През_4

1. Векторная алгебра

Основные понятия

2. Основные понятия

Математическая величина
Скалярная величина
Векторная величина
(характеризуется численным
значением)
(Характеризуется численным
значением и направлением)

3. Основные понятия

• Определение 1.
• Вектором называется отрезок,
имеющий определенную длину и
направление.
В
А
Обозначения:
a , b,
a
b
• Определение 2.
• Модулем вектора (длиной вектора)
называется длина отрезка :
a AB
AB ,...

4. Основные понятия

0 - вектор, у которого начало и конец совпадают.
0 0
• Определение 3.
Коллинеарными называются векторы, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых.
Определение 4.
b
a
c
Обозначение:
b a c
Углом между векторами
называется наименьший угол,
на который надо повернуть
один из векторов, чтобы их
направления совпали.
a
b

5. Основные понятия

• Определение 5.
Два вектора называются равными, если
они коллинеарные, имеют одинаковую длину
и одинаковое направление.
a
b
a b
Следствие.
При параллельном переносе получаются равные векторы.

6. Основные понятия

• Определение 6.
a
Два вектора называются противоположными, если
они коллинеарные, имеют одинаковую длину
и противоположное направление.
b a
b a
• Определение 7.
Компланарными называются векторы,
если они лежат в одной плоскости или
на параллельных плоскостях.
Замечание. Два вектора всегда компланарны.
a
b
c

7. Операции с векторами

• Сумма векторов.
a
a b b
• Определение 1 (правило треугольника).
Пусть начало второго вектора совпадает с концом первого.
Тогда вектор, соединяющий начало первого вектора
с концом второго, называется суммой этих векторов.

8. Операции с векторами

• Сумма векторов.
a
a b b
• Определение 2 (правило параллелограмма).
Пусть начала первого и второго векторов совпадают.
Построим на этих векторах параллелограмм.
Тогда вектор, совпадающий с диагональю, проходящей
через общее начало, называется суммой этих векторов.

9. Операции с векторами

• Разность векторов.
• Определение 1.
a b называется
• такой вектор c,что сумма b c a
Разностью векторов
Определение 2.
a
Пусть начала первого и второго векторов
c a b
b
совпадают.
Тогда разностью векторов называется
вектор, соединяющий их концы
и направленный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

10. Операции с векторами

• Произведение вектора на число.
• Определение.
a на число называется
Произведением вектора
вектор a
коллинеарный вектору
равный по модулю a ,
направленный при
a
,
a,
0 в ту же сторону, что и a,
и в противоположную сторону, если 0.

11. Операции с векторами

• Пример.
Задан вектор
Построение :
a . Построить векторы
2a
a
a
1
1
2a, a, a .
2
2
1
a
2
a
• Теорема.
1
a
2
a 0. Векторы b и a коллинеарны тогда и только тогда,
Пусть
когда найдется такая постоянная
, что b a
b a b a

12. Основные свойства операций

• 1. a b b a
• 2. ( a b) c a (b c )
• 3. a ( a ) 0
• 4. ( a b) a b
• 5. ( 1 2 )a 1 a 2 a
• 6. ( 1 2 )a 1 ( 2 a )
..

13. Разложение векторов

• Теорема 1.
a и b - неколлинеарные,
Пусть векторы
векторы
Тогда найдутся такие постоянные
что
Такое разложение единственное.
a, b, c - компланарные.
c a b
и ,

14. Разложение векторов

• Теорема 2.
a, b, c - некомпланарные.
• Тогда найдутся такие постоянные , ,,
Пусть векторы
что любой вектор
в виде
(разложить по векторам
Такое разложение единственное.
d можно записать
d a b c
a, b, c ).

15. Разложение векторов

• Разложение векторов по ортам.
• Определение 1.
a называется вектор a
o
,
Ортом вектора
имеющий единичную длину и то же направление,
что и вектор
a
a.
o
a

16. Разложение векторов

• Рассмотрим прямоугольную систему координат.
z
i , j, k
Векторы
-единичные (орты),
направленные по осям x, y, z (соответственно)
k
i
0
Определение 2.
j
y
x
• Теорема 3.
(i, j , k )
Тройка векторов
называется
ортонормированным базисом
в пространстве.
d можно разложить по
ортонормированному базису (i , j , k ) :
d
x
i
y
j
z
k
• Такое разложение единственное.
В пространстве любой вектор

17. Разложение векторов

Определение 3.
Коэффициенты x, y, z разложения
d xi y j z k
называются прямоугольными координатами
вектора
Частный случай.
d : d x, y, z
d расположен на координатной плоскости хоу,
• то разложение будет иметь вид
d xi y j
Если вектор
Коэффициенты х, у называются прямоугольными координатами
вектора на плоскости :
d x, y

18. Проекции вектора

• Рассмотрим вектор M 1M и ось
2
M2
M1
0
x1
• Определение.
x2
Проекцией вектора M 1M 2 на ось
называется
разность проекций конца M 2 и начала M 1 вектора на эту ось;
Пр M 1M 2 x2 x1

19. Проекции вектора

• Свойства проекций.
• 1. Пр (a b) Пр a Пр b
• 2. Пр ( a ) Пр a
• 3. Пр a a cos ,
a
где угол между a и
• 4. Связь координат вектора и проекций на оси.
d xi y j
d p q Пр х d i Пр у d j
Пусть вектор d на плоскости имеет разложение:
у
q
d
j
0
i
p
х
x Пр х d
y Пр у d

20. Проекции вектора

• В пространстве:
d x, y, z Пр х d , Пр у d , Пр z d
• Следствие.
Если вектор M 1 M задан двумя точками,
2
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) - начало, M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) - конец,
то
M 1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z 2 z1

21. Действия с векторами в координатной форме

• Сумма и разность векторов,
• произведение вектора на число.
Пусть
Тогда
a x1 , y1 , z1 и b x2 , y2 , z 2
a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2
2. a x1 , y1 , z1
1.
Модуль вектора
2
1
2
1
a x y z
x y z
1
1
1
Орт вектора a
,
,
a a a
o
2
1

22. Действия с векторами в координатной форме

Необходимое и достаточное условие коллинеарности
векторов, заданных в координатной форме.
Два ненулевых вектора коллинеарны
тогда и только тогда, когда
соответствующие координаты пропорциональны.
Пусть a x , y , z
1
1 1 и b x2 , y 2 , z 2
Тогда
x1
y1
z1
a b
x2
y2
z2

23. Скалярное произведение

• Определение.
Скалярным произведением двух векторов
называется число, равное произведению модулей векторов
на косинус угла между ними.
a b a b cos
a
b
Обозначения : a b ab ( a, b)
• Физический смысл.
M1
F
M2
A F M 1M 2
Пусть материальная точка
под действием силы F
перемещается из положения M 1
в положение M 2

24. Скалярное произведение

Работа силы по перемещению материальной точки равна
скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
• Свойства скалярного произведения.
a b b a
• 2. ( a ) b ( a b)
• 1.
• 3.
a (b c) a b a c
• 4. a b a Прa b b Прb a
• 5. Следствия из формулы 4 :
Прb a
a b
b
Прa b
a b
a

25. Скалярное произведение

• 5. cos
• 6.
2
a a
a b
a b
2
2
(a a a)
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.
• 7. Необходимое и достаточное условие
перпендикулярности векторов.
Два ненулевых вектора перпендикулярны
тогда и только тогда, когда
их скалярное произведение равно нулю:
a b a b 0
Определение
перпендикулярных
векторов:
90°

26. Скалярное произведение

• Скалярное произведение векторов,
• заданных в координатной форме.
a x1 , y1 , z1 и b x2 , y2 , z 2
Пусть
Тогда
Скалярное произведение векторов равно
сумме произведений соответствующих координат.
Условие перпендикулярности векторов
в координатной форме :
a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2
a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0

27. Векторное произведение

• Ориентированные тройки векторов.
c
Рассмотрим три упорядоченных
некомпланарных вектора
a, b, c
b
Определение 1.
a
Упорядоченная тройка векторов a, b, c
имеет правую ориентацию, когда
смотришь с конца третьего вектора и
кратчайший поворот от первого вектора
ко второму происходит против часовой
стрелки.

28. Векторное произведение

Поменяем порядок векторов
c
a и b : b, a , c
Изменится ориентация тройки.
Определение 2.
b
a
Пример.
Упорядоченная тройка векторов
имеет левую ориентацию, когда
смотришь с конца третьего вектора и
кратчайший поворот от первого вектора
ко второму происходит по часовой стрелке.
z
i , j, k
Тройка векторов
имеет правую ориентацию.
k
Система координат х, у, z
имеет правую ориентацию.
i
x
0
j
y

29. Векторное произведение

• Определение 3.
Векторным произведением двух векторов a и
называется третий вектор a b ,
a b
удовлетворяющий трем условиям :
1.
a b a b sin
a b a и a b b
2.
3. Тройка векторов a, b, a b
имеет правую ориентацию.
b
Обозначения :
a b [ a, b]
b
a

30. Векторное произведение

• Физический смысл.
M (F )
A
А
В
F
Пусть к твердому телу,
закрепленному в точке А,
приложена в точке
F В сила
Момент силы F , приложенной
в точке В, относительно точки А
равен векторному произведению
вектора
AB и силы F :
M A ( F ) AB F

31. Векторное произведение

• Пример.
i , j, k
Рассмотрим три вектора
Найти всевозможные попарные векторные произведения
этих векторов.
Решение.
z
1. i j k
2. i k j
3.
i i j j k k 0
k
i
x
0
ый
2 мн.
j
y
4.
1 мн.
i
j
i
j
k
0
k
j
k
0
i
ый
k
j
i
0

32. Векторное произведение

• Свойства векторного произведения.
• 1. a b b a
• 2. ( a ) b ( a b)
• 3. a (b c ) a b a c
• 4. Геометрический смысл .
Модуль векторного произведения двух векторов
численно равен площади параллелограмма,
построенного на этих векторах:
a b S
b
a

33. Векторное произведение

• 5. Необходимое и достаточное условие
коллинеарности двух векторов.
Два ненулевых вектора коллинеарны
тогда и только тогда, когда их векторное
произведение равно нулевому вектору:
a b a b 0
• 6. a a 0
a
b

34. Векторное произведение

• Векторное произведение векторов,
• заданных в координатной форме.
Пусть
Тогда
a x1 , y1 , z1 и b x2 , y2 , z 2
i j k
a b x1 y1 z1
x2 y 2 z 2
y1 z1
x1 z1
x1 y1
a b y z i x z j x y k
2 2
2 2
2 2

35. Смешанное произведение

• Определение.
Смешанным произведением трех векторов
называется векторное произведение первых двух
векторов, умноженное скалярно на третий вектор:
abc ( a b) c
abc (a, b, c)
Обозначения:
Замечание.
Результат смешанного произведения трех векторов
является скалярной величиной.

36. Смешанное произведение

• Свойства смешанного произведения векторов.
• 1.
abc a (b c)
• 2. Если поменять местами два соседних сомножителя,
то изменится только знак произведения:
abc b a c a cb cb a
• 3. Циклическая перестановка сомножителей
c
не меняет значение смешанного произведения:
abc bc a c ab
a
b

37. Смешанное произведение

• 4. Геометрический смысл.
Модуль смешанного произведения трех векторов
равен объему параллелепипеда, построенного
на этих векторах :
abc Vпараллелепипеда
Знак смешанного произведения определяет
ориентацию тройки векторов :
если
c
b
a
abc 0, то тройка a, b, c имеет правую ориентацию;
если abc 0, то тройка a, b, c имеет левую ориентацию.

38. Смешанное произведение

• 5. Необходимое и достаточное условие
компланарности трех векторов.
Три ненулевых вектора компланарны
тогда и только тогда, когда смешанное
произведение этих векторов равно нулю.
Смешанное произведение векторов,
заданных в координатной форме.
Пусть
a x1 , y1 , z1
b x2 , y2 , z 2
c x3 , y3 , z3
Тогда
x1 y1 z1
a b c x2 y 2 z 2
x3 y3 z3