Тригонометрические функции

1.

Тригонометрические функции
Тригонометрические формулы

2.

Тригонометрические функции
tg
π
90° 2
1 F
М
R=1
Д
ctg
A cos ; sin
180°π
-1
C
0
0 1
B N К 360°2π
tg
sin
cos
270° -1
3π
2
ctg
tg
sin
cos
ctg
cos
sin

3. Определения

Синусом числа х называется ордината точки А,
косинусом числа х называется абсцисса точки А,
которая получена поворотом начальной точки
единичной окружности на угол х.
Тангенсом числа х называется отношение
синуса числа х к косинусу числа х,
котангенсом числа х называется отношение
косинуса числа х к синусу числа х.
Функции у=sin x, у=cosx, у=tgx и у= ctg x
называются тригонометрическими

4.

Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
для некоторых углов tg 3
180 радиан
1
180
180
180
-1
3
1 рад
3
4
180
180
рад
3
2
1
cos120 cos 60
2
sin 120 sin 60
sin 135 sin 45
90
2
3 120
3
3
1
1
60 3
3
2
2
2
135
45
4
2
1
2
1
2
3
2
7 210
6
2
2
sin 180 sin
cos 180 cos
ctg
3
3
0
-1 3 2
2
2
3
30
6
1
2
180
2
cos 135 cos 45
3
3
5
6 150
1
sin 150 sin 30
2
cos150 cos 30
2
5 225
240
4
4
3
2
2
3
2
360 2
3
2
1
11
330
6
3
3
1
2
2
2
315 7
-1 270
3
2
300
5
3
4
-1
3
sin 90 cos
cos 90 sin
tg 90 ctg

5.

Построение графика функции y=sinx
1 2
x
y
1
0 2
0
-1
-y
1
2
0
-x
3
2
-1
-1 3
Свойства функции y=sinx
2
1) D y ;
2) E y 1;1
3)T 2
4)Функция нечетная
а) D y симметрична
относительно точки О
б ) y x y x
5) y 0 при х n
6) унаиб. 1 при х
2
2 n
2
7) yнаим. 1 при х
2
2 n
8) монотонность
а)функция на 2 n; 2 n
2
2
3
б )функция на 2 n;
2 n
2
2
9)промежутки знакопостоянства
а) у 0 на 2 n; 2 n
б ) у 0 на 2 n;2 2 n
n Z
2

6.

Построение графика функции y=cosx
1 2
1
x
1 0
-1
2
y
0
2
0
-x
-1
2
-1
3 2
2
Свойства функции y=cosx
1) D y ;
2) E y 1;1
3) Периодичность : T 2
4)Функция четная
8) монотонность :
а)функция на 2 n;2 n
б )функция на 2 n; 2 n
б) y x y x
9)промежутки знакопостоянства :
а ) у 0 на 2 n; 2 n
а) D y симметрична
относительно оси ОУ
5) y 0 при х
n
2
6) унаиб. 1 при х 2 n
7) yнаим. 1 при х 2 n
2
2
3
б ) у 0 на 2 n;
2 n
2
2
n Z
3
2

7.

Построение графика функции y=tgx
tgx
1 2
x у
1 0
2
-1
0
-х -у
-1
3
2
1
2
0
2
3
2
-1
2
Свойства функции y=tgx
1) D y : х n
2
2) E y ;
3) Периодичность : T
4)Функция нечетная.
5) Нули функции :
y 0 при х n
8) монотонность :
а)функция на n; n
2
2
9)промежутки знакопостоянства :
б ) у 0 на n; n
2
а) у 0 на n; n
2
n Z

8.

Построение графика функции y=ctgx
-y
y
1 2
1
x
1 0 2
-1
0
0
2
-х
-1
2
3
2
2
Свойства функции y=ctgx
1) D y : х n
2) E y ;
3) Периодичность : T
4)Функция нечетная
5) Нули функции :
y 0прих n
-1
3 2
2
8) монотонность :
а)функция на n; n
9)промежутки знакопостоянства
б ) у 0на n; n
2
а) у 0на n; n
2
n Z

9.

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс
1
2
arcsin a
a
arccos a
arccos a
arccos a
a
-1
arcsin a x, sin x a
x
x
-1 a
a 1;1
arcsin a arcsin a
2
tgx a
a 1;1
a
arccos a 0;
a ctgx
arcctg a
arccos a
arctga x, tgx a
arctg a
arctg a arctga
a 1
arccos a arccos a
arctga
arccos a x, cos x a
;
2 2
2
x
x
0
arcsin a arcsin a
2
x
arcctga
x
0
a R
arctga ;
2 2
a
arcctg a arcctga
arcctga x, ctgx a
a R
arcctga 0;

10.

Решение уравнения cosx=a
1 2
1
0
0
-1
1 2
-1 3
2
2
0
2
2
3
2
-1
Частные случаи:
1) cos x 0
x
2
n
2) cos x 1
х 2 n
3) cos x 1
x 2 n
cos x a, где 1 a 1
x arccos a 2 n, n Z
5
2

11.

Решение уравнения sinx=a
1 2
1
0
0
1 2
-1 3
2
0
2
3
2
2
-1
2
Частные случаи:
1) sin x 0
х n
2) sin x 1
x
2
2 n
3) sin x 1
x 2 n
2
sin x a, где 1 a 1
x 1 arcsin a n, n Z
n

12. Основные тригонометрические формулы

Тригонометрические функции
Основные тригонометрические тождества
Знаки тригонометрических функций

13.

Формулы приведения
Формулы сложения

14.

Преобразование суммы тригонометрических функций

15.

Преобразование произведения тригонометрических
функций в сумму
Тригонометрический функции двойного и тройного
аргумента
Тригонометрические функции половинного аргумента

16.

Выражение тригонометрической функции через тангенс
половинного аргумента
Преобразование степеней синуса и косинуса