Неопределённый интеграл. Тема 8. Лекции 8.3, 8.4, 8.5

1.

2. 8. Неопределённый интеграл

8. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
8.1 Основные понятия
8.2 Методы интегрирования
8.3 Интегрирование рациональных функций
8.4 Интегрирование тригонометрических функций
8.5 Интегрирование иррациональных функций

3. 8. Неопределённый интеграл

8. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
8.3 Интегрирование рациональных функций
8.3.1 Интегрирование целой рациональной функции
(многочлена)
8.3.2 Интегрирование простейших правильных
рациональных дробей
8.3.3 Интегрирование рациональных дробей

4. 8.3.1 Интегрирование целой рациональной функции (многочлена)

8.3.1 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЦЕЛОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ
ФУНКЦИИ (МНОГОЧЛЕНА)
Целая рациональная функция (многочлен степени n):
f ( x) Pn ( x) a0 x n a1 x n 1 ... an 2 x 2 an 1x an
Способ интегрирования:
применить свойство линейности неопределённого интеграла (разбить
интеграл на сумму интегралов, вынести константы в каждом слагаемом
за знак интеграла), для каждого слагаемого использовать формулу из
1
x
таблицы интегралов
x
dx 1 C
Пример
или
dx x C.
x3
x 4 x3 3x 2
2
3 x 3x 8 dx 12 3 2 8 x C

5. 8.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

8.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Простейшие правильные рациональные дроби и соответствующие им
неопределённые интегралы:
I.
II.
III.
IV.
A
x a
A
x a dx
A
A
x a
x a dx
k
k
Mx N
x 2 px q
Mx N
x px q
2
Mx N
x 2 px q dx
Mx N
s
x px q dx
2
s
A, a, M , N , p, q R; k , s N ; k 2; s 2; D p 2 4q 0

6. 8.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

8.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Способ интегрирования дробей типов I и II:
применить метод интегрирования подстановкой.
I
A
1
u x a
x a dx du dx A u du A ln u C
A ln x a C
II
1
u x a
k
x a k dx du dx A u k du A u du
A
u k 1
A
k 1
A
C
x a C
k 1
k 1

7. 8.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

8.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Способ интегрирования дроби типа III:
применить метод интегрирования подстановкой.
III
Mx N
x 2 px q dx
или
Mx N
Ax 2 Bx C dx
1) Половину производной знаменателя заменить на новую переменную.
2
Ax Bx C 2 Ax B
2
x px q 2 x p
B
u B
p
p
x
x u или u Ax
u x
2
A
2
A
2
2
dx 1 du
dx du
A

8. 8.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

8.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Способ интегрирования дроби типа III:
2) Подставить данные в исходный интеграл и упростить его.
3) Разбить полученный интеграл на сумму двух интегралов.
4) К первому интегралу применить метод интегрирования
подстановкой (полученный знаменатель заменить на новую
переменную).
5) Второй интеграл – табличный.
6) Сделать обратную замену.
Пример
4 3x
x 2 6 x 1 dx

9. 8.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

8.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример
2
2 x 6
x
6
x
1
4 3 u 3
4 3x
x 2 6 x 1 dx u x 3 x u 3 u 3 2 6 u 3 1 du
dx u 3 du du
4 3u 9
3u 5
udu
du
u 2 6u 9 6u 18 1 du u 2 8 du 3 u 2 8 5 u 2 8
Вычислим отдельно каждый интеграл:

10. 8.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

8.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример (продолжение)
t u 2 8
udu
u dt
1 dt
u 2 8 dt u 2 8 du 2udu du dt t 2u 2 t
2u
1
1
1
2
2
ln t C1 ln u 8 C1 u x 3 ln x 3 8 C1
2
2
2
1
ln x 2 6 x 1 C1
2
1
u 8
1
u 2 2
du
ln
C
ln
u 2 8 2 8 u 8 2 4 2 u 2 2 C2
x 3 2 2
u x 3
ln
C2
4 2 x 3 2 2
1

11. 8.3.2 Интегрирование простейших правильных рациональных дробей

8.3.2 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ
ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример (продолжение)
Подставим вычисленные интегралы:
udu
du
3 2
5 2
u 8
u 8
x 3 2 2
1
1
2
3 ln x 6 x 1 C1 5
ln
C2
2
4 2 x 3 2 2
3
5
x 3 2 2
2
ln x 6 x 1
ln
C
2
4 2 x 3 2 2

12. 8.3.3 Интегрирование рациональных дробей

8.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Дробно-рациональная функция (рациональная дробь):
Pn ( x)
f ( x)
Qm ( x)
где
Pn x и Qm x - многочлены
степеней n и m соответственно (m 0).
Рациональная дробь называется правильной, если n < m,
в противном случае рациональная дробь называется неправильной (n m ).
Примеры
Определить правильные и неправильные дроби.
x 4 x3 2 x 1
1)
x2 4
x2 x
2)
3x 2 4
1
3)
x3 0, 2 x 1
5 x 2 4
4)
6,78
x
5)
x 3
x 2 55
6)
x3

13. 8.3.3 Интегрирование рациональных дробей

8.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Разложение правильной рациональной дроби на сумму
простейших правильных рациональных дробей (частные случаи)
Дробь
Pn x
x a x b
A
B
x a x b
Pn x
x a x b x c
Pn x
x a x b
Pn x
2
Сумма дробей с неопределёнными
коэффициентами
2
A
B
C
x a x b x c
A
B
C
D
2
x a x a
x b x b 2
x px q x sx t
Ax B
Cx D
x 2 px q x 2 sx t
x a x 2 px q
A
Bx C
2
x a x px q
2
2
Pn x
a, b,c, p,
q, s, t R
известные
числа
подходящий
многочлен
неопределённые
коэффициенты

14. 8.3.3 Интегрирование рациональных дробей

8.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Способ интегрирования:
1) Если дробь неправильная, то нужно представить её в виде суммы
многочлена и правильной дроби (деление «уголком»).
2) У правильной дроби разложить знаменатель на множители (линейные
и квадратичные, где D < 0).
3) Правильную дробь представить в виде суммы простейших правильных
рациональных дробей.
4) Используя метод неопределённых коэффициентов, найти
коэффициенты в числителях простейших дробей.
5) Записать полное разложение неправильной дроби на сумму
многочлена и простейших правильных рациональных дробей.
6) Проинтегрировать полученное выражение, используя свойство
линейности неопределённого интеграла и ранее изученные методы.

15. 8.3.3 Интегрирование рациональных дробей

8.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример
4 x3 3x 2 2 x 1
x 1 x 3 dx
Под знаком интеграла стоит неправильная дробь, раскроем скобки в
знаменателе и разделим «уголком» числитель на знаменатель
x 1 x 3 x 2 2 x 3
4 x43x 3
3 x32x 2 2 x2
x 1 1x 2x 2
2 x2 x
33
3
4 x 8 x 2 12 x 4 x 5
5 x 2 14 x 1
Представим неправильную дробь
в виде суммы многочлена и
5 x 2 10 x 15
правильной дроби
24 x 14
4 x3 3x 2 2 x 1
24 x 14
4x 5
x 1 x 3
x 1 x 3

16. 8.3.3 Интегрирование рациональных дробей

8.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример
Правильную дробь представим в виде суммы простейших правильных
рациональных дробей с неопределёнными коэффициентами, применим
метод неопределённых коэффициентов для их нахождения
24 x 14
A
B
A x 3 B x 1 Ax 3 A Bx B
x 1 x 3 x 1 x 3
x 1 x 3
x 1 x 3
24 x 14 Ax 3 A Bx B
24 x 14 A B x 3 A B
A B 24
3 A B 14
Решим систему, например, методом Крамера
1 1
24 1
1 24
1 3 4; A
24 14 10; B
14 72 86
3 1
14 1
3 14
A
10
86
2,5; B
21,5
4
4

17. 8.3.3 Интегрирование рациональных дробей

8.3.3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Пример
24 x 14
2,5 21,5
x 1 x 3 x 1 x 3
Запишем полное разложение неправильной дроби на сумму многочлена и
простейших правильных рациональных дробей
4 x3 3x 2 2 x 1
2,5 21,5
4x 5
x 1 x 3
x 1 x 3
Проинтегрируем эту функцию
4 x3 3x 2 2 x 1
2,5 21,5
x 1 x 3 dx 4 x 5 x 1 x 3 dx
2 x2 5x 2,5ln x 1 21,5ln x 3 C

18. 8. Неопределённый интеграл

8. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
8.4 Интегрирование тригонометрических функций
8.4.1
m
n
sin
x
cos
xdx
8.4.2
sin ax cos bx dx и т. п.
8.4.3
tg xdx, ctg xdx
n
n

19. 8.4.1 интегралы вида

m
n
sin
x
cos
xdx.
8.4.1 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
1. m – целое положительное нечётное число.
Способ интегрирования:
использовать подстановку
t cos x,
применить основное тригонометрическое тождество.
2. n – целое положительное нечётное число.
Способ интегрирования:
использовать подстановку
t sin x,
применить основное тригонометрическое тождество.
Примеры
1) sin 5 x cos 4 xdx
2) 3 sin x cos3 xdx

20. 8.4.1 интегралы вида

m
n
sin
x
cos
xdx.
8.4.1 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
Примеры
t cos x
1) sin 5 x cos 4 xdx
dt
dt cos x dx sin xdx dx sin x
2
2
dt
2
4
2
sin x t
sin x t dt 1 cos x t 4 dt
sin x
5
4
1 t t 4 dt 1 2t t t dt t 2t t dt
2 2
2
4
4
4
6
8
5
7
9
t
t
t
t 4 dt 2 t 6 dt t 8dt 2 C t cos x
5
7 9
cos5 x 2cos 7 x cos9 x
C
5
7
9

21. 8.4.1 интегралы вида

m
n
sin
x
cos
xdx.
8.4.1 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
Примеры
t sin x
2) 3 sin x cos3 xdx
dt
dt sin x dx cos xdx dx cos x
3
dt
t cos x
3 t cos 2 xdt 3 t 1 sin 2 x dt
cos x
3
4
3
10
3
1
7
1
7
t
t
2
3
3
3
3
t 1 t dt t t dt t dt t dt
C
4 10
3 3
1
3
4
3
10
3
4
3
10
3
3t
3t
3cos x 3cos x
C t cos x
C
4
10
4
10

22. 8.4.1 интегралы вида

m
n
sin
x
cos
xdx.
8.4.1 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
3. m и n – оба целые положительные нечётные числа.
Способ интегрирования:
рациональнее заменить функцию с большим показателем.
4. m и n – целые неотрицательные чётные числа.
Способ интегрирования:
применить тригонометрические формулы понижения степени
1 cos 2 x
1 cos 2 x
1
2
cos x
, sin x
, sin x cos x sin 2 x,
2
2
2
2
затем проинтегрировать полученное выражение, используя свойство
линейности неопределённого интеграла и ранее изученные методы.
Пример
4
cos
xdx

23. 8.4.1 интегралы вида

m
n
sin
x
cos
xdx.
8.4.1 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
Пример
1
4
1 cos 2 x
2
cos
xdx
1
2cos
2
x
cos
2 x dx
dx
2
4
2
1
1 cos 4 x
1
1 cos 4 x
1 2cos 2 x
dx 1 2cos 2 x
dx
4
2
4
2
2
1 3
1
dx 2 cos 2 xdx cos 4 xdx
4 2
2
u 2 x
t 4 x
du
dt
du 2 x dx 2dx dx 2 dt 4 x dx 4dx dx 4

24. 8.4.1 интегралы вида

m
n
sin
x
cos
xdx.
8.4.1 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
Пример
1 3
du 1
dt
x 2 cos u
cos t
4 2
2 2
4
1 3
1
x cos udu cos tdt
4 2
8
1 3
1
x sin u sin t C
4 2
8
1 3
1
x sin 2 x sin 4 x C
4 2
8
3
1
1
x sin 2 x sin 4 x C
8
4
32

25. 8.4.2 интегралы вида

8.4.2 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
sin ax cos bx dx и т. п.
Способ интегрирования:
применить тригонометрические формулы преобразования произведения
в сумму (разность)
1
1)sin cos sin sin
2
1
2) cos cos cos cos
2
1
3)sin sin cos cos
2
Пример
cos5 x cos 6 xdx

26. 8.4.2 интегралы вида

8.4.2 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
sin ax cos bx dx и т. п.
Пример
cos5 x cos 6 xdx
1
cos 5 x 6 x cos 5 x 6 x dx
2
1
1
1
cos x cos 11x dx cos xdx cos11xdx
2
2
2
t 11x
dt
dt 11x dx 11dx dx 11
1
1
dt 1
1
1
1
sin x cos t sin x cos tdt sin x sin t C
2
2
11 2
22
2
22
1
1
sin x sin11x C
2
22

27. 8.4.3 интегралы вида

n
n
tg
xdx
;
ctg
8.4.3 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
xdx.
Способ интегрирования:
Используем подстановку
t tg x
x arctgt
dt
dx
1 t2
Пример
3
ctg
xdx
или
t ctg x
x arcctgt
dt
dx
1 t2

28. 8.4.3 интегралы вида

8.4.3 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
n
n
tg
xdx
;
ctg
xdx.
Пример
t ctg x x arcctgt
dt
3
3
ctg
xdx
dt t
2
1 t
dx arcctgt dt 1 t 2
3
2
2
t
0
t
0
t
0
3
t
0t 1
t
t
3
2
2 dt t 2 dt
t
t
0
t
+t
t 1
t 1
t
u t 2 +1
t
tdt 2 dt
du
2
t 1
du t 1 dt 2tdt dt
2t
t2
t du
t 2 1 du
t2 1
ln u C
2
u 2t
2 2 u
2 2
2
t2 1
ctg
x 1
ln t 2 1 C
ln ctg 2 x 1 C
2 2
2
2

29. 8. Неопределённый интеграл

8. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
8.5 Интегрирование иррациональных функций
8.5.1
8.5.2
Mx N
Ax Bx C dx
2
pk
p1
n
n
R x; ax b 1 ;...; ax b k dx

30. 8.5.1 интегралы вида

8.5.1 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
Mx N
Ax Bx C dx.
2
Способ интегрирования: ( как в 7.3.2 дроби типа III)
применить метод интегрирования подстановкой.
Ax 2 Bx C 2 Ax B
B
u B
u Ax 2 x A 2 A
dx 1 du
A
Пример
5
7 4 x x dx
2

31. 8.5.1 интегралы вида

8.5.1 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА
Mx N
Ax Bx C dx.
2
2
7
4
x
x
2
x
4
5
dx u x 2 x u 2
2
7 4x x
dx u 2 du du
Пример
5
5
7 4 u 2 u 2
2
du
1
u
du 5arcsin
C
2
11
11 u
x 2
x 2
5arcsin
C 5arcsin
C
11
11
5
7 4u 8 u 4u 4
2
du

32. 8.5.2 интегралы вида

pk
p1
n
n
8.5.2 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА R x; ax b 1 ;...; ax b k dx.
Способ интегрирования:
применить метод интегрирования подстановкой.
ax b t s , где s НОК n1; n2 ; ...; nk
ts b
x
a
s t s 1
dx
dt
a
t s ax b
НОК – наименьшее общее кратное, например:
НОК 2;4;8 8
НОК 2;3;4 12

33. 8.5.2 интегралы вида

pk
p1
n
n
8.5.2 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА R x; ax b 1 ;...; ax b k dx.
2
t
3
2
2 x 3 t ; x 2 ; t 2 x 3
1
1)
dx
2
5 x 2x 3
dx t 3 dt tdt
2
1
1
1
dt 2
dt
tdt
2
2
2
10 t 3
7 t
t 3
5
t
2
2
Примеры
1
t
2
2x 3
2
arctg
C
arctg
C
7
7
7
7
2
2x 3
arctg
C
7
7

34. 8.5.2 интегралы вида

pk
p1
n
n
8.5.2 ИНТЕГРАЛЫ ВИДА R x; ax b 1 ;...; ax b k dx.
Примеры
x t 4; t 4 x
1
4t 3
2)
dx
dt
4
4
4
4
4
3
x x
t t
dx t dt 4t dt
t 2 0t 0 t 1
4t 3
t3
t2
2 dt 4
dt 4
2
dt
t t
t t 1
t 1
t t
t 1
t 0
1
dt
4 t 1
dt
4 tdt 4 dt 4
t 1
t 1
t 1
t2
du
1
u t 1
4 4t 4
2
u
du t 1 dt dt dt du
2t 2 4t 4ln u C
2t 2 4t 4ln t 1 C 2 x 4 4 x 4ln 4 x 1 C

35. Продолжение следует...

ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ...