Векторная алгебра. Основные понятия

1. Векторная алгебра

Основные понятия

2. Основные понятия

Математическая величина
Скалярная величина
Векторная величина
(характеризуется численным
значением)
(Характеризуется численным
значением и направлением)

3. Основные понятия

• Определение 1.
• Вектором называется отрезок,
имеющий определенную длину и
направление.
В
А
Обозначения:
a, b,
a
b
• Определение 2.
• Модулем вектора (длиной вектора)
называется длина отрезка :
a AB
AB ,...

4. Основные понятия

0 - вектор, у которого начало и конец совпадают.
0 0
• Определение 3.
Коллинеарными называются векторы, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых.
Определение 4.
b
a
c
Обозначение:
b a c
Углом между векторами
называется наименьший угол,
на который надо повернуть
один из векторов, чтобы их
направления совпали.
a
b

5. Основные понятия

• Определение 5.
Два вектора называются равными, если
они коллинеарные, имеют одинаковую длину
и одинаковое направление.
a
b
a b
Следствие.
При параллельном переносе получаются равные векторы.

6. Основные понятия

• Определение 6.
Два вектора называются противоположными, если
они коллинеарные, имеют одинаковую длину
и противоположное направление.
a
b a
b a
• Определение 7.
Компланарными называются векторы,
если они лежат в одной плоскости или
на параллельных плоскостях.
Замечание. Два вектора всегда компланарны.
a
b
c

7. Операции с векторами

• Сумма векторов.
a
a b b
• Определение 1 (правило треугольника).
Пусть начало второго вектора совпадает с концом первого.
Тогда вектор, соединяющий начало первого вектора
с концом второго, называется суммой этих векторов.

8. Операции с векторами

• Сумма векторов.
a
a b b
• Определение 2 (правило параллелограмма).
Пусть начала первого и второго векторов совпадают.
Построим на этих векторах параллелограмм.
Тогда вектор, совпадающий с диагональю, проходящей
через общее начало, называется суммой этих векторов.

9. Операции с векторами

• Разность векторов.
• Определение 1.
a b называется
такой вектор c,что сумма b c a
Разностью векторов
Определение 2.
a
Пусть начала первого и второго векторов
c a b
совпадают.
Тогда разностью векторов называется
b
вектор, соединяющий их концы
и направленный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

10. Операции с векторами

• Произведение вектора на число.
• Определение.
Произведением вектора
вектор
коллинеарный вектору
равный по модулю
направленный при
,
a a
a
на число
называется
a,
a
,
0 в ту же сторону, что и a ,
и в противоположную сторону, если 0.

11. Операции с векторами

• Пример.
Задан вектор
Построение :
a . Построить векторы
2a
a
a
1
1
2a, a, a .
2
2
1
a
2
a
1
a
2
• Теорема.
a 0.
b и a коллинеарны тогда и только тогда,
когда найдется такая постоянная , что b a
Пусть
Векторы
b a b a

12. Основные свойства операций

1. a b b a
2. (a b) c a (b c)
3. a ( a) 0
4. (a b) a b
5. ( 1 2 )a 1 a 2 a
6. ( 1 2 )a 1 ( 2 a)
Самостоятельно доказать каждое свойство..

13. Разложение векторов

• Теорема 1.
a и b - неколлинеарные,
a, b, c - компланарные.
Пусть векторы
векторы
Тогда найдутся такие постоянные
что
Такое разложение единственное.
Доказательство.
и
,
c a b
p
q
c p q
a
p a
c
b
q b
c a b

14. Разложение векторов

Единственность.
Предположим :
Пусть
1
c a b
c 1 a 1 b
(хотя бы одно из неравенств
1 и 1 выполнено)
0 ( 1 )a ( 1 )b
( 1 )
b
a
( 1 )
b a
(противоречие)

15. Разложение векторов

• Теорема 2.
a , b, c
Пусть векторы
- некомпланарные.
Тогда найдутся такие постоянные
что любой вектор
в виде
(разложить по векторам
Такое разложение единственное.
, ,,
d можно записать
d a b c
a, b, c ).
Д.з. Самостоятельно построить
чертеж и получить разложение

16. Разложение векторов

• Разложение векторов по ортам.
• Определение 1.
a
называется вектор
o
,
Ортом вектора
имеющий единичную длину и то же направление,
что и вектор
a.
a
a
o
a

17. Разложение векторов

• Рассмотрим прямоугольную систему координат.
z
i , j, k
Векторы
-единичные (орты),
направленные по осям x, y, z (соответственно)
k
i
0
Определение 2.
j
y
x
(i, j , k )
Тройка векторов
называется
ортонормированным базисом
в пространстве.
• Теорема 3.
В пространстве любой вектор
можно разложить по
(i, j , k ) : d xi y j z k
Такое разложение единственное.
ортонормированному базису
d

18. Разложение векторов

• Определение 3.
Коэффициенты x, y, z разложения
называются прямоугольными координатами
вектора
d xi y j z k
d
:
d x, y, z
• Частный случай.
d
Если вектор
расположен на координатной плоскости хоу,
то разложение будет иметь вид
Коэффициенты х, у называются прямоугольными координатами
вектора на плоскости :
d xi y j
d x, y

19. Проекции вектора

• Рассмотрим вектор
M 1M 2 и ось
M2
M1
0
x1
• Определение.
x2
M 1M 2 на ось называется
разность проекций конца M 2 и начала M 1 вектора на эту ось;
Проекцией вектора
Пр M1M 2 x2 x1

20. Проекции вектора

• Свойства проекций.
• 1. Пр (a b) Пр a Пр b
• 2. Пр ( a) Пр a
• 3. Пр a a cos ,
a
где угол между a и
• 4. Связь координат вектора и проекций на оси.
Пусть вектор
d
d xi y j
d p q Прх d i Пру d j
на плоскости имеет разложение:
у
q
d
j
0
i
х
p
x Прх d
y Пру d

21. Проекции вектора

• В пространстве:
d x, y, z Прх d , Пру d , Прz d
• Следствие.
Если вектор
M 1M 2задан двумя точками,
M1 ( x1, y1, z1 ) - начало, M 2 ( x2 , y2 , z2 ) - конец,
то
M1M 2 x2 x1 , y2 y1 , z2 z1

22. Действия с векторами в координатной форме

• Сумма и разность векторов,
• произведение вектора на число.
Пусть
Тогда
a x1 , y1 , z1 и b x2 , y2 , z2
a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2
2. a x , y , z
1
1
1
1.
Модуль вектора
a x y z
2
1
Орт вектора
2
1
x y z
a 1 , 1, 1
a a a
o
2
1

23. Действия с векторами в координатной форме

Необходимое и достаточное условие коллинеарности
векторов, заданных в координатной форме.
Два ненулевых вектора коллинеарны
тогда и только тогда, когда
соответствующие координаты пропорциональны.
Пусть a x , y , z
1
1 1 и b x2 , y 2 , z 2
Тогда
Доказательство.
x1
y1
z1
a b
x2
y2
z2
x1
y1
z1
x1 x2
a b a b y1 y2
x
y
z
z
z
2
2
2
2
1

24. Доказательство

Рассмотрим три вектора :
a
a b
b
( a b) c
b c
a ,b и c
c
a (b c)