797.00K

Category: $mathematics$ mathematics

Векторная алгебра. Понятия и определения

1.

Пример . Решить систему
x1 2 x2 3x3 x4 0,
x1 x2 x3 2 x4 4,
x 5 x 5 x 4 x 4.
2
3
4
1
1

2.

1
2 3
1
A 1 1 1
1
1
2
2 .
5 5 4
3
1 3 1
1 1 1 0,
1 1
1
1 5 4
5
5
1 2 1
1 1 2 0,
1
5
4
0,
2
1 2 3
1 1 1 0.
1
5
5
2

3.

1
2
1 1
1
1 2 3 0.
rA 2.
2 3 1
B 1 1 1
1
2
0
2
4
( 1)
5 5 4 4
rA rB 2
3

4.

Ранг матрицы r=2 меньше числа
неизвестных n=4, поэтому система имеет
бесконечное множество решений
x1 2 x2 3x3 x4 ,
x
x
4
x
2
x
.
3
4
1 2
4

5.

x1
x2
3x3 x4
4 x3 2 x4
2
1
3x3 x4 8 2 x3 4 x4
3
3
5 x3 3x4 8 8 5
x3 x4 ,
3
3 3
1
3x3 x4
1 4 x3 2 x4
4 x3 2 x4 3x3 x4
3
3
4 2 x3 3 x4
4 2
x3 x4 .
3
3 3
5
где x3 и x4 -любые числа.

6. Пример. Решить систему уравнений

2 x 2 y z 3,
4 x 5 z 19,
2 x y z 7
с помощью теоремы Крамера и с помощью
обратной матрицы
6

7. Решение (с помощью теоремы Крамера).

2 2 1
D 4 0 5
2 1 1
2 1
1 2
4 5
3 2 2 1
0 1 1
2 1
4 5
2 1 6 0 1 1 14 12 0 14 2
D 0.
7

8.

3 2 1
Dx 19 0 5
7
1
1
3 0 1 2 5 7 1 19 1 1 0 7 3 5 1 2 19 1
70 19 15 38 51 53 2;
2 3 1
Dy 4 19 5
2
7
1
2 19 1 3 5 2 4 7 1 1 19 2 3 4 1 2 5 7
38 30 28 38 12 70 68 10 82 4;
8

9. Проверка:

2 2
3
Dz 4 0 19
2 1 7
2 0 7 2 19 2 3 4 1 3 0 2 2 4 7 1 19 2
76 12 56 38 88 94 6.
x
2
2
1;
Проверка:
y
4
2
2;
z
2 1 2 2 3 3,
4 1 5 3 19,
2 1 2 3 7.
6
2
3.
9

10. С помощью обратной матрицы

2 2 1
X
A 4 0
5
2 1
1
x
3
y
B 19
z
7
D( A) 0
1
X A B
10

11.

1
A
D( A)
1
A11
A21
A31
A12
A22
A32 ,
A13
A23
A33
2 2 1
D( A) 4 0
5
2 1
1
2
11

A11 1
2
A21 1
3
A31 1
0 5
5;
1 1
2 1
1 1
4
2 1
0 5
3;
A
A13 1
A22 1
2 1
A23 1
2 2
14; A33 1
2 2
10; A32 1
5
1
A12 1
4 5
6;
2 1
3
1
6
2
4
5
3
4
2
4
2 1
2 1
4 5
10
4;
4
5
6
4 0
4;
2 1
2;
2 1
8.
4 0
5
2,5
1,5
14 3
2
7 .
1
4
8
2
12

13.

2,5 1,5 5
1
X A B
3
3
2
7
19
2
1
4
7
7,5 28,5 35
1
9 38 49
2 .
6 19 28
3
x 1, y 2, z 3.
13

14.

ГЛАВА 2.
Основы векторной алгебры
§1. Основные понятия и определения
Вектором называется направленный
отрезок, началом которого является точка A,
а концом точка B . Он обозначается
AB или a.
B
a
A
14

15.

Длиной или модулем вектора ABназывается длина отрезка AB.
Она
обозначается
символом AB или | a |.
Cвободными называются векторы, которые можно переносить параллельно самим
себе и откладывать от произвольной точки.
Нулевым называется вектор, начало и
конец которого совпадают.
Нулевой вектор
обозначается символом 0 , он не имеет
определенного направления, его длина
равна нулю.
Единичным вектором называется такой
вектор, длина которого равна единице в
15
выбранном масштабе.

16.

Сонаправлеными (противоположно
направлеными) называются векторы a и b
если их направления совпадают
(противоположны).
a b
a b
Вектор, противоположный
вектору a
обозначают (- a ).
a называется вектор e
Ортом вектора
единичной длины, сонаправленный
с
вектором a .
16

17.

Коллинеарными называются векторы
параллельные одной и той же прямой.
Компланарными называются векторы
параллельные одной и той же
плоскости.
Равными называются векторы,
имеющие одинаковую длину и
одинаковое направление.
17

18.

Углом между векторами a и b называется
наименьший угол между лучами, на которых
лежат векторы OA и OB .
a
^
a ,b
0 a , b 180
^
О
А
b
B
Ортогональными называются векторы
a
если a ^, b = 90 .
bи
18
,

19.

c
b
a
правая тройка
c
a
b
левая тройка
Правой называется упорядоченная
тройка
ненулевых векторов a , b , c , если
кратчайший
поворот от вектора a к
вектору b виден из конца вектора c
происходящим против часовой стрелки. В
противном случае тройка называется
19
левой.

20.

§2. Линейные операции c векторами
1. Сложение векторов
Суммой векторов
и b называется
вектор c, проведенный
из начала вектора a
концу вектора b , при условии,
что конец
вектора
и начало вектора b совпадают
(«правило треугольника»).
a
a
a
b
c
20

21.

a
b
Если на векторах
и
построить
параллелограмм, то начало вектора c
совпадет с общим началом векторов a и b,
а конец с противоположной вершиной
параллелограмма («правило
параллелограмма»).
a
c
b
21

22.

Свойства операции сложения векторов:
1.
a b = b a
( коммутативность),
(a b ) c = a (b c )
2.
(ассоциативность),
3.
4.
a 0 = a
a ( a ) = 0
(поглощение нуля),
.
22

23.

2. Вычитание векторов
Разностью векторов a и b называется
вектор d равный
сумме вектора
и
вектора b , противоположного вектору b .
a
d a b = a ( b )
b
d
a
23

24.

3. Умножение вектора на число.
aна
Произведением ненулевого вектора
число
0называется вектор,
длина
которого равна
| | при
| aэтом
|
сонаправленный с
, если
>и 0
a
противоположно направленный, если <
Если 0 или a 0 , то
произведение считается нулевым
вектором. Произведение вектора
a на
число обозначается a .
24
0.

25.

Свойства операции умножения вектора
на число:
1. ( )a = a a
(дистрибутивность относительно сложения
чисел),
2. ( a b ) = a b
(дистрибутивность относительно сложения
векторов),
3. ( a ) = ( )a (ассоциативность
относительно числового множителя),
4.
1 a = a
(умножение на единицу).
25

26.

Проекции вектора
Осью называется прямая, на
которой выбрано одно из двух
возможных направлений,
зафиксирована точка, называемая
началом, и выбран масштаб для
измерения длин. Выбранное
направление на оси удобно
задавать с помощью орта e .
26

27.

a
B
l
B
A
Проекцией вектора a на ось
называется число
где
AB
AB ', AB ' l
Ï ðl a
AB ', AB ' l
l
,
длина соответствующего отрезка.
AB ' Прl a e
27

28.

a
Проекцией вектора
на ненулевой
вектор b называется проекция a
на любую
ось, одинаково направленную
с b . Она обозначается Пр a .
b
Прb a =| a | cos(a , b )
a
^
l
b
28

29.

Свойства проекций:
1. Проекция вектора на ось равна
произведению длины вектора на косинус
угла между вектором и осью , т.е.
Пр l a =| a | cos ,
2. При умножении вектора на число, его
проекция также умножится на это число,т.е.
Пр l ( a ) = Пр l a
3. Проекция суммы векторов равна сумме
проекций, т.е.
Пр l ( a b ) = Пр l a Пр l b
29

30.

§3. Линейная зависимость и линейная
независимость векторов
Линейной комбинацией
системы
векторов e1 , e2 ,....., en называется сумма
произведений
этих
элементов
на
произвольные числа 1 , 2 ,..., n
1e1 2 e2 ... n en .
Числа 1 , 2 ,..., n называются
коэффициентами линейной
комбинации.
30

31.

Линейно зависимой называется
такая
система векторов e1 , e2 ,....., en , в
которой из равенства нулю их линейной
комбинации
1e1 2e2 ... nen 0
следует существование хотя бы одного
ненулевого коэффициента 1 , 2 ,..., n
данной комбинации.
Линейно независимой называется
система векторов, в которой указанное
равенство возможно только в
единственном случае, когда 1 = 2 = ... = n =31.0

32.

Теорема (Необходимое и достаточное
условие линейной зависимости системы
векторов). Система векторов линейно
зависима, тогда и только тогда, когда хотя
бы один из них может быть представлен в
виде линейной комбинации остальных .
Доказательство:
1)Необходимость.
1e1 2e2 ... nen 0,
n
2
1 0, e1 e2 ... en .
1
1
32

33.

2) Достаточность.
e1 2 e2 3e3 ... n en ,
( 1) e1 2e2 ... n en 0, 1 0.
Следствия :
1. Два вектора линейно зависимы тогда и
только тогда, когда они коллинеарны.
2. Три вектора линейно зависимы тогда и
только тогда, когда они компланарны.
3. Четыре и более вектора всегда линейно
зависимы.
33

34.

Базисом на плоскости называется
упорядоченная
пара
неколлинеарных
векторов e ,e , отложенных от одной
1 2
точки.
Базисом в пространстве называется
упорядоченная тройка
некомпланарных векторов e1 , e2 , e3 ,
отложенных от одной точки.
34

35.

Теорема . Если на плоскости выбран
некоторый базис e1 ,e2 , то каждый вектор
этой плоскости может быть однозначно
представлен в виде: a = xe1 ye2 .
N
O
A
a
e2
e1
a
M
a = OA = OM ON ,
OM = xe1 , ON = ye2 , a = xe1 ye2 .
35

36.

Пусть a = xe1 ye2
a = x1e1 y1e2 ,
и
0 = ( x1 x)e1 ( y1 y )e2 .
При x1 x 0 получим противоречие
y1 y
e1 =
e2 .
x1 x
Это означает, что x = x1и y = y1.
36

37.

a
Разложением
вектора
по
базису
векторов e1 ,e2 называется запись вектора в
виде
a = xe1 ye2
Координатами вектора a в данном базисе
называются коэффициенты x, y в этом
разложении.
a = ( x, y )
Ортонормированным называется базис,
все образующие векторы которого взаимно
перпендикулярны и имеют единичную
длину.
37

38.

§4. Декартова прямоугольная система
координат
Z
M
z
x
X
k
j
O
i
y
Y
38

39.

Декартовыми прямоугольными
координатами вектора a относительно
данной системы координат OXYZ назовем
упорядоченную
тройку
чисел
x = Пр a, y = Пр a , z = Пр a.
i
a = xi yj zk ,
j
k
a = ( x, y, z ).
Декартовыми прямоугольными
координатами точки М относительно
данной системы координат OXYZ
называются координаты её радиус-вектора
OM ,так что
OM = xi yj zk , M ( x, y, z ).
39

40.

Линейные операции над векторами в
координатной форме
Теорема (Координатный признак
равенства
векторов). Пусть a = ( x1; y1; z1,)
а b = ( x2 ; y2 ; z 2 ) . В фиксированной
системе координат векторы равны тогда и
только тогда, когда равны их координаты,
т.е.
1
2
x x ,
y1 y2 ,
z1 z2 .
40

41.

Теорема (О линейных операциях над
векторами в координатной форме).
1. Координаты суммы векторов равны
сумме соответствующих координат
слагаемых, т.е.
a b = ( x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 ).
2. Координаты произведения вектора на
число k равны произведению
соответствующих координат на это число,
т.е.
ka = (kx1 ; ky1 ; kz1 ).
41

42.

Доказательство.
1)
a b = ( x1i y1 j z1k )
( x2 i y2 j z2 k ) = ( x1 x2 )i
( y1 y 2 ) j ( z1 z2 )k .
Если
a b = ( x; y; z )
, то
x = x1 x2 ,
y = y1 y2 ,
z = z1 z2 .
42

43.

2)
ka = k ( x1i y1 j z1k ) =
(kx1 )i (ky1 ) j (kz1 )k .
Если
ka ( x; y; z )
, то
x = kx1 ,
y = ky1 ,
z = kz1.
43

44.

Следствие 1 (Выражение координат
вектора через координаты его конца и
начала). Пусть координаты точек A( xA , y A , z A )
и B( xB , yB , zB ), тогда
AB = ( xB x A ; yB y A ; z B z A ).
Следствие 2 (Координатный признак
коллинеарности
векторов).
Вектор
a = ( x1; y1; z1 ) коллинеарен
вектору b = ( x2 ; y2 ; z 2 ) тогда и только тогда,
когда выполнено равенство
x1
y1
z1
=
=
.
x2
y2
z2
44

45.

Пример . Пусть A(1; 3; 0) , B( 4; 2; 1).
Найти координаты вектора AB .
AB = ( 4 1; 2 ( 3); 1 0) = ( 5; 5; 1).
Пример. При каком значении
коллинеарны
векторы
a = (1,0,
и b = (3,0,5) .
1
= = 5/3.
3 5
)
45

46.

§5. Скалярное произведение
векторов
Скалярным
ненулевых
произведением
векторов a и b называется число,
равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними
^
a b | a | | b | cos(a b )
Если a = 0
или b = 0 то
a b 0
,
46

47.

Свойства скалярного произведения
Свойство 1. (Признак ортогональности).
Для того чтобы два ненулевых вектора
были ортогональны, необходимо и
достаточно, чтобы их скалярное
произведение равнялось нулю.
a b a b = 0.
47

48.

Доказательство. Необходимость.
^
Если a b, то a b = /2 , и тогда
a b =| a | | b | cos( ) =| a | | b | 0 = 0.
2
Достаточность. Если a b = ,0
,
то | a | | b | cos(a , b ) = 0 . Но | a | 0
^
и | b | 0 , поэтому cos (a , b ) = 0 и
^
a , b = /2.
^
48

49.

Свойство 2. Угол между двумя
ненулевыми векторами острый (тупой),
если их скалярное произведение
положительно (отрицательно).
Свойство 3. Скалярное произведение
двух векторов равно произведению длины
одного вектора на проекцию второго на
направление первого, т.е.
a b a Прa b b Прb a
49

50.

Свойство 4. Скалярное произведение
вектора самого на себя равно квадрату
длины вектора:
2
2
a a a
=| a | .
a b = b a.
Свойство 5. (переместительное)
Свойство 6. (распределительное)
a (b c ) = a b a c .
Свойство 7. (сочетательное относительно
скалярного множителя)
a ( b ) = ( a b ).
50

51.

Пример. Упростить выражение.
(2a b ) (a b ) =
2
2
2a b a 2a b b =
2
2
2a a b b .
.
51

52.

§6. Вычисление длин векторов и углов
между ними.
Теорема (Выражение скалярного
произведения через координаты
сомножителей).
Пусть даны
декартовы координаты
векторов a = ( x1 , y1 , z1 ) и b = ( x2 , y2 , z 2. )
Тогда
a b = x1 x2 y1 y2 z1 z2 .
52

53.

Доказательство.
a = x1i y1 j z1k , b = x2 i y2 j z2 k
(i j = 0,
2
2
j k = 0, i k = 0,
i =| i | = 1,
2
2
j =| j | = 1,
2
2
k =| k | = 1)
a b ( x1i y1 j z1k ) ( x2 i y2 j z 2 k )
2
x1 x2 i x1 y2 i j x1 z 2 i k y1 x2 j i
2
y1 y2 j1 y1 z 2 j k z1 x2 k i z1 y2 k j
2
z1 z 2 k x1 x2 y1 y2 z1 z 2 .
53

54.

Следствие 1 (Вычисление длины
вектора).
Если a = ( x ; y ; z ), то
2
2
2
2
| a |= a = x y z .
Следствие 2 (Вычисление косинуса угла
между векторами).
a b
cos( a , b ) =
=
| a | |b |
x1 x2 y1 y2 z1 z2
^
x y
2
1
2
1
z
2
1
x2 y2 z2
2
2
2
.
54

55.

Следствие 3 (Координатный признак
ортогональности).
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 = 0.
Следствие 4 (Вычисление проекции
одного вектора на другой).
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2
Ï ðb a =
=
.
2
2
2
|b |
x2 y2 z2
55

56.

Пример1 . Найти угол между диагоналями параллелограмма,
построенного
на
векторах a (2,1,0 ) и b (0, 2,1) .
Решение.
c a b
d b a
a
c
d
b
c (2 0, 1 ( 2), 0 1) (2, 1, 1),
d (0 2, 2 1, 1 0) ( 2, 3, 1),
cos
2( 2) ( 1)( 3) 1 1
2 ( 1) 1
2
2
2
( 2) ( 3) 1
2
2
2
0.
56

57.

Пример 2. Даны координаты вершин
треугольника А(1,2,3), В(3,3,0), С(4,6,3).
Определить проекцию стороны АВ на
основание треугольника АС.
B
AB (2,1, 3), AC (3, 4, 0)
AB AC = AC Пр AC AB,
Пр AC AB
AB AC
A
C
AC
AB AC 2 3 1 4 ( 3) 0 10,
10
2
2
2
2.
| AC |= 3 4 0 = 5, Пр AC AB
5
57

58.

Пример 3. Найти вектор c ( x, y, z)
длиной
ортогональный
векторам
6,
a = (3,4, 2) и b = (1,3,1),
образующий тупой угол с осью OZ.
3 x 4 y 2 z 0,
x 3 y z 0,
x 2 y 2 z 2 6.
58

59.

3x 4 y 2 z 0, 3x 4 z 2 z 0,
3x 9 y 3z 0. 3x 6 z,
5 y 5 z 0,
x 2 z.
y z.
4 z z z 6 , 6 z 6,
2
z 1, z 1, z 1,
2
2
2
c = ( 2,1, 1).
2
59

60.

§7. Векторное произведение векторов
a
Векторным произведением вектора
на
неколлинеарный ему вектор
называется
b
третий вектор c a b , такой что:
а)
б)
c
| c |=| a | | b | sin(a , b ),
^
c a, c b
в) тройка векторов
a,b ,c
правая.
a
b
60

61.

Свойства векторного произведения:
1. (Признак
коллинеарности)
a b = 0 a || b .
2.
3.
4.
5.
a S
S =| a b | .
a b = (b a ).
b
a (b c ) = a b a c .
a ( b ) = ( a b ).
61

62.

Пример. Упростить, используя свойства
векторного произведения.
(a b ) (a b ) =
a a a b b a b b =
0 a b ( a b ) 0 = 2a b .
62

63.

Теорема (Вычисление векторного
произведения в координатной форме).
Пусть
декартовы
координаты
векторов
a = ( x1; y1; z1 ) и b = ( x2 ; y2 ; z2 ) ,тогда
a b = ( y1 z2 z1 y2 ; z1 x2 x1 z2 , x1 y2 x2 y1 ).
Доказательство. Учтем, что
a = x1i y1 j z1k ,
b x2 i y2 j z2 k .
63

64.

a b = ( x1i y1 j z1k ) ( x2 i y2 j z2 k )
= x1 x2 (i i ) x1 y2 (i j ) x1 z2 (i k )
y1 x2 ( j i ) y1 y2 ( j j ) y1 z2 ( j k )
z1 x2 (k i ) z1 y2 (k j ) z1 z 2 (k k )
= ( y1 z2 z1 y2 ; z1x2 x1z2 , x1 y2 x2 y1 ).
i i = j j = k k = 0,
^
| i j |=| i | | j | sin(i , j ) = 1 1sin( /2) = 1,
i j i , i j j , поэтому
i j = k , j k = i , k i = j.
64

65.

a b = x1
j
k
y1
z1 .
x2
y2
z2
i
65

66.

Пример. Даны координаты вершин
треугольника А(2,-1,3), В(1,1,1), С(5,-2,5).
Найти площадь треугольника.
Решение.
B
AB ( 1, 2, 2) , AC (3, 1, 2)
A
C
AB AC = 1 2 2 = (4 2) i j ( 2 6) k (1 6)
3 1 2
2 i 4 j 5 k.
i
j
k
AB AC 2 4 5 45 3 5
2
S ABD
2
2
1
3 5
2
•(ед
)
= AB AC =
2
2
66

67.

§8. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением
упорядоченной тройки векторов a , b , c
называют число, равное скалярному
произведению вектора
a на векторное
произведение b c .
a (b c )
Если хотя бы один из векторов
равен нулю, то
a, b , c
a (b c ) 0
67