Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
Элементы интегрального исчисления
Первообразная и неопределенный интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Неопределенный интеграл
Свойства интеграла, вытекающие из определения
Свойства интеграла, вытекающие из определения
Свойства интеграла
Таблица неопределенных интегралов
Таблица неопределенных интегралов
Интегрирование по частям
Метод замены переменной
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Задача о вычислении площади плоской фигуры
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Определенный интеграл
Теорема о существовании определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Свойства определенного интеграла
Теорема о среднем
Вычисление определенного интеграла
Вычисление площадей
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Уравнение первого порядка
Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка
Постановка задачи Коши
Уравнение с разделяющимися переменными
Уравнение с разделяющимися переменными
Однородные уравнения
Линейные уравнения 1-го порядка
Уравнение Бернулли
Основные понятия
Задача Коши для уравнения 2-го порядка
Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка
Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка
Линейные однородные уравнения
Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка
751.00K
Category: mathematicsmathematics

Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

1. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

2. Элементы интегрального исчисления

1.Первообразная и неопределенный
интеграл
2.Основные приемы вычисления
неопределенных интегралов
3.Интегрирование функций, содержащих
квадратный трехчлен
4.Интегрирование дробно-рациональных
функций
5.Интегрирование тригонометрических
функций
6.Интегрирование некоторых
иррациональностей

3. Первообразная и неопределенный интеграл

Если F x - первообразная функции f x ,
то F x C , где C - некоторая постоянная,
также является первообразной функции
f x .
Если F x есть какая-либо первообразная
функции f x , то всякая функция вида
Ф x F x C также является
первообразной функции f x и всякая
первообразная представима в таком виде.

4. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение.
Совокупность
всех
первообразных
функции
f x ,
определенных
на
некотором
промежутке,
называется
неопределенным
интегралом
от
функции f x на этом промежутке и
обозначается f x dx .

5. Неопределенный интеграл

Определение 1.
Функция F (x ) называется первообразной для f (x) в
если F (x ) определена в ( a, b) и F ( x) f ( x)
Пример.
f ( x) sin x F ( x) cos x
( так как ( cos x) sin x )
(a, b),

6. Неопределенный интеграл


Теорема (о разности первообразных).
F ( x) и G( x) первообразные
для f ( x) в (a, b)
F ( x) G( x) const
Доказательство.
Обозначим через ( x) F ( x) G( x) .
Пусть x1 , x2 ( a, b ) .
Функция (x ) удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа:
а) ( x) непрерывна на x1 , x2
б) ( x) F ( x) G ( x)
f ( x) f ( x) 0 в ( x1 , x2 )
( x2 ) ( x1 ) (c)(x2 x1 ) 0
( x2 ) ( x1 ) x1 , x2 (a, b)
( x) const .

7. Неопределенный интеграл


Следствие.
Пусть F (x ) первообразная для f (x) в (
Тогда любая другая первообразная
Определение 2.
Неопределенным интегралом от f (x)
называется совокупность всех первообразных
G ( x ) F ( x) C
a , b. ) .
f ( x)dx F ( x) C
Графическая иллюстрация
y
Пример.
y F (x)
sin xdx cos x C
a
b
x

8. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Производная неопределенного
интеграла равна подынтегральной
функции, а его дифференциалподынтегральному выражению.
Действительно:
1.( f ( x)dx) ( F ( x) C ) F ( x) f ( x);
2.d f ( x)dx ( f ( x)dx) dx f ( x)dx.

9. Свойства интеграла, вытекающие из определения

Неопределенный интеграл от
дифференциала непрерывно
дифференцируемой функции равен
самой этой функции с точностью до
постоянной:
3. d ( x) ( x)dx ( x) C ,
так как (x )
является первообразной
для (x).

10. Свойства интеграла

Сформулируем далее следующие свойства
неопределенного интеграла:
4.Если функции f1 x и f 2 x имеют
первообразные, то функция f1 x f 2 x
также имеет первообразную, причем
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

11. Таблица неопределенных интегралов

1. dx x C .
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
a 1
dx
3. ln x C .
x
x
a
4. a x dx
C .
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8. 2 ctgx C .
sin x
dx
9. 2 tgx C .
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x

12. Таблица неопределенных интегралов

11.
dx
arcsin x C .
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
a x
2
arcsin
2
x
C ..
a
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
19.
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .
20.
14.
15.
dx
dx
16.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x

13. Интегрирование по частям

Этот метод основан на формуле udv uv vdu .
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) x n sin xdx , где n 1,2...k ;
б) x n e x dx , где n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , где n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , где n 0, 1, 2,... k .
При вычислении интегралов а) и б) вводят
n 1
обозначения: x n u , тогда du nx dx , а, например
sin xdx dv ,тогда v cos x .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за u функцию
arctgx , ln x , а за dv берут x n dx .

14. Метод замены переменной

Пусть требуется найти f x dx , причем
непосредственно подобрать первообразную
для f x мы не можем, но нам известно, что
она существует. Часто удается найти
первообразную, введя новую переменную,
по формуле
f x dx f t t dt , где x t , а t - новая
переменная

15. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Решим задачу о вычислении площади
фигуры, ограниченной графиком
функции y f x, отрезками прямых
x a, x b и осью Ox.Такую фигуру
называют криволинейной трапецией
a
xi 1 xi
b

16. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Разобьем отрезок a, b на n частей
точками a x0 , x1, x2 ,..., xi 1, xi ,..., xn b .
При этом криволинейная трапеция разобьется
на n элементарных криволинейных
трапеций. Заменим каждую такую
криволинейную трапецию прямоугольником с
основанием xi xi xi 1 , где i 1,2,.., n и
высотой h f xi , где xi -произвольно
выбранная внутри отрезка xi 1, xi точка.

17. Задача о вычислении площади плоской фигуры

Площадь прямоугольника будет
равна Si f xi xi , а площадь
всей криволинейной фигуры
приблизительно будет равна
сумме площадей всех
прямоугольников:
n
n
i 1
i 1
S Si f xi xi .

18. Определенный интеграл

Определение.
n
Выражение f xi xi , где
i 1
xi xi xi 1 , называется
интегральной суммой функции f x
на отрезке a, b .

19. Определенный интеграл

Определение.
Если существует конечный
n
lim
f xi xi , не
max xi 0 i 1
зависящий ни от способа разбиения отрезка
a, b на части, ни от выбора точек xi xi 1 , xi ,
то этот предел называется определенным
интегралом функции f x на отрезке a, b и
b
обозначается f x dx .
a

20. Определенный интеграл

Замечание.
С геометрической точки зрения
b
при f x 0 f x dx равен
a
площади криволинейной
трапеции

21. Теорема о существовании определенного интеграла

Теорема.
Если функция f x непрерывна на
отрезке a, b , то
n
f xi xi
lim
max xi 0 i 1
существует и конечен, т.е.
b
существует и конечен f x dx .
a

22. Свойства определенного интеграла

a
1. f x dx 0 ;
a
b
2. dx b a ;
a
b
a
3. f x dx f x dx ;
a
b
b
4. f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
a
b
b
a
a

23. Свойства определенного интеграла

b
b
a
b
a
5. Kf x dx K f x dx ;
c
b
a
c
6. f x dx f x dx f x dx ;
a
b
7. f x dx 0 , если f x 0 .
a

24. Теорема о среднем

Если функция непрерывна на [ a, b],то
существует
такая точка [a, b],
b
что f ( x)dx f ( )(b a).
a
y f (x)
a
b

25. Вычисление определенного интеграла

Теорема.
Пусть F x - первообразная функции f x .
b
Тогда f x dx F b F a .
a
Эту формулу называют формулой
Ньютона-Лейбница, из которой следует,
что для вычисления определенного
интеграла необходимо найти
первообразную подынтегральной функции.

26. Вычисление площадей

Площадь фигуры в декартовых
координатах.
y
y f x
x
0
a
b
Площадь такой
фигуры, называемой
криволинейной
трапецией,
вычисляют по
b
формуле S f x dx .
a

27. Обыкновенные дифференциальные уравнения

28. Уравнение первого порядка

Функциональное уравнение
F(x,y,y ) = 0 или y = f(x,y), связывающее
между собой независимую
переменную, искомую функцию y(x) и
ее производную y (x), называется
дифференциальным уравнением
первого порядка.

29. Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка

Общим решением дифференциального
уравнения первого порядка называется
такая функция y = (x,C), которая при
любом значении параметра C является
решением этого дифференциального
уравнения.

30.

Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющее
общее решение как неявную функцию,
называется общим интегралом
дифференциального уравнения первого
порядка.

31. Постановка задачи Коши

Задача отыскания решения
дифференциального уравнения
,
y f ( x, y )
удовлетворяющего начальному условию
y y0 при x x0 , называется
задачей Коши для уравнения 1-го
порядка.

32. Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение
f ( x)dx g ( y )dy
называется уравнением с
разделенными переменными.

33. Уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение 1-го порядка
называется уравнением с разделяющимися
переменными, если оно имеет вид:
M1 ( x ) N1 ( y )dx M 2 ( x ) N 2 ( y )dy 0
.
Для решения уравнения делят обе его части
на произведение функций
N1 ( y)M 2 ( x)
,
а затем интегрируют.

34. Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого
порядка называется однородным, если
y
его можно привести к виду y = f ( )
x
или к виду M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0
где M ( x, y ) и N ( x , y ) – однородные
функции одного порядка .

35. Линейные уравнения 1-го порядка

Дифференциальное уравнение первого
порядка называется линейным, если оно
содержит y и y в первой степени, т.е.
имеет вид
y P( x ) y Q( x ) .
Решают такое уравнение с помощью
подстановки y=uv, где u и vвспомогательные неизвестные функции,
которые находят, подставляя в уравнение
вспомогательные функции и на одну из
функций налагают определенные условия.

36. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется
уравнение 1-го порядка, имеющее вид
m
y P( x ) y Q( x ) y,
где m 0 и m 1
Его, как и линейное уравнение решают
с помощью подстановки
y uv

37. Основные понятия

Уравнение 2-го порядка имеет вид
F(x,y,y ,y ) 0
Или
y f ( x, y , y )
Общим решением уравнения второго порядка
называется такая функция y ( x , c1 , c2 ) ,
которая при любых значениях параметров c1 ,c2
является решением этого уравнения.

38. Задача Коши для уравнения 2-го порядка

Задача Коши для уравнения 2го порядка
Если уравнение 2-го порядка разрешить
относительно второй производной, то для
такого уравнения имеет место задача: найти
решение уравнения y f ( x, y, y ) ,
удовлетворяющее начальным условиям:
y( x0 ) y0 и y ( x0 ) y 0
Эту задачу называют задачей Коши для
дифференциального уравнения 2-гопорядка.

39. Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка

Если в уравнении y f ( x, y, y )
функция f ( x, y, y ) и ее частные
производные по аргументам y и y
непрерывны в некоторой области,
содержащей точку ( x0 , y 0 , y 0 ) ,
то существует и притом единственное
решение y y (x ) этого уравнения,
удовлетворяющее условиям
y( x0 ) y0 и y ( x0 ) .y0

40. Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

Уравнения 2-го порядка,
допускающие понижение
Простейшее уравнение
2-го порядка
порядка
y f ( x ) решают двукратным
интегрированием.
Уравнение F ( x , y , y ) 0, не
содержащее явно у, решают с помощью
подстановки y p , y p
Уравнение F ( y, y , y ) 0, не
содержащее х, решают заменой
dp
y p ,
y . p
dy

41. Линейные однородные уравнения

Линейным однородным
дифференциальным уравнением
второго порядка называется уравнение
. y p( x ) y q( x ) y 0
Если все коэффициенты этого
уравнения постоянны, то уравнение
называется уравнением с постоянными
коэффициентами .

42. Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение k pk q 0 называется
характеристическим уравнением
линейного уравнения y py qy 0 .
Оно получается из ЛОУ заменой
соотстветствующей порядку
производной степенью k
.
2

43. Вывод формул общего решения ЛОУ 2-го порядка

Корни характеристического уравнения
k1, 2
p
2
p2
q
4
p2
Случай 1. Если
, то
q 0
4
характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня k1 k 2 R
В этом случае общее решение имеет вид
k1 x
k2 x
y C1e C 2 e .

44.

p2
q 0
4
Случай 2. Если
, то
характеристическое уравнение имеет
одинаковые корни k1 k 2 k
.
Частные решения ЛОУ выбираем так,
чтобы они были линейно независимыми:
kx
kx
y1 e
y 2 xe .
и
Общее решение ЛОУ 2-го порядка будет
kx
y
e
(C1 xC2 ) .
иметь вид

45.

2
p
q 0
Случай 3. Если
4
, то
характеристическое уравнение имеет два
комплексно-сопряженных корня
p
k1 i и k 2 i , где
2
2
p
и q
.
4
Общее решение ЛОУ 2-го порядка в
действительной форме можно записать
в виде y e x (C cos x C sin x)
1
2
English     Русский Rules