ВЫНУЖЛЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ.
СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
СЛУЧАЙ МАЛОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
СЛУЧАЙ МАЛОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
СЛУЧАЙ МАЛОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
СЛУЧАЙ СИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
СЛУЧАЙ СИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (без учета сопротивления среды)
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
243.58K
Category: physicsphysics

Вынужленные колебания, затухающие колебания

1. ВЫНУЖЛЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ, ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ.

ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
ДИНАМИКА
ЛЕКЦИЯ 3

2. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

Начало отсчета – в положении
равновесия
lO
0
F
FC
x
l
F c l cx
l
FC x
Запишем ДУ движения точки
m x F FC m x cx x
ДУ свободных затухающих
колебаний
x 2bx k x 0
b / 2m k 2 c / m
2
2
Затухающие колебания

3. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

x 2bx k x 0
2
b / 2m k c / m
2
1. Случай малого сопротивления b k
bt
x e (C1 sin k1t C2 cos k1t )
bt
x Ae sin( k1t )
v x
Ae
bt
3
Затухающие колебания
( b sin( k1t ) k1 cos(k1t ))

4. СЛУЧАЙ МАЛОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Используем начальные условия
x(0) x0
v(0) v 0
x0 A sin
v0 A( b sin k1 cos )
Получим постоянные интегрирования
A x (v 0 bx0 ) / k
2
0
2
2
1
tg x0 k1 /( v 0 bx0 )
k1 k 2 b 2
частота колебаний
T1 2 / k1 2 / k 2 b 2
период колебаний
4
Затухающие колебания

5. СЛУЧАЙ МАЛОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

x
T1
x Ae
bt
x1
x3
x2
t2
t1
t3
t
x Ae bt
A1 Ae
bt
- экспоненциальный закон убывания амплитуды колебаний
по времени
5
Затухающие колебания

6. СЛУЧАЙ МАЛОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

Выясним, как меняется амплитуда колебаний за один период
x n Ae
btn
sin( k1t n )
x n 1 Ae
btn 1
sin( k1t n 1 )
t n 1 t n T1
с учетом
получим
x n 1 / x n e
bT1
Амплитуда колебаний будет убывать по геометрической
прогрессии
e
bT1
bT1
- декремент затухания
- логарифмический декремент затухания
Декремент затухания показывает, во сколько раз
уменьшается амплитуда колебаний за один период
6
Затухающие колебания

7. СЛУЧАЙ СИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

k c/m
b / 2m
2
x 2bx k x 0
2
b k
Общее решение уравнения
x C1e
q1t
C2 e
q2 t
q1 b b k , q2 b b k
q1 0 q2 0
2
2
2
2
- апериодическое движение точки, не является типично
колебательным, соответствует достаточно быстрому
затуханию по времени
7
Затухающие колебания

8. СЛУЧАЙ СИЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

x
x
а)
x
б)
в)
x
m
x0
x0
t
x0 0, v0 0
8
Затухающие колебания
x0
t
x0 0, v 0 0
t
x0 0, v0 0

9. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (без учета сопротивления среды)

Q Q0 sin pt - вынуждающая сила
p - частота
Q0 - амплитуда,
Уравнение движения
m x cx Q0 sin pt
Q0
c
x x
sin pt
m
m
ДУ вынужденных колебаний (без учета
сопротивления)
x k x p0 sin pt
2
9
Вынужденные колебания
p0 Q0 / m

10. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

x k x p0 sin pt
2
Это неоднородное уравнение и его решение можно записать
x x1 x2
x1
-общее решение однородного уравнения
(с нулевой правой частью)
x1 A sin( kt )
x2
- частное решение полного уравнения
x2 B sin pt
Подставляя частное решение в ДУ, получим
p 2 B sin pt k 2 B sin pt p0 sin pt
10
Вынужденные колебания

11. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

p B sin pt k B sin pt p0 sin pt
2
2
Это равенство должно выполнятся для любого t
B p0 /( k p )
B(k p ) p0
2
Для случая
2
2
2
p k
x 2 ( p 0 /( k p )) sin pt
2
2
Общее решение
x A sin( kt ) ( p0 /( k p )) sin pt
2
11
Вынужденные колебания
2

12. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Явление резонанса наступает когда собственная частота
колебаний совпадает с частотой возмущающей силы.
k p
Подставим частное решение полного уравнения
x2 Ct cos pt
в уравнение
x k x p0 sin pt
2
x2 ( p0 / 2 p)t cos pt
или
x2 ( p0 / 2 p)t sin( pt / 2)
- сдвиг по фазе между вынужденными колебаниями и
возмущающей силой равен / 2
- максимальному значению возмущающей силы соответствует
положение статического равновесия и наоборот
12
Вынужденные колебания

13. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

x
p k
x p0t / 2 p
t
x k 2 x p0 sin pt
x p0t / 2 p
Общее решение
x A sin( kt ) ( p0 / 2 p)t cos pt
При резонансе происходит линейный по времени
неограниченный рост амплитуды.
13
Вынужденные колебания
English     Русский Rules