Экспериментальная реализация концепций квантовой физики

1.

Экспериментальная реализация концепций
квантовой физики
Андрей Турлапов, Кирилл Лахманский
Критерии оценок
«отлично» - 8 из 8 лабораторных работ и 60% максимального балла за д/з
«хорошо» - 6 из 8 лабораторных и 50% балла за д/з
«удовлетворительно» - 4 из 8 и 40%

2.

Теория момента импульса
Источники:
розданный конспект, 1-й и 2-й раздел
J. J. Sakurai “Modern quantum mechanics”, §1.1 – §1.7, §3.1, §3.5

3.

Опыт Штерна-Герлаха. 1922 год
z
печь
y
Отто Штерн
пучок электронов
B
U B, Fz z z
z
e
S, e 0
me c
ожидание из
классической
физики
Вальтер Герлах

4.

Основы квантовой механики
Неопределимые понятия: «состояние» , «физическая величина», «физическая
система»
Sz
Sz
z
Sz ,
Sz
пучок электронов
{ } – замкнутое векторное пространство над полем комплексных чисел. Постулаты:
тоже состояние
Пространство состояний { } такое же как { }, но { }
*
Постулаты скалярного произведения : , 0
Только нормированные состояния: 1
bra
ket

5.

Оператор Xˆ :
Основы квантовой механики
Xˆ , только линейные операторы
– тоже оператор:
Эрмитово-сопряжённый оператор Xˆ :
в общем случае X̂
Эрмитов оператор: Xˆ Xˆ
Xˆ
Xˆ Xˆ
ˆ a aa
Собственные состояния: A
В эксперименте измеряются ожидаемые значения:
Постулат: операторы, отвечающие физическим величинам, эрмитовы.
Д/з: докажите, что собственные значения эрмитова оператора вещественны, а
невырожденные собственные состояния ортогональны.
Постулат: множество собственных состояний эрмитова оператора полно
Постулат: при измерении физической величины, отвечающей Â , система
переходит в одно из собственных состояний a
a a a a a a a
*
2
– вероятность перехода (доказуемо)
*

6.

Применение квантовой механики
z
Sz
Sz
пучок электронов
Инструменты:
ca a ,
Sz ,
Sz
Sˆz , Sˆ x , Sˆ y
?
Sx ,
Sx
?
Sy ,
Sy
?
ca ?
a
a ' a ' ca a ca '
a
1 a a ,
a
a
1 a a a a
a

7.

Спин в эксперименте Штерна-Герлаха

8.

Спин в эксперименте Штерна-Герлаха

9.

Спин в эксперименте Штерна-Герлаха

10.

Построение теории спина
ˆ
ˆ
Sz , Sz ,
2
2
ˆ
Sz
2
2
0
Sx
Sˆ x S x S x , Sˆ x S x S x
2
2
1
e i
Sx
2
2
1
e i
Sx
2
2
Sˆ x S x S x S x S x e i ei
2
2
2
2
1
e i
Sy
2
2
2
Sˆ , Sˆ i Sˆ
x
y
z

11.

Операторы проекции спина
ˆ
Sz
2
2
Sˆ x
2
2
i
i
Sˆ y
2
2
Д/з

12.

Оператор координаты
xˆ x x x ,
x ' x ' ' x ' x ' ' ,
x R
Aˆ
x Aˆ x
x x
x Aˆ x
( 0)
, 1 x x dx
Определение волновой функции для состояния : ( x ) x
Импульс
Классическая механика: F(q,P) = q P + P dx – производящая функция для
q, p → Q = q + dx, P = p
В кв. механике вводим оператор сдвига, похожий на F(q,P):
Постулируем разложимость по dx:
Из
следует, что
Постулат:
, где K̂ эрмитов.
pˆ Kˆ – оператор импульса
Следствие постулатов
x dx
x
x Tˆ ( dx ) x 1 iKˆ dx x i x Kˆ dx
x Tˆ ( dx ) x dx x
x pˆ i
x
x

13.

ˆ
Общая теория момента импульса J Jˆ x , Jˆ y , Jˆ z
ˆ
J n
ˆ
D
(
d
)
1
i
d
Постулат: n
– оператор поворота на dφ вокруг n
ˆ
ˆ
ˆ
D
(
d
)
D
(
d
)
1
Потребуем n
, получим, что J n эрмитов.
n
Sˆz
ˆ
Д/з: Докажите, что Dz ( d ) 1 i d поворачивает спин электрона
Lˆz
ˆ
Докажите, что Dz ( d ) 1 i d поворачивает точку в координатном
пространстве вокруг оси z

14.

ˆ
Общая теория момента импульса J Jˆ x , Jˆ y , Jˆ z
ˆ
J n
ˆ
D
(
d
)
1
i
d
Постулат: n
– оператор поворота на dφ вокруг n
Постулат: коммутаторы Dˆ x (d ), Dˆ y (d ) , Dˆ y (d ), Dˆ z (d ) , Dˆ z (d ), Dˆ x (d )
такие же, как для матриц поворота Rx, Ry, Rz в геометрии
0
1
Rx ( ) 0 cos
0 sin
0
sin
cos
0
Rx ( ) R y ( ) R y ( ) Rx ( ) 2
0
cos
R y ( ) 0
sin
2
0
0
Получаем: Jˆ x , Jˆ y i Jˆ z ,
ˆ 2
J a, m a a, m ,
0 sin
1
0
0 cos
cos
Rz ( ) sin
0
sin
cos
0
0
0 Rz ( 2 ) 1
0
Jˆ y , Jˆ z i Jˆ x ,
ˆ 2
2
2
2
J Jˆ x Jˆ y Jˆ z ,
Jˆ z , Jˆ x i Jˆ x
Jˆ z a, m m a, m
Введём оператор повышения: Jˆ Jˆ x iJˆ y ,
0
0
1
Докажем: m = - j, - j +1, ..., j, где j – целое или полуцелое; a
Jˆ , Jˆ Jˆ
z
2
Jˆ , J ˆ 2 0
z
j ( j 1)
Jˆ a, m ... a, m 1
Jˆ z Jˆ a, m Jˆ Jˆ z a, m Jˆ z , Jˆ a, m mJˆ a, m Jˆ a, m (m 1) Jˆ a, m
?

15.

Общая теория момента импульса
z
a, m

16.

Общая теория момента импульса
a, m 1
z
mmax j
Jˆ a, mmax 0
ˆ 2
2
a, m J Jˆ z a, m 0
mmax = ?
Jˆ a, mmax 0
Jˆ Jˆ a, mmax 0
ˆ 2
ˆ
ˆ
J J J Jˆ z2 Jˆ z
a 2 mmax (mmax 1)
Jˆ Jˆ x iJˆ y
mmin
Jˆ a, mmin 0
a 2 mmin ( mmin 1)
mmax = -mmin
mmax = j – целое или полуцелое

17.

Домашнее задание
1/3 от суммарной оценки за все дз; задачи 1-5 по 10 баллов, 6-8 по 20 баллов
Сдавайте Илье Юхновцу [email protected] к 21:00 среды 14 февраля, не более 1 Мб
1. докажите, что собственные значения эрмитова оператора вещественны, а
невырожденные собственные состояния ортогональны.
4. Сакурай 1.7a (издание 1994 года) или 1.9a (Sakurai-Napolitano, 3-е издание, 2021 г.)
5. Выразите Ŝ z через собственные состояния оператора Ŝ x
Ŝ - оператор проекции спина на направление (cos φ, sin φ, 0). Найдите собственные
состояния Ŝ , выразив через собственные состояния Ŝ
z
Sˆz
ˆ
d поворачивает спин электрона на dφ вокруг z.
7. Докажите, что Dz ( d ) 1 i
Lˆz
ˆ
8. Докажите, что Dz ( d ) 1 i
d поворачивает точку в координатном пространстве на
dφ вокруг z.
6.