Решение простейших тригонометрических уравнений

1.

Решение простейших
тригонометрических
уравнений.
Алгебра и начала анализа, 10 класс.

2.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями понимают уравнения вида:
sin x a
cos x a
,где x –
выражение с
переменной,
a .
tgx a
ctgx a

3.

Рассмотрим решение уравнения sinx=a с помощью графического способа
решения. Для этого нам надо найти абсциссы точек пересечения синусоиды
y=sinx и прямой y=a. Сразу же изобразим синусоиду.
y
y=a, a>1
a
Масштаб :3
1
2
3
2
3
2
2
0
2
x
2
−1
a
y=a, a<–1
I случай: a [–1;1]
Очевидно, что в этом случае точек пересечения нет и поэтому уравнение корней
не имеет!

4.

II случай: a [–1;1]
Очевидно, что в этом случае точек пересечения бесконечно много, причем их
абсциссы определяются следующим образом:
1) Рассмотрим точку, абсцисса которой попадает на отрезок 2 ; 2 .
2) Абсцисса этой точки – есть число(угол в радианной мере), синус которого равен
a, т.е. значение этого числа равно arcsina.
y
Масштаб :3
1
2
3
2
arcsin a arcsin a
2
2
3
2
a
2
0
arcsin a arcsin a
2
x
2
−1
3) Абсцисса второй точки, попадающей на отрезок [– ; ], равна ( –arcsina). Для
объяснения этого достаточно вспомнить, что sinx=sin( –x).
4) Все остальные абсциссы точек пересечения получаются из этих двух
добавлением к ним чисел вида 2 n, где n (ведь мы помним свойство
периодичности функции y=sinx). Задание: назовите, какие абсциссы «улетевших»
за край чертежа двух точек?
Ответ: (arcsina+2π) и (3π – arcsina).

5.

Таким образом, все корни в этом случае можно записать в виде совокупности:
arcsin a ·2n, n Z;;
x
arcsin a · 2k 1 , k Z/.
y
Масштаб :3
1
2
3
2
arcsin a arcsin a
2
2
3
2
a
2
0
2
arcsin a arcsin a
2
−1
Или, принято эти две записи объединять в одну (подумайте, как это обосновать):
x 1 arcsin a m, m Z..
m
x

6.

III случай: a= –1; 0 или 1.
Эти три значения – особые! Для них общая формула корней, выведенная нами в
предыдущем случае не годится. Проследите самостоятельно за выводом в
каждом отдельном случае.
y
1
2
3
2
Масштаб :3
y=1
3
2
2
y=0
0
2
y=–1 −1
sin x 1 x
2 n, n Z..
2
sin x 0 x t, t Z..
sin x 1 x
2
2 r, r Z..
Запомните эти
три особых
случая!
2
x

7.

Решение уравнения cosx=a рассмотрим тем же графическим способом. Для
этого нам надо найти абсциссы точек пересечения косинусоиды y=cosx и прямой
y=a. Сразу же изобразим косинусоиду.
y
y=a, a>1
a
Масштаб :3
1
2
3
2
3
2
2
0
2
x
2
−1
a
y=a, a<–1
I случай: a [–1;1]
Очевидно, что в этом случае точек пересечения нет и поэтому уравнение корней
не имеет!

8.

II случай: a [–1;1]
Очевидно, что в этом случае точек пересечения бесконечно много, причем их
абсциссы определяются следующим образом:
1) Рассмотрим точку, абсцисса которой попадает на отрезок 0; .
2) Абсцисса этой точки – есть число(угол в радианной мере), косинус которого
равен a, т.е. значение этого числа равно arccosa.
1
2
arccos a 2 3
y
Масштаб :3
3
2
2
arccos a 0 arccos a
2
2
x
arccos a 2
2
−1
3) Абсцисса второй точки, попадающей на отрезок [– ; 0], равна –arccosa. Для
объяснения этого достаточно вспомнить, что cosx=cos(–x).
4) Все остальные абсциссы точек пересечения получаются из этих двух
добавлением к ним чисел вида 2 n, где n .

9.

Таким образом, все корни в этом случае можно записать в виде совокупности:
arccos a 2 n, n Z;;
x
arccos a 2 k , k Z/.
1
2
arccos a 2 3
y
Масштаб :3
3
2
2
arccos a 0 arccos a
2
2
−1
Или, принято эти две записи объединять в одну:
x arccos a 2 m, m Z/.
2
arccos a 2
x

10.

III случай: a= –1; 0 или 1.
Эти три значения – особые! Для них общая формула корней, выведенная нами в
предыдущем случае не годится. Проследите самостоятельно за выводом в
каждом отдельном случае.
y
Масштаб :3
1 y=1
2
2
y=0
0
3
2
3
2
2 x
2
y=–1 −1
cos x 1 x 2 n, n Z..
cos x 0 x
t, t Z..
2
cos x 1 x 2 r, r Z..
Запомните эти
три особых
случая!

11.

Решение уравнения
2
tgx=a исследуйте самостоятельно:
y
a
arc tga 2
3
2
2 4
arctga
1
2
0
−1
arctga
4
x a rc tga n, n Z/.
3
2
arctga
x
2

12.

Решение уравнения
сtgx=a исследуйте самостоятельно:
y
a
1
2
arc ctga 2
3
2
arcctga
2
4
0
2
3
4
arcctga
−1
Масштаб :3
x a rc ctga n, n Z/.
3
2
arcctga
x
2

13.

Решение любых тригонометрических уравнений сводится к решению
рассмотренных выше простейших тригонометрических уравнений. Для этого
применяются тождественные преобразования, изученные Вами ранее: различные
тригонометрические формулы, различные способы решения алгебраических
уравнений, формулы сокращенного умножения и т.д..
Итак, запомним:
k
sin x a x 1 arcsin a k , k Z
cos x a x arccos a 2 n , n Z
tgx a x arctga p, p Z
ctgx a x arcctga l, l Z
a 1;1 ,
1,0,1 " î ńî áű ĺ " ň î ÷ęč !
a R