12 a1n x12 0
a21 a22 a2 n x22 1
,
…,
a
a
a
x
nn n 2 0
n1 n 2
a11 a12 a1n x1n 0
a21 a22 a2 n x2 n 0
.
a
a
a
x
nn nn 1
n1 n 2
Практическое правило.
a11 a12 a1n 1
a21 a22 a2 n 0
a
n1 an 2 ann 0
0 0
1
1 0
0
~
...
~
0
0 1
0
1
0
0 x11
0 x21
1 xn1
x12
x22
xn 2
x1n
x2 n
.
xnn

25.

Нахождение обратных матриц методом элементарных преобразований
Пример.
Решение.
7 1 0 0 2 5
7 1 0 0 2 5
7 1 0 0
2 5
С 6 3
4 0 1 0 ~ 0 12 17 3 1 0 ~ 0 12 17 3 1 0 ~
5 2 3 0 0 1 5 2 3 0 0 1 1 12 17 2 0 1
0 1 1 1
1 12 17 2 0 1 1 12 17 2 0 1 1 0
~ 0 12 17 3 1 0 ~ 0 12 17 3 1 0 ~ 0 12 17 3 1
0 ~
2 5
7 1 0 0 0 29
41 5 0 2 0 29
41 5
0 2
0 1 1 1 1 0
0 1
1 1 1 0
1 0
0 1
1 1
0 ~
~ 0 12 17 3 1
0 ~ 0 12 17 3 1
0 ~ 0 12 17 3 1
0 5
1 27 29 24
7 1 2 2 0 60
84 12 24 24 0 0
0 1
1 1
1 0
~ 0 12 17 3 1
0 ~
0 0
1 27 29 24
A
1
1
1 1 0 0 1
1 1
1 0 0 1
0 12 0 456 492 408 ~ 0 1 0 38 41 34 .
0 0 1 27 29 24 0 0 1 27 29 24
1 1
1
38 41 34
27 29 24
Обратная матрица