Интегрирование рациональных функций (неопределённый интеграл)

1.

2. 7. Неопределённый интеграл

7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
7.1 Основные понятия
7.2 Методы интегрирования
7.3 Интегрирование рациональных функций
7.4 Интегрирование тригонометрических функций
7.5 Интегрирование иррациональных функций

3. 7. Неопределённый интеграл

7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
7.3 Интегрирование рациональных функций
7.3.1 Интегрирование целой рациональной функции
(многочлена)
7.3.2 Интегрирование простейших правильных
рациональных дробей
7.3.3 Интегрирование рациональных дробей

4. 7.3.1 Интегрирование целой рациональной функции (многочлена)

7.3.1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ
ФУНКЦИИ (МНОГОЧЛЕНА)
Целая рациональная функция (многочлен степени n):
f ( x) Pn ( x) a0 x n a1 x n 1 ... an 2 x 2 an 1x an
Способ интегрирования:
применить свойство линейности неопределённого интеграла (разбить
интеграл на сумму интегралов, вынести константы в каждом слагаемом
за знак интеграла), для каждого слагаемого использовать формулу из
1
x
таблицы интегралов
x
dx 1 C
Пример
или
dx x C.
x3
x 4 x3 3x 2
2
3 x 3x 8 dx 12 3 2 8 x C

5. 7.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

7.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Простейшие правильные рациональные дроби и соответствующие им
неопределённые интегралы:
I.
II.
III.
IV.
A
x a
A
x a dx
A
A
x a
x a dx
k
k
Mx N
x 2 px q
Mx N
x px q
2
Mx N
x 2 px q dx
Mx N
s
x px q dx
2
s
A, a, M , N , p, q R; k , s N ; k 2; s 2; D p 2 4q 0

6. 7.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

7.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Способ интегрирования дробей типов I и II:
применить метод интегрирования подстановкой.
I
A
1
u x a
x a dx du dx A u du A ln u C
A ln x a C
II
1
u x a
k
x a k dx du dx A u k du A u du
A
u k 1
A
k 1
A
C
x a C
k 1
k 1

7. 7.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

7.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Способ интегрирования дроби типа III:
применить метод интегрирования подстановкой.
III
Mx N
x 2 px q dx
или
Mx N
Ax 2 Bx C dx
1) Половину производной знаменателя заменить на новую переменную.
2
Ax Bx C 2 Ax B
2
x px q 2 x p
B
u B
p
p
x
x u или u Ax
u x
2
A
2
A
2
2
dx 1 du
dx du
A

8. 7.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

7.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Способ интегрирования дроби типа III:
2) Подставить данные в исходный интеграл и упростить его.
3) Разбить полученный интеграл на сумму двух интегралов.
4) К первому интегралу применить метод интегрирования
подстановкой (полученный знаменатель заменить на новую
переменную).
5) Второй интеграл – табличный.
6) Сделать обратную замену.

9. 7.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

7.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример
2
2 x 6
x
6
x
1
4 3 u 3
4 3x
x 2 6 x 1 dx u x 3 x u 3 u 3 2 6 u 3 1 du
dx u 3 du du
4 3u 9
3u 5
udu
du
u 2 6u 9 6u 18 1 du u 2 8 du 3 u 2 8 5 u 2 8
Вычислим отдельно каждый интеграл:

10. 7.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

7.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример (продолжение)
t u 2 8
udu
u dt
1 dt
u 2 8 dt u 2 8 du 2udu du dt t 2u 2 t
2u
1
1
1
2
2
ln t C1 ln u 8 C1 u x 3 ln x 3 8 C1
2
2
2
1
ln x 2 6 x 1 C1
2
1
u 8
1
u 2 2
du
ln
C
ln
u 2 8 2 8 u 8 2 4 2 u 2 2 C2
x 3 2 2
ln
C2
u x 3
4 2 x 3 2 2
1

11. 7.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

7.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример (продолжение)
Подставим вычисленные интегралы:
udu
du
3 2
5 2
u 8
u 8
x 3 2 2
1
1
2
3 ln x 6 x 1 C1 5
ln
C2
2
4 2 x 3 2 2
3
5
x 3 2 2
2
ln x 6 x 1
ln
C
2
4 2 x 3 2 2

12. 7.3.3 Интегрирование рациональных дробей

7.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Дробно-рациональная функция (рациональная дробь):
Pn ( x)
f ( x)
Qm ( x)
где
Pn x и Qm x - многочлены
степеней n и m соответственно (m 0).
Рациональная дробь называется правильной, если n < m,
в противном случае рациональная дробь называется неправильной (n m ).
Примеры
Определить правильные и неправильные дроби.
x 4 x3 2 x 1
1)
x2 4
x2 x
2)
3x 2 4
1
3)
x 3 0, 2 x 1
5 x 2 4
4)
6,78
x
5)
x 3
x 2 55
6)
x3

13. 7.3.3 Интегрирование рациональных дробей

7.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Разложение правильной рациональной дроби на сумму
простейших правильных рациональных дробей (частные случаи)
Дробь
Сумма дробей с неопределёнными
коэффициентами
Pn x
x a x b
A
B
x a x b
Pn x
x a x b x c
A
B
C
x a x b x c
Pn x
x a x b
Pn x
2
2
A
B
C
D
2
x a x a
x b x b 2
x px q x sx t
Ax B
Cx D
x 2 px q x 2 sx t
x a x 2 px q
A
Bx C
2
x a x px q
2
2
Pn x
a, b,c, p,
q, s, t R
известные
числа
подходящий
многочлен
неопределённые
коэффициенты

14. 7.3.3 Интегрирование рациональных дробей

7.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Способ интегрирования:
1) Если дробь неправильная, то нужно представить её в виде суммы
многочлена и правильной дроби (деление «уголком»).
2) У правильной дроби разложить знаменатель на множители (линейные
и квадратичные, где D < 0).
3) Правильную дробь представить в виде суммы простейших правильных
рациональных дробей.
4) Используя метод неопределённых коэффициентов, найти
коэффициенты в числителях простейших дробей.
5) Записать полное разложение неправильной дроби на сумму
многочлена и простейших правильных рациональных дробей.
6) Проинтегрировать полученное выражение, используя свойство
линейности неопределённого интеграла и ранее изученные методы.

15. 7.3.3 Интегрирование рациональных дробей

7.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример
4 x3 3x 2 2 x 1
x 1 x 3 dx
Под знаком интеграла стоит неправильная дробь, раскроем скобки в
знаменателе и разделим «уголком» числитель на знаменатель
x 1 x 3 x 2 2 x 3
4 x43x 3
3 x32x 2 2 x2
x 1 1x 2x 2
2 x2 x 3 3
3
4 x 8 x 2 12 x 4 x 5
5 x 2 14 x 1
Представим неправильную дробь
в виде суммы многочлена и
5 x 2 10 x 15
правильной дроби
24 x 14
4 x3 3x 2 2 x 1
24 x 14
4x 5
x 1 x 3
x 1 x 3

16. 7.3.3 Интегрирование рациональных дробей

7.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример (продолжение)
Правильную дробь представим в виде суммы простейших правильных
рациональных дробей с неопределёнными коэффициентами, применим
метод неопределённых коэффициентов для их нахождения
24 x 14
A
B
A x 3 B x 1 Ax 3 A Bx B
x 1 x 3 x 1 x 3
x 1 x 3
x 1 x 3
24 x 14 Ax 3 A Bx B
24 x 14 A B x 3 A B
A B 24
3 A B 14
Решим систему, например, методом Крамера
1 1
24 1
1 24
1 3 4; A
24 14 10; B
14 72 86
3 1
14 1
3 14
A
10
86
2,5; B
21,5
4
4

17. 7.3.3 Интегрирование рациональных дробей

7.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример (продолжение)
24 x 14
2,5 21,5
x 1 x 3 x 1 x 3
Запишем полное разложение неправильной дроби на сумму многочлена и
простейших правильных рациональных дробей
4 x3 3x 2 2 x 1
2,5 21,5
4x 5
x 1 x 3
x 1 x 3
Проинтегрируем эту функцию
4 x3 3x 2 2 x 1
2,5 21,5
dx
x 1 x 3
4 x 5 x 1 x 3 dx
2 x2 5x 2,5ln x 1 21,5ln x 3 C
(для интегрирования 3 и 4 слагаемых применяли 1 частный случай
метода подстановки)

18. Продолжение следует...

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...