Практическое занятие №9
Тема. Основы дифференциального и интегрального исчисления при решении прикладных задач
1. Производная функции, основные понятия
Основные формулы дифференцирования
Производная сложной функции
Пример 1. Найти производную функции Решение.
Пример 2. Найти производную функции Решение.
2. Первообразная и неопределенный интеграл
Таблица основных неопределённых интегралов
Примеры:
3. Определенный интеграл, основные понятия
Формула Ньютона-Лейбница
174.14K
Category: mathematicsmathematics

Дифференциальное и интегральное исчисления при решении прикладных задач

1. Практическое занятие №9

Дистанционная форма обучения
Старший преподаватель кафедры математики НГМУ
Константиновская Наталья Валерьевна

2. Тема. Основы дифференциального и интегрального исчисления при решении прикладных задач

3. 1. Производная функции, основные понятия

Производной функции y f x в точке x0 называется предел отношения
приращения функции y к соответствующему приращению независимой
переменной (аргумента) x , когда x стремится к нулю:
y
f x0 x f x0
y lim
= lim
.
x 0 x
x 0
x
Функция, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка,
называется дифференцируемой на этом промежутке.

4.

Для производной функции y f x употребляются следующие обозначения
y («игрек штрих») или
f x («эф штрих от икс») или
dy
(«дэ игрек по дэ икс»).
dx
Операция нахождения производной называется дифференцированием
функции.

5. Основные формулы дифференцирования

6. Производная сложной функции

Если y f u , где u x , т.е. если y зависит от x через посредство
промежуточного аргумента u , то y называется сложной функцией от x .
Производная сложной функции равна произведению ее производной по
промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой
переменной: y f u u x .

7. Пример 1. Найти производную функции Решение.

Полагая, что 1 5x u и y u 4 , применяя правило дифференцирования
сложной функции, имеем:
y 4u 1 5 x 4 1 5 x 5 20 1 5 x .
3
3
3

8. Пример 2. Найти производную функции Решение.

9. 2. Первообразная и неопределенный интеграл

Первообразной для функции y f x называется такая функция F x , что
F x f x для всех x из области определения f x .
Неопределенным интегралом от функции f x называется совокупность
всех первообразных этой функции.
Неопределенный интеграл от функции f x обозначается f x dx .

10.

Если функция F x является одной из первообразных для функции f x , то
f x dx F x C .
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется
интегрированием этой функции.

11.

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f x
найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает
обратную задачу: найти функцию F x , зная ее производную (или
дифференциал). Искомую функцию F x называют первообразной функции
f x .

12. Таблица основных неопределённых интегралов

1.
2.
3.
4.
5.
6.
x 1
x dx 1 C, 1 .
dx
x ln x C
1 x
x
a
dx
a C , a 0, a 1
ln a
x
x
e dx e C
cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
dx
cos2 x tgx C
dx
8. 2 ctgx C
sin x
dx
x
9. 2 2 arcsin C
a
a x
dx
1
x
10. 2 2 arctg C
a x
a
a
dx
1
x a
C
11. 2 2 ln
x a
2a x a
dx
ln x x 2 a C
12. 2
x a
7.

13. Примеры:

14. 3. Определенный интеграл, основные понятия

Определенным интегралом от функции y f x на отрезке a; b называется
предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из
элементарных отрезков стремится к нулю:

15.

Числа a и b называют пределами интегрирования
( a - верхний предел, b -нижний предел интегрирования), а
отрезок a; b - называется отрезком интегрирования.
Функцию f x – называют подынтегральной функцией.

16.

Для любой функции y f x непрерывной на отрезке a; b , всегда существует
b
определенный интеграл f x dx .
a
Функция f x , для которой существует определенный интеграл, называется
интегрируемой на отрезке a; b .

17. Формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона–Лейбница связывает неопределенный и определенный
интегралы.
Если функция y f x непрерывна на отрезке a; b , а функция F x – какаялибо ее первообразная (т.е. F x f x ), то

18.

Эта формула сводит нахождение определенных интегралов к нахождению
неопределенных интегралов.
English     Русский Rules