Линейная алгебра

1.

АГиТДУ
Линейная алгебра
Лекция 2 Евклидовы пространства.
Ортогональные системы.
Лектор курса
Поторочина К.С.
Доцент ДИТиА, ИРИТ-РТФ

2.

Матрица Грама
Пусть в евклидовом пространстве E n задан базис Б e1,
n
n
i 1
j 1
, en , тогда всякий вектор этого простран-
ства можно разложить по базису: x i ei , y j e j .
Тогда по свойствам скалярного произведения имеем:
n
n
n n
x, y iei , j e j i j ei , e j .
j 1
i 1
i 1 j 1
Обозначим i 1,
, n , j 1, , n ei , e j g ij .
Тогда
n
n
x, y g ij i j .
i 1 j 1

3.

Матрица Грама
Определение. Матрицей Грама в базисе Б e1,
, en называется матрица
e1, e2 ... e1, en
Г Б g ij n n .
...
. .
e , e ... e , e
n 1
n n
Тогда скалярное произведение элементов x и y в базисе Б e1,
, en можно записать
в матричной форме:
x, y X T Г Б Y ,
1
1
где X , Y .
n
n
, en равно x, y X T Г Y .
n
x, y g ij i j .
Замечание. В вещественном евклидовом пространстве E n скалярное произведение элементов x и y в базисе Б e1,
n
i 1 j 1

4.

Свойства матрицы Грама
1. Матрицы Грама в различных базисах связаны соотношением Г Б T Т Г Б T , Т Б Б .
2. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.
3. В вещественном евклидовом пространстве матрица Грама симметрична, т.е. Г Т Г ; в
комплексном евклидовом пространстве матрица Грама является эрмитовой, т.е. Г Т Г .

5.

Ортогональная система векторов
Определение. Система векторов A a1, a 2 ,
, a k евклидова пространства называется ортого-
нальной, если ai , a j 0, i j .
Определение. Если любой вектор, входящий в ортогональную систему, имеет единичную длину, то система
векторов называется ортонормированной.
0, i j
a
,
a
Замечание. Для векторов ортонормированной системы справедливо соотношение: i j
.
1,
i
j
Определение. Базис в унитарном (евклидовом) пространстве называется ортонормированным (ОНБ), если его
элементы образуют ортонормированную систему.

6.

Свойства ортогональных систем
1. Система ненулевых ортогональных векторов линейно независима.
Доказательство. Пусть A a1,
, a k – ортогональная система ненулевых элеk
ментов. Рассмотрим линейную комбинацию этих векторов: i ai .
i 1
Умножим это равенство скалярно на a j , j 1,
k
a
,
a
i i j 0
i 1
, k , т.е.
k
a
,
a
i i j , a j 0 .
i 1
В силу ортогональности системы A все ai , a j 0 при i j .
k
Тогда i ai , a j j a j , a j 0 j j 0 .
i 1
0
А это означает, что A a1,
, a k – линейно независимая система.

7.

Свойства ортогональных систем
2. Если каждый из векторов системы A a1,
, a k ортогонален вектору a0 ,
то их линейная комбинация также ему ортогональна.
Доказательство. Так как каждый из векторов системы A a1,
, a k ортогонален вектору
a0 , то
i 1,..., k ai , a0 0 .
k
k
По свойствам скалярного произведения: i ai , a0 i ai , a0 0 .
i 1
i 1
k
А это значит, что линейная комбинация i ai ортогональна вектору a0 .
i 1
Замечание. Если элемент b ортогонален каждому элементу из линейной оболочки L a1,..., a k , то говорят, что b ортогонален подпространству L и записывают b L .

8.

Свойства ортогональных систем
3. Множество векторов, ортогональных к вектору a0 , является линейным подпространством
евклидова пространства.
Доказать самостоятельно.
4. Теорема Пифагора: если векторы x и y евклидова пространства ортогональны, то
x y 2 x 2 y 2.
Доказать самостоятельно.

9.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
Пусть x1, x2 ,
, xk – линейно независимая система неортогональных векторов.
Построим ортонормированную систему векторов с помощью метода математической индукции.
1. Пусть первый новый вектор a1 x1 .
2. Вектор a2 будем искать в виде линейной комбинации a2 x2 21a1 .
Число 21 подберем так, чтобы a2 , a1 0 , т.е.
x2 21 a1, a1 0, x2 , a1 21 a1, a1 0 .
Тогда 21
x2 , a1
, причем a2 ⊣ x1, x2 .
a
,
a
1 1
3. Допустим, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы a1, a2 , , ak 1 уже построены.

10.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
4. Вектор ak ищем в виде: ak xk k ,1 a1
k ,k 1 ak 1 .
Коэффициенты k , j , где j 1,..., k 1 , находим из условия ортогональности вектора ak к
k 1
ak , a j xk k ,i ai , a j 0 .
i 1
векторам a j , т.е.
Отсюда
k 1
xk , a j ki ai , a j 0, xk , a j k , j a j , a j 0,
i 1
xk , a j
k , j
, где j 1,..., k 1 .
a j ,a j
Итак, получили ортогональную систему векторов a1, a2 ,
5. Нормируем полученную систему следующим образом: bi
, ak .
ai
. В результате получим ОНС b1, b2 ,
ai
, bk .

11.

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта
Теорема (о существовании ОНБ). В n -мерном евклидовом пространстве En существует ОНБ.
Доказательство проводится с помощью процесса ортогонализации Грама-Шмидта произвольного
базиса пространства.
Пример. Векторы e1 1,1,1 , e2 1, 1, 0 , e3 1, 0, 0 R3 образуют базис в R 3 .
Построить ОНБ, применяя процесс ортогонализации.

12.

Пример
Пример. Векторы e1 1,1,1 , e2 1, 1, 0 , e3 1, 0, 0 R3 образуют базис в R 3 .
Построить ОНБ, применяя процесс ортогонализации.

13.

Свойства ОНБ
1. Скалярное произведение в ОНБ: x, y X Т Y (в произвольном базисе x, y X Т Г Y , но в ОНБ
Г E ).
2. Ортогональная проекция вектора x на направление вектора l (только в вещественном евклидовом
пространстве): прl x x , l0 , где l0
l
.
l
3. Координаты вектора в ОНБ вещественного евклидова пространства: k x, ek .
4. Длина вектора: x 1 1 ... n n ( в вещественном En : x 12 ... n 2 ).

14.

Продолжение следует…