АГиТДУ Лекция 5 ЛО в Еn

1.

АГиТДУ
Линейная алгебра
Лекция 5 ЛО простой структуры.
ЛО в En.
Лектор курса
Поторочина К.С.
Доцент ДИТиА, ИРИТ-РТФ

2.

СВ ЛО

3.

Свойства СВ ЛО
Пусть Aˆ : Ln Ln – линейный оператор, действующий в ЛП Ln .
1. Если x1,..., xm – собственные векторы оператора Â , соответствующие различным собственным значениям 1,..., m ( i j при i j ), то эти векторы линейно независимы.
Доказательство. Пусть x1, x2 – собственные векторы оператора Â , соответствующие различным собственным значениям 1, 2 , т.е. Âx1 1x1 , Âx2 2 x2 , 1 2 .
Предположим, что x1, x2 – линейно зависимы, тогда k P, k 0 : x1 kx2 . Найдем образ вектора x1 :
ˆ Aˆ kx kAx
ˆ k x .
Ax
1
2
2
2 2
С другой стороны, Âx1 1x1 1kx2 , откуда k 2 x2 k 1x2 , k 2 1 x2 . Но x2 – собственный вектор оператора Â (т.е. x 2 ), k 0 , поэтому по свойствам линейных пространств 2 1 0 и
2 1 .
Полученное противоречие показывает, что наше предположение неверно и x1, x 2 – линейно независимы.

4.

Свойства СВ ЛО
2. Линейная комбинация векторов, соответствующих одному и тому же собственному значению , также будет собственным вектором, соответствующим тому же значению .
Доказательство. Пусть x1,..., x k – собственные векторы оператора Â , соответствующие собственному значению .
ˆ ... Ax
ˆ x ... x x ... x .
Тогда Aˆ 1x1 ... k xk 1 Ax
1
k
k
1
1
k
k
1 1
k k

5.

Свойства СВ ЛО
3. В комплексном линейном пространстве C n любой линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.
4. Собственному значению линейного оператора Â кратности k соответствует не более k линейно
независимых собственных векторов.
Замечание 1. Под кратностью собственного значения оператора понимается алгебраическая кратность
корня характеристического многочлена.
Замечание 2. Подпространство L Ln , натянутое на собственные векторы, соответствующие одному и
тому же собственному значению , называется корневым подпространством, отвечающим .

6.

Свойства СВ ЛО
5. Если линейный оператор Â , действующий в n - мерном линейном пространстве L n имеет n линейно независимых собственных векторов, то в базисе из этих векторов матрица оператора имеет диагональный вид, причем на главной диагонали располагаются соответствующие собственные значения.
Доказательство. Пусть x1,..., xn – линейно независимые собственные векторы оператора Â ,
соответствующие собственным значениям 1,..., n (среди i могут быть равные).
Тогда в n - мерном линейном пространстве Ln указанные векторы могут быть взяты в качестве базиса Б x1,..., xn .

7.

Алгебра линейных операторов
Подействуем оператором на векторы базиса Б , а образы разложим по исходным векторам:
ˆ x x 0 x ... 0 x ,
Ax
1
1 1
1 1
2
k
ˆ x 0 x x ... 0 x ,
Ax
2
2 2
1
2
2
k
.........
ˆ x 0 x 0 x ... x .
Ax
n
n n
1
2
n
k
Записав коэффициенты разложения по столбцам, получим матрицу оператора в базисе Б :
1 0
0
2
AБ
.
.
0 0
... 0
... 0
.
... .
... т

8.

Линейный оператор простой структуры
Замечание!!! Диагональный вид матрицы определяется неоднозначно.
Если по-другому пронумеровать собственные векторы, то и соответствующие им собственные значения по-другому расположатся на главной диагонали матрицы.
Определение. Оператор Aˆ : Ln Ln называется оператором простой структуры, если он имеет
n линейно независимых собственных векторов.

9.

Свойства ЛО простой структуры
1. Матрицу оператора простой структуры можно привести к диагональному виду в базисе из его собственных векторов.
И наоборот, матрица диагонального вида соответствует оператору простой структуры.
2. Геометрическое действие оператора простой структуры в Rn можно описать следующим образом:
существует n «направлений», не меняющихся при действии оператора.
Вдоль этих «направлений» пространство испытывает «условное» растяжение с коэффициентами
1,
, n , которые являются собственными значениями оператора.

10.

Собственные значения и собственные векторы ЛО
3. Если Â – оператор простой структуры в L n и 1,
значений, то Ln L 1 L 2
, k – множество всех его различных собственных
L n .
4. Если оператор Aˆ : Ln Ln имеет простой спектр, состоящий из n собственных значений, то Â – оператор простой структуры. (Обратное утверждение неверно).
В этом случае, Ln e1 e2
en , где e1,
, en – собственные векторы оператора Â .
5. Если количество линейно независимых собственных векторов меньше кратности соответствующего
собственного значения, то диагонализовать матрицу оператора нельзя ни в каком базисе пространства Ln , т.е.
оператор не будет иметь простую структуру.

11.

ЛО в Евклидовых пространствах
• Что произойдет с углами, длинами (нормой) и расстояниями
между объектами ЛП при воздействии на них ЛО?

12.

Сопряженный оператор
Пусть Ån – евклидово пространство над произвольным числовым полем P ,
Aˆ : En En – линейный оператор.
Определение . Оператор Aˆ * называется сопряженным к оператору Â , если
x, y En
ˆ , y x, Aˆ * y .
Ax

13.

Связь между матрицами сопряженных операторов
Пусть в базисе Б e1,
, en комплексного евклидова пространства Ån оператору Â соответствует матрица A ,
оператору Aˆ * – матрица A * ,
векторам x и y – столбцы координат X и Y .
Вычислим соответствующие скалярные произведения:
ˆ , y AX Т Г Y
Ax
и x, Aˆ * y X Т Г A * Y .
Тогда по определению сопряженного оператора
ˆ , y x, Aˆ * y , AX Т Г Y X Т Г A * Y ,
Ax
X Т AТ Г Y X Т Г A *Y ,
AТ Г Г A *,
Таким образом, матрица сопряженного оператора имеет вид:
A* Г 1 AТ Г .
A * Г 1 AТ Г .

14.

Связь между матрицами сопряженных операторов
A* Г 1 AТ Г .
Замечания.
1. В ортонормированном базисе Г E и
A* AТ .
называется комплексно-
Матрица A aij
сопряженной к матрице A aij .
Матрица A* AТ называется сопряженной к А.
Т
2. Если вычисления производятся в ОНБ вещественного евклидова пространства, то A* A .

15.

Свойства сопряженного ЛО
1. Легко убедиться, что оператор Aˆ * , сопряженный к линейному оператору Â , является линейным.
2. Для любого линейного оператора Aˆ : En En существует единственный сопряженный к нему
оператор.
3.
ˆ ˆ * Bˆ * Aˆ * .
AB
5. Aˆ Bˆ * Aˆ * Bˆ * .
6. Aˆ * Aˆ * .
4. Aˆ * * Aˆ .
1
7. Aˆ 1 * Aˆ * , если оператор Â является невырожденным.
8. Ранги операторов Â и Aˆ * равны.

16.

Самосопряженный оператор и его свойства
Определение . Оператор Â , действующий в комплексном евклидовом пространстве En ,
называется самосопряженным (эрмитовым), если Aˆ * Aˆ , т.е.
x, y En
ˆ , y x, Ay
ˆ .
Ax
Определение . Если En - вещественное евклидово пространство, то оператор, обладающий
свойством Aˆ * Aˆ , называется симметричным.

17.

Самосопряженный оператор и его свойства
Утверждение 1. Чтобы оператор Â был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в
любом ОНБ была эрмитовой
(т.е. AT A ).
Утверждение 2. Матрица симметричного оператора в любом ОНБ симметрична.
Утверждение 3. Любой оператор Â можно представить в виде суммы Aˆ Aˆ1 iAˆ2 , где Aˆ1, Aˆ2 –
эрмитовы операторы.

18.

Свойства СВ и СЗ эрмитова оператора
1. Собственные значения эрмитова оператора вещественны.
Замечание. Можно доказать, что самосопряженный оператор в евклидовом
пространстве En имеет n собственных значений (с учетом их кратностей).
2. Собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным
значениям самосопряженного оператора, взаимно ортогональны.

19.

Свойства СВ и СЗ эрмитова оператора
3. Самосопряженный оператор в n -мерном пространстве En есть оператор
простой структуры, причем в пространстве существует ОНБ из собственных
векторов оператора Â , в котором матрица оператора имеет диагональный
вид.
4. K – кратному собственному значению самосопряженного оператора соответствует
ровно k линейно независимых собственных векторов.

20.

Унитарный и ортогональный операторы
Определение. Оператор Â , действующий в комплексном евклидовом пространстве En ,
ˆ ˆ * AA
ˆ ˆ *.
называется нормальным, если AA
Определение. Оператор Uˆ , действующий в комплексном евклидовом пространстве En ,
ˆ ˆ * UU
ˆ ˆ * Eˆ . В вещественном евклидовом пространстве
называется унитарным, если UU
аналогичный оператор называется ортогональным.

21.

Замечание 1. Легко убедиться, что самосопряженные и унитарные операторы являются
частными случаями нормальных операторов и поэтому самосопряженные и унитарные операторы
обладают свойствами нормального оператора.
Замечание 2. В ОНБ унитарному оператору соответствует унитарная матрица ( U T U 1 ),
T
1
ортогональному оператору – ортогональная матрица (U U ).

22.

Свойства унитарного оператора
1. Унитарный оператор сохраняет скалярное произведение.
Замечание. Верно обратное утверждение: всякий оператор, сохраняющий скалярное
произведение, является унитарным.
2. Унитарный оператор переводит ОНБ в ОНБ.
3. Собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице.
4. Определитель унитарной матрицы равен по модулю единице.
5. Матрица унитарного оператора Uˆ в комплексном евклидовом пространстве
диагонализуема в базисе из собственных векторов оператора Uˆ , т.е. Uˆ – оператор
простой структуры.

23.

Геометрический смысл ортогонального оператора в
конечномерном евклидовом пространстве
1. Любой ортогональный оператор Pˆ Eˆ в двумерном евклидовом пространстве (в плоскости) R 2 есть либо
поворот, либо осевая симметрия (зеркальное отражение).
2. В трехмерном евклидовом пространстве R3 :
1) если det P 1, то P̂ – оператор поворота системы координат;
2) если det P 1, то P̂ – оператор зеркального поворота, т.е. комбинация поворота и отражения в
плоскости симметрии.