С•ђВ†а-2

1. СЕМИНАР №2 ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1

2.

1. Основные понятия
Пусть М некоторое множество функций.
Функционалом
J
=
J(y)
называется
переменная
величина,
зависящая от функции у(х), если каждой функции у(х) М по
некоторому правилу поставлено в соответствие число.
Множество М функций у(х), на котором определен функционал J(y),
называется его областью определения.
2

3.

В приложениях часто встречаются функционалы вида
b
J ( y ) F ( x , y( x ), y ( x ))dx
(1)
a
где F(х, у, р) заданная дважды непрерывно дифференцируемая
функция для
x [a, b]
и
( y , p ) R(2y , p )
плоскости с
декартовыми прямоугольными координатами у, р.
Будем обозначать через С1[а, b] пространство всех непрерывно
дифференцируемых на
[а, b] функций с нормой
y max y( x ) max y ( x ) .
x [ a ,b ]
x [ a ,b ]
3

4.

Говорят, что функция yˆ ( x ) M , дает (слабый локальный) минимум
функционала J(y), если число > 0 такое, что y(х) М , для
которого
y( x ) yˆ ( x )
выполнено неравенство J ( y ) J ( yˆ ).
4

5.

Слабый экстремум
J ( yˆ ) J ( y )
при
y( x ) yˆ ( x )
y ( x ) yˆ ( x ) .
5

6.

Говорят,
что
функция
yˆ ( x ) M ,
дает (слабый локальный)
максимум функционала J(y), если число > 0 такое, что
у(х) М, для которого
y( x ) yˆ ( x )
выполнено неравенство
J ( y ) J ( yˆ ).
6

7.

2. Простейшая вариационная задача
Простейшей вариационной задачей называется задача нахождения
слабого
локального
непрерывно
экстремума
дифференцируемых
функционала
(1)
на
функций
[a,
b]
в
классе
у(х),
удовлетворяющих граничным условиям
у(а)= A, y(b)= В .
(2)
Если функция yˆ ( x ) является решением простейшей вариационной
задачи, то она на [a, b] необходимо удовлетворяет уравнению
Эйлера:
F d F
0
y dx y
(3)
d
(здесь
полная производная по х).
dx
Экстремалью называется всякое решение уравнения Эйлера (3).
7

8.

3. Задача со свободным концом (концами)
Пусть функционал (1) рассматривается при граничном условии
у(а)=А.
(4)
Тогда говорят, что х = а закрепленный конец, х = b свободный
конец.
Задачей со свободным концом называется задача нахождения
слабого
локального
непрерывно
экстремума
дифференцируемых
функционала
(1)
на
функций
[a,
b]
в
классе
у(х),
удовлетворяющих условию (4).
8

9.

Если функция
yˆ ( x )
является решением задачи со свободным
концом, то она на [a, b] необходимо удовлетворяет уравнению
Эйлера (3) и граничному условию при х = b вида
F
(b, yˆ (b ), yˆ (b )) 0.
y
(5)
9

10.

Если функционал J(y) рассматривается при граничном условии
y(b) = В,
то х = а свободный конец. Функция
(6)
yˆ ( x )
доставляющая J(y)
слабый локальный экстремум, должна удовлетворять уравнению
Эйлера (3), граничному условию (6) и граничному условию при
х = а:
F
(a , yˆ (a ), yˆ (a )) 0.
y
(7)
Если граничных условий не ставится, то есть оба конца свободные,
то
должна удовлетворять уравнению Эйлера (3) и граничным
условиям (5), (7).
10

11.

4. Решение уравнения Эйлера
Линейным
дифференциальным
переменными
коэффициентами
уравнением
n-го
порядка
с
называется
дифференциальное
уравнение вида
a0 ( x ) y ( n ) a1 ( x ) y ( n 1) ... a n 1 ( x ) y a n ( x ) y f ( x ),
(8)
где х [a, b] независимая переменная; y(x) искомая функция;
f(x), а0(х), a1(x), ..., an(x) заданные на [a, b] функции, причем x:
x [a, b] функция а0(х) 0.
11

12.

Уравнением
Эйлера
называется
линейное
дифференциальное
уравнение с переменными коэффициентами вида аk(х) = bkхп k,
k 0, n, где b0, b1, …, bn заданные числа, причем
b0 0:
b0 x n y ( n ) b1 x n 1 y ( n 1) ... bn 1 xy bn y f ( x ).
(9)
Заменой х = et (t = ln х) (9) сводится к линейному дифференциальному
уравнению с постоянными коэффициентами.
12

13.

Действительно,
dy dy dt 1 dy
dy
e t
,
dx dt dx x dt
dt
2
d dy
t d t dy
2 t d y dy
e
e
e 2 .
2
dx dx
dt
dt
dt
dx
dt
d2y
13

14.

Допустим, что k-я производная имеет вид
k
k 1
d
y
d
y
dy
kt
e
1 k 1 ... k 1
k
k
dt
dx
dt
dt
dk y
1 d k y
d k 1 y
dy
k
1 k 1 ... k 1
,
k
dt
x dt
dt
где 1, 2, …, k 1 постоянные.
14

15.

Тогда (k+1)-я производная будет равна
d k 1 y
k
d d k y
d
d
t
y
e
dt dx k
dx k 1 dx dx k
k 1
k
d
y
d
y
dy
( k 1) t
e
( 1 k ) k ... k k 1
dt k 1
dt
dt
d k 1 y
1 d k 1 y
dk y
dy
k 1
( 1 k ) k ... k k 1
.
k 1
k 1
dt
dx
x
dt
dt
15

16.

Так как в преобразованном уравнении, в случае отсутствия
кратных корней характеристического уравнения, решения имеют
вид у = е t, следовательно, в исходном уравнении они имеют вид
у = х . Поэтому можно непосредственно подставить его в уравнение
Эйлера (9). Поскольку
x
k d
k
x
dx
k
( 1)...( k 1)
при k , то характеристическое уравнение имеет вид
b0 ( 1) …( n + 1) +… + bп 2 ( 1) + bn 1 + bп = 0 .
(10)
16

17.

Каждому простому корню уравнения (10) соответствует частное
решение
однородного
уравнения
Эйлера
х ;
каждому
действительному корню кратности l (l 2) соответствует l линейно
независимых частных решений однородного уравнения Эйлера
х , х ln x, ..., х (ln x)l 1. В случае невещественных корней надо
учитывать, что
хi = еi lnx,
т. о., паре комплексно сопряженных
корней a ± i уравнения (10) будут соответствовать два решения
однородного уравнения Эйлера
ха cos( ln x ) и х sin( ln x).
17

18.

5. Примеры решения задач
Пример 1.
Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал
9 y 2 15 yy
4
y
2
dx , y(1) 2, y(4) 5.
2( y )
2
x
x
x
x
1
4
18

19.

Решение
Отметим, что x > 0.
Составляем уравнение Эйлера F y
F ( x , y , y )
9 y2
x
2
d
F y 0 :
dx
15 yy
4y
2( y ) 2
,
x
x x
15 y
4
Fy 2
,
x
x x
x
18 y
15 y
F y
4 y ,
x
d
15 y x 15 y
F y
4 y
2
dx
x
d
15 y 15 y
F y
2 4 y .
dx
x
x
19

20.

Уравнение Эйлера (3) имеет вид
15 y
4
15 y 15 y
2 4 y 0
2
x
x
x x
x
x
18 y
или
4
3y
2 4 y
0
x x
x
(1)
или
4 x 2 y 3 y 4 x .
20

21.

Для его решения применяем стандартный алгоритм:
1. Решения однородного линейного уравнения ищем в виде у = х .
y = x 1, y = ( 1) x 2.
Характеристическое уравнение 4 ( 1) 3 = 0 или
4 2 4 3 = 0.
(2 )2 2(2 ) 3 = 0, (2 3)(2 + 1) = 0.
1
2
3
2
Его корни 1 , 2 .
Соответствующее общее решение однородного уравнения
y0 C1 x
1
2 C
2
3
x2.
21

22.

2. Частное решение (случай нерезонансный) ищем в виде yч a x
yч
a
2 x
, yч
a
. Подставляя yч , yч , yч
4x x
4x2
3a x 4 x
уравнение Эйлера, получаем
4x x
в неоднородное
или 4а = 4, т. е.
а = 1, yч x .
22

23.

3. Общее решение неоднородного уравнения Эйлера
y
C1
C2 x x x .
x
Постоянные С1 и С2 находим из граничных условий
C1 C 2 1 2,
C1
2 8C 2 2 5;
C1 C 2 1,
C1 16C 2 14;
или
откуда получаем
15С2 = 15, т. е. С2 = 1, С1 = 2.
Стационарная точка
yˆ
2
x x x.
x
23

24.

4. Исследование на экстремум.
Пусть h C1[1; 4], h(1) = h(4) = 0. Рассмотрим J J ( yˆ h) J ( yˆ )
Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой
кривой ŷ , то линейная по h часть приращения функционала J ( yˆ ) 0.
В
этом
можно
убедиться
непосредственно
используя
прием
интегрирования по частям, граничные условия и уравнение Эйлера
(на экстремали оно обращается в ноль).
24

25.

4
9( yˆ h) 2 15( yˆ h)( yˆ h )
4( yˆ h)
2
J
2( yˆ h )
2
x
x x
x
1
9 yˆ 2 15 yˆ yˆ
4 yˆ
2
2( yˆ )
dx
2
x
x x
x
4
18 yˆ h 15( yˆ h yˆ h)
4h
2 2 yˆ h
2
x
x x
1 x
9h2 15hh
2
2
2( h ) dx .
x
x
25

26.

Отметим, что
4
18 yˆ 15 yˆ
4
15 yˆ
h
ˆ dx
h
4
y
2
x
x
x x
x
1
18 yˆ 15 yˆ
4 15 yˆ
h 2
h
4 yˆ dx
x
x
x
x
x
1
4
4
3 yˆ
4
h dx 0.
4 yˆ
2
x x
1 x
26

27.

Здесь интегрировали по частям с учетом того, что h(1) = h(4) = 0,
также учли, что
15 yˆ 15 yˆ
15 yˆ
4 yˆ
4 yˆ .
2
x
x
x
Подынтегральное
выражение
в
последнем
интеграле
есть
уравнение Эйлера (1).
27

28.

Следовательно,
4
2
9
h
15
h
h
2
J
2( h ) dx .
x2
x
1
Интегрируя по частям и учитывая равенства h(1) = h(4) = 0, находим
2 4
4
2
2
15h
15
h
15
h
15hh
15 2
dx
dx .
dx
dh
2
2
x
2x
2x
2x
2x
1
1
1
1
1
4
4
4
28

29.

Таким образом,
4
4
2
2
2
9
h
15
h
3
h
2
2
J
2( h ) dx
2( h ) dx 0,
2
x2
2x2
2
x
1
1
т. е. минимум.
2
4
x
y 3 y 4 x ,
Ответ: Уравнение Эйлера:
yˆ
C
2
x x x , y 1 C 2 x x x , минимум
x
x
29

30.

Пример 2.
Найти экстремали и исследовать на экстремум функционал,
определив знак приращения
e2
1 2
ln x
2
J ( y ) x( y ) y 2 y 2
y dx , y(1) 0.
x
x
1
30

31.

Решение
Задача со свободным концом. Составляем уравнение Эйлера
Fy
d
F y 0.
dx
1 2
ln x
F ( x , y , y ) x( y ) y 2 y 2
y,
x
x
2
2
ln x
Fy y 2
,
x
x
F y 2 xy 2,
d
F y 2 y 2 xy ,
dx
31

32.

Уравнение Эйлера имеет вид
2
ln x
y 2
2 y 2 xy 0
x
x
(1)
х2у + ху' у = ln x.
(1 )
или
32

33.

Для его решения применяем стандартный алгоритм:
1. Заменой х = еt
(t
дифференциальному
= ln x) сведем (1 ) к линейному
уравнению
с
постоянными
коэффициентами:
y t
y x y t t x
,
x
y ( y )
y t
y
y y t
y
t t t x tt x t tt
y xx
x
x
x2
x2
x2
x x
и
y tt y t y t y t
или
y tt y t .
(2 )
33

34.

2. Решения однородного линейного уравнения (2 ) ищем в виде
у = е t.
Характеристическое уравнение 2 1 = 0.
Его корни 1,2 = ±1.
Соответствующее решение однородного уравнения
у0 = С1е t +С2еt.
34

35.

3. Частное решение (случай нерезонансный) ищем в виде yч = at + b.
Подставляя уч в неоднородное уравнение Эйлера, получаем
at b = t, т.е. a = 1, b = 0, и уч = t.
35

36.

4. Общее решение неоднородного уравнения Эйлера
у = С1е t +С2еt + t
или, возвращаясь к независимой переменной х:
1
y C1 C 2 x ln x .
x
Постоянные С1 и С2 находим из следующих краевых условий:
y(1) 0, F y
x e
2
0.
36

37.

Таким образом,
F y
x e
2
4
C 2 e 2 ) 2 0
2 ( 2 xy 2) x e 2 2e ( C1e
C1 C 2 0,
2e 2C1 2e 2C 2 2 2 0;
или
C1 C 2 0,
C1 e 4C 2 0;
и
откуда
получаем
(l + e2)С2 = 0, т.е. С2 = 0, С1 = 0 .
Стационарная точка
yˆ ln x.
37

38.

5. Исследование на экстремум.
Пусть h C1[l, е2], h(l) = 0
Рассмотрим
и
F y
x e 2
0.
J J ( yˆ h) J ( yˆ ).
38

39.

Поскольку уравнение Эйлера выполняется на рассматриваемой
кривой
J ( yˆ ) 0.
ŷ ,
то линейная по h часть приращения функционала
В этом можно убедиться непосредственно используя
прием интегрирования по частям, граничные условия и уравнение
Эйлера.
39

40.

e2
J
1
ln x
(yˆ h)
x(yˆ h )2 (yˆ h)2 2(yˆ h ) 2
x
x
1
1
ln x
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
x( y ) ( y ) 2 y 2
yˆ dx
x
x
e2
2
ln x
1
2 xyˆ h yˆ h 2h 2
h x(h )2 h 2 dx .
x
x
x
1
40

41.

Отметим, что
e2
2
ln x
ˆ
h yˆ 2
h
2
x
y
2
dx
x
x
1
e2
2
ln x
3
ˆ
ˆ
ˆ
h y 2
h
(
2
x
y
2
)
dx
(
h
(
2
x
y
2
))
1
x
x
1
e2
1
ln x
2 ˆ
h y 2
2 xyˆ 2yˆ dx 0.
x
x
41

42.

0,
Здесь интегрировали по частям с учетом того, что
Fy
подынтегральное
интеграле
выражение
в
последнем
x e
2
есть
уравнение Эйлера (1).
42

43.

Следовательно,
e2
J
1
1 2
2
x
(
h
)
h dx 0
x
x 1, e 2 x 0 ,
т. е. минимум.
2
Ответ: Уравнение Эйлера: x y xy y ln x ,
yˆ ln x , y C 2 x
C1
ln x ,
x
минимум.
43

44.

Пример 3.
Найти стационарные точки функционала
2
4
J ( y ) x ( y ) 2 8 x 2 y 16 xy y 2 dx .
x
1
44

45.

Решение
Задача без ограничений. Составляем уравнение Эйлера
F ( x , y , y ) x ( y ) 2 8 x 2 y 16 xy
F y 16 x
4 2
y ;
x
8
d
y; F y 2 xy 8 x 2 ;
F y 2 y 2 xy 16 x
x
dx
45

46.

Уравнение Эйлера:
Fy
4
16 x y y xy 0
x
(1)
d
F y 0 :
dx
(1 )
x 2 y xy 4 y 16 x 2 .
Для его решения применяем стандартный алгоритм:
46

47.

1. Решения однородного линейного уравнения ищем в виде
у = х .
Характеристическое уравнение 2 +4 = 0.
Его корни 1 = 2i, 2 = 2i.
Соответствующее решение однородного уравнения
у0 = С1 sin(2 ln х) + С2 cos(2 ln х).
2. Частное решение ищем в виде уч = ах2: уч = 2х2.
47

48.

3. Общее решение неоднородного уравнения Эйлера
у = С1 sin(2 ln х) + С2 cos(2 In х) + 2x2.
Постоянные С1 и С2 находим из следующих краевых условий:
F y
x 1
Так как
0, F y
x 2
0.
F y 2 xy 8 x 2 4C1 cos( 2 ln x ) 4C 2 sin( 2 ln x ), то
4C1 0,
4C 2 sin( 2 ln 2) 0,
т.е.
С1= 0, С2 = 0 .
Стационарная точка
yˆ 2 x 2 .
48

49.

4. Исследование на экстремум.
Пусть h C1[l, 2], F y
Рассмотрим
x 1
0
и
J J ( yˆ h) J ( yˆ ).
F y
x 2
0.
Поскольку уравнение Эйлера
выполняется на рассматриваемой кривой
часть приращения функционала
В
этом
можно
убедиться
ŷ ,
то линейная по h
J ( yˆ ) 0.
непосредственно
используя
прием
интегрирования по частям, граничные условия и уравнение Эйлера
(на экстремали оно обращается в ноль).
49

50.

2
4
J x ( yˆ h ) 2 8 x 2 ( yˆ h ) 16( yˆ h) x ( yˆ h) 2
x
1
4
2
2
2
x ( yˆ ) 8 x yˆ 16 yˆ x ( yˆ ) dx
x
2
4
4
2 xyˆ h 8 x 2 h 16hx 2 yˆ h x ( h ) 2 h2 dx .
x
x
1
50

51.

Отметим, что
2
8 yˆ
h 16
h ( 2 xyˆ 8 x 2 ) dx
x
1
2
8 yˆ
2
ˆ
h 16 x
h( 2 xyˆ 8 x 2 )
h( 2 xy 8 x ) dx h( 2 xyˆ 8 x 2 )
x
1
x
2
x
1
2
4 yˆ
2h 16 x
yˆ xyˆ dx 0.
x
1
Учли, что Fy 0.
51

52.

Здесь интегрировали по частям, подынтегральное выражение в
последнем интеграле есть уравнение Эйлера (1).
Следовательно,
2
4 2
2
J x ( h ) h dx .
x
1
52

53.

Так как полагая h = x , получаем
2
2
4
J 2 x ( x 1 ) 2 x 2 dx 2 ( 2 4) x 2 1dx ,
x
1
1
т. е. J > 0 при > 2 и J < 0 при < 2, то нет ни минимума, ни
максимума.
Ответ: уравнение Эйлера:
стационарная точка
x 2 y xy 4 y 16 x 2 ,
yˆ 2 x 2 ,
y C1 sin( 2 ln x ) C 2 cos( 2 ln x ) 2 x 2 ,
экстремума нет.
53

54. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

54