Классификация и основные способы математического описания СУ

1. 1. Классификация и основные способы математического описания СУ

Основы автоматики и систем автоматического управления
С.-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ», кафедра Радиотехнических систем
1. Классификация и основные способы
математического описания СУ
2013

2. Обобщенная функциональная схема СУ

ЧЭ – чувствительный элемент;
ВУ – вычислительное устройство;
ИУ – исполнительное устройство;
ОУ – объект управления;
УУ – устройство управления;
G – задающее воздействие;
U – управляющее воздействие;
Y – состояние объекта управления;
F1 и F2 – возмущающие воздействия
СУ обязательно выполняет 4 функции:
- получение информации о задающем воздействии G;
- получение информации о состоянии объекта управления Y;
- анализ информации и выработка решения;
- исполнение решения.

3. Примеры радиотехнических СУ

- системы синхронизации (например, системы кадровой
и строчной синхронизации в телевизионной
аппаратуре);
- следящие измерители параметров радиосигнала и
координат объектов (например, измерители задержки
сигнала в радионавигационной аппаратуре, дальности,
угловых координат в радиолокационной аппаратуре);
- системы управления подвижными объектами
(например, радиотехнические системы автоматической
посадки летательных аппаратов)

4. Система автоподстройки частоты (АПЧ) генератора

А – антенна;
П – приемник;
ЧД – частотный дискриминатор;
У – усилитель;
В – варикап;
УГ – управляемый генератор
Система АПЧ является примером системы
Y G
автоматического регулирования (САР):

5. Классификация СУ радиотехнического назначения

- системы стабилизации (G=const) – например,
система стабилизации промежуточной частоты
приемника (требуется поддержание постоянной
частоты)
- системы программного управления
G – известная функция времени) – например,
система автоматической посадки ЛА (требуется
выполнение заложенной программно траектории
полета ЛА)
- следящие системы (G – неизвестная функция
времени) -- например, система автоматического
управления ЛА

6. Критерии качества работы СУ

- устойчивость (отсутствие автоколебаний)
- качество переходного процесса (малое время
нарастания обеспечивает быстродействие,
небольшое число волн перерегулирования
обеспечивает быстрый выход на установившийся
режим)
- точность (ошибка при воспроизведении
задающего воздействия заданного
функционального вида)
- Помехоустойчивость (возможность работать в
присутствии шумов / помех)

7. Описание СУ в частотной области

F ( p)
f (t )e pt dt L{ f (t )},
0
f(t) – функция времени (оригинал),
F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу
Достоинства:
- простота описания, возможность использования принципа
суперпозиции и других свойств преобразования Лапласа
Недостатки:
- возможность описания только систем с постоянными параметрами
- возможность описания только линейных систем
- возможность описания только систем с нулевыми начальными
условиями

8. Свойства преобразования Лапласа

1.
Линейность
L{a1 f1(t ) a2 f 2 (t )} a1L{ f1(t )} a2 L{ f 2 (t )} a1F1( p) a2 F2 ( p ),
2.
Дифференцирование
L{
3.
df (t )
} pF ( p) f (t0 ),
dt
Интегрирование
t
1
L{ f (t1)dt1} F ( p).
p
t
0
4.
Смещение во времени
L{ f (t τ)} e pτ F ( p).

9. Связь описаний СУ во временной и частотной области

1. Описание с помощью дифференциального уравнения
an
d n y (t )
bm
2.
dt
n
an 1
d m g (t )
dt m
d n 1 y (t )
dt
n 1
... a1
dy (t )
a0 y (t )
dt
d m 1g (t )
dg (t )
bm 1
... b1
b0 g (t ),
m 1
dt
dt
dy (t )
d n 1 y (t )
y (t0 ),
,...,
n 1
dt t t
dt
0
t t
Преобразование Лапласа
y ( p) (an p n an 1 p n 1 ... a1 p a0 )
g ( p) (bm p m bm 1 p m 1 ... b1 p b0 ),
3.
Передаточная функция
y( p) bm p m bm 1 p m 1 ... b1 p b0 C ( p)
W ( p)
.
n
n
1
g ( p) an p an 1 p
... a1 p a0 D( p)
0

10. Свойства передаточной функции СУ

1.
Физическая реализуемость СУ достигается при m n.
(порядок числителя не больше порядка знаменателя)
2.
Коэффициент усиления определяется как
b
W ( p ) p 0 0 K ,
a0
3.
Факторизация (разложение по нулям и полюсам)
b ( p q1)...( p qm )
W ( p) m
,
an ( p p1)...( p pn )
4.
Связь ПФ замкнутой и разомкнутой СУ
Wр ( p)
y ( p)
W ( p)
.
g ( p) 1 Wр ( p)

11. Частотные характеристики СУ

1.
Частотная передаточная функция системы получается
из передаточной функции W(p) заменой p=jω
W ( j ) W ( p) p j ,
2.
Алгебраическая и показательная форма ПФ СУ
W ( j ) P( ) jQ( ) W ( j ) e j ( ) ,
3.
Переход от алгебраической к показательной форме
W ( j ) P 2 ( ) Q 2 ( ),
4.
( ) arctg
Q( )
,
P( )
Переход от показательной к алгебраической форме
P( ) W ( j ) cos ( ),
Q( ) W ( j ) sin ( ),

12. Сравнительный анализ ЧХ СУ

1. Коэффициент усиления K
(точка пересечения
низкочастотной асимптоты
и оси ординат)
2. Частота среза ωср
Точка пересечения ЛАХ и
оси абсцисс
3. Запас устойчивости по
фазе γ
γ = 180 - |φ (ωср )|
γ > 0 – СУ устойчива
γ < 0 – СУ неустойчива

13. Сравнительный анализ переходных процессов в СУ

γ > 60 – монотонный
4.
Величина перерегулирования
п
5.
30 < γ < 60 – слабоколебательный
yм yу
yу
100%.
Время нарастания переходного процесса
ˆtн π .
ωср
γ < 30 – сильноколебательный
o
73
γ,
γ
73
,
σ̂п
o
0,
γ
73
.

14. Преобразования ПФ при соединении типовых звеньев СУ

1.
Последовательное
y ( p)
W ( p)
W1( p)W2 ( p).
g ( p)
2. Параллельное
W ( p)
y ( p)
W1( p) W2 ( p).
g ( p)
3. Включение в ООС
y ( p)
W1( p)
W ( p)
.
g ( p) 1 W1( p)W2 ( p)

15. Описание СУ во временной области

Пусть СУ описывается дифференциальным уравнением n-го порядка
d n y (t )
d n 1 y (t )
dy (t )
an 1
... a1
a0 y (t ) b0 g (t ),
n
n 1
dt
dt
dt
с начальными условиями
y (t0 ),
dy (t )
, ... ,
dt t t
0
d n 1 y (t )
dt n 1 t t
0
Перейдем к описанию в виде системы из n дифференциальных
уравнений 1-го порядка y1(t ) y (t ),
y2 (t )
dy1(t ) dy (t )
,
dt
dt
dy2 (t ) d 2 y (t )
y3 (t )
,
2
dt
dt
. . .
dyn 1(t ) d n 1 y (t )
yn (t )
.
n
1
dt
dt

16. Матричная форма описания в ПС

Система уравнений, описывающая СУ, может быть
приведена к виду
dY (t )
FY (t ) Kg (t ), Y (t0 ),
dt
Y (t ) [ y1(t ) y2 (t ) ... yn (t )]T -- вектор состояния системы
Y(t0) – состояние системы в момент времени t=t0
0
0
F
...
a0
... 0
0
1
... 0
...
...
... ...
a1 a2 ... an 1
1
0
0
0
K .
...
b0
y(t ) HY (t ). -- уравнение наблюдения

17. Пример: описание колебательного звена в ПС

1
Передаточная функция
Д.у. 2-го порядка
p 2T 2 2 pTξ 1
d 2 y (t )
dt 2
2ξ dy (t ) 1
1
y (t )
g (t ).
2
2
T dt
T
T
Компоненты вектора состояния СУ y1(t ) y (t ),
y2 (t ) dy (t ) / dt.
Описание колебательного звена в ПС
dy1(t )
0
dt
1
dy2 (t ) 2
dt T
1
0
y1(t )
1 g (t ),
2ξ
y2 (t )
T
T 2
y1(t )
y (t ) 1 0
.
y2 (t )
y1(t0 )
y (t ) ,
2 0

18. Описание СУ в ПС при известной ПФ (схеме)

1. Преобразование
апериодического звена
1
1
1/ p
.
1 pT T 1 1 / pT
2. Преобразование форсирующего
звена при наличии интегратора
1 pτ 1
τ
p
p
3. Преобразование форсирующего
звена при наличии
апериодического звена
K1
K2
( K K2 ) pK1T 1 p
1
1 pT
1 pT
1 pT

19. Описание СУ в ПС при известной ПФ (схеме)

1.
2.
3.
Зададим элементы вектор состояния СУ – выходы интеграторов
Запишем переходную матрицу F – передаточные коэффициенты с
выходов интеграторов на входы
Запишем вектор K – передаточные коэффициенты входного возд-я
dy1(t )
dt 1 Kτ
T T
dy2 (t ) K
dt
1
Kτ
y1(t )
T g (t ).
T
y2 (t )
0
K

20. Формирующий фильтр

ФФ является эквивалентной моделью входного воздействия в модели СУ.
Д.у. состояния ФФ:
dG(t )
AG(t ) Bu (t ), G(t0 ),
dt
1.
Формирование регулярных воздействий
2.
Формирование случайных (стохастических) воздействий

21. Типичные виды случайных воздействий

1.
Экспоненциально-коррелированный случайный процесс
(формирующий фильтр содержит апериодическое звено)
2
СПМ: S g (ω) S0 WФ ( jω)
АКФ: Rg (τ)
Д.у.:
1
2π
S0
1 ω2T 2
τ
S
S g (ω)e jωτ dω 0 e T .
2T
dg (t )
1
1
g (t ) u (t ),
dt
T
T
Переходный процесс:
g (t0 )
1
t 1 (t η)
(t t0 )
1
T
T
g (t ) e
g (t0 ) e
u (η)dη.
T
t0

22. Типичные виды случайных воздействий

2. Винеровский процесс (формирующий фильтр содержит
интегрирующее звено)
2
СПМ: S g (ω) S0 WФ ( jω)
Д.у.:
dg (t )
u (t ),
dt
S0
2
ω
,
g (t0 ),
Винеровский процесс является нестационарным.
3. Случайный процесс, скорость которого моделируется в виде
экспоненциально-коррелированного процесса (формирующий фильтр
содержит включенные последовательно апериодическое и
интегрируюшее звенья)
4. СП, ускорение которого моделируется в виде экспоненциальнокоррелированного процесса ... (высшие производные являются
кратковременно-зависимыми процессами)

23. Общие принципы формирования случайных процессов в формирующих фильтрах

Преобразование случайного процесса в линейной системе

24. Формирование случайных процессов с помощью авторегрессионных фильтров

Авторегрессионное уравнение
-- БГШ
АКФ
K
АР первого порядка
АКФ
K(τ) ~
, где yk – корни полинома

25. Определение интервала корреляции

Определение 1
K
Определение 2
K(τ) dτ
Определения 3 и 4
│K(τ)│dτ
K2(τ) dτ

26. Типовые АКФ и их интервалы корреляции

27. Типовые АКФ и их интервалы корреляции

28. Различия интервалов корреляции при различных способах определения

29. Автокорреляционная функция случайного процесса на выходе АР – фильтра

АР первого порядка
K(1) =
АР второго порядка
K(1)
K(2) =
Процесс на выходе АР – фильтра является
кратковременно-зависимым процессом (процессом с
конечным временем корреляции)

30. Кратковременно- и долговременно-зависимые процессы

Кратковременно- и долговременнозависимые процессы
Процесс с бесконечным интервалом корреляции
K(τ) dτ
АКФ затухает медленее экспоненты, наиболее часто
используется степенная модель
СПМ также имеет вид степенной функции
ДВЗ – модели используются, в частности, при
моделировании трафика в больших ИКС, и
актуальны для управления ресурсами больших ИКС

31. Формирующий фильтр для ДВЗ-процесса

СПМ ДВЗ – процесса
Формирующий фильтр для ДВЗ – процесса
Преобразование СПМ (при негауссовском
распределении итерационное, алгоритм ШрайбераШмидца)

32. Задача идеального наблюдателя

Задача заключается в нахождении структуры такой СУ, которая
безошибочно воспроизводит входное (регулярное) воздействие.
Пусть заданы:
1.
Описание ФФ в ПС
dG (t )
AG (t ), G (to ) 0,
dt
g (t ) HG (t ),
2.
G (t ) g (t )
n 1
Описание СУ в ПС:
dY (t )
FY (t ) Kg (t ), Y (to ), Y (t ) y (t )
dt
y (t ) HY (t ),
Т
dg (t )
d g (t )
...
n 1
dt
dt
n 1
Т
dy (t )
d y (t )
...
n
1
dt
dt

33. Задача идеального наблюдателя

3. Потребуем выполнения в установившемся режиме условий
безошибочного воспроизведения входного воздействия на выходе СУ
G (t ) Y (t ) 0,
dG (t ) dY (t )
dt dt 0,
и подставим в него уравнения состояния
G(t)=Y(t)
dG (t ) dY (t )
0 AG (t ) FY (t ) Kg (t ) AG (t ) FY (t ) KHG(t )
dt
dt
( A KH )G (t ) FY (t ).
откуда получим переходную матрицу
F = A – KH
и д.у. искомой СУ
dY (t )
( A KH )Y (t ) Kg (t ) AY (t ) K g (t ) HY (t ) .
dt

34. Задача идеального наблюдателя

4. Структурная схема формирующего фильтра и согласованной с ним СУ
dY (t )
( A KH )Y (t ) Kg (t ) AY (t ) K g (t ) HY (t ) .
dt

35. Задача идеального наблюдателя

5. Пример: СУ, безошибочно воспроизводящая линейное воздействие
g(t)=Vt
0 1
A
,
0 0
H 1 0 ,
K1
K .
K2
dY (t )
( A KH )Y (t ) Kg (t ) AY (t ) K g (t ) HY (t ) .
dt

36. Анализ СУ во временной области - решение векторного дифференциального уравнения

1.
Задано описание СУ в ПС
2.
Преобразуем по Лапласу
3.
Преобразуем к виду
dY (t )
FY (t ) Kg (t ),
dt
y (t ) HY (t ).
Y (t0 ),
pY ( p) Y (t0 ) FY ( p) Kg ( p), y( p) HY ( p),
( pI F )Y ( p) Y (t0 ) Kg ( p),
где I – единичная матрица
Y ( p) ( pI F ) 1Y (t0 ) ( pI F ) 1 Kg ( p)
4.
Обратное преобразование Лапласа
Y (t ) L 1{( pI F ) 1}Y (t0 ) L 1{( pI F ) 1 Kg ( p)}.
5.
Определим переходную матрицу (t , t0 ) L 1{( pI F ) 1}
t
6.
Решение уравнения
Y (t ) (t , t0 )Y (t0 ) (t ,η) Kg (η)dη.
t0

37. Свойства переходной матрицы

1.
Для СУ 1-го порядка имеет экспоненциальный вид и может быть
разложена в ряд
2
l
F (t t0 )
2 (t t0 )
l (t t0 )
(t , t0 ) e
I F (t t0 ) F
... F
...
2
l!
2.
При начальных условиях обращается в единичную
(t , t0 ) t t e F (t t0 )
0
3.
t t0
I
Удовлетворяет дифф. уравнению исходной СУ
d (t , t0 ) d F (t t0 )
e
Fe F (t t0 ) F (t , t0 ).
dt
dt

38. Описание дискретной СУ

1.
Д.у. СУ заменяется разностным уравнением
Y (ti 1) ( I FΔt )Y (ti )
ti 1
[ I F (ti 1 η]Kg (η)dη
ti
Y (ti ) t[ FY (ti ) Kg (ti )],
2.
Y (t0 ),
i 0,1,2,...
На практике используется приближенное интегрирование
dY (t ) Y (ti 1) Y (ti )
dt
Δt
3.
Дискретная модель безошибочно описывает непрерывную СУ, если
выполняется условие теоремы Котельникова
π
π
1
1
t tн
ср 2πfср 2 fср 2 fв

39. Описание дискретной СУ, удовлетворяющей условиям задачи идеального наблюдателя

Разностное уравнение СУ имеет вид
Y (ti 1) ( I A t )Y (ti ) K t[ g (ti 1) HY (ti )],
g ( ) g (ti 1),
Y (t0 ),
i 0,1,2,...
ti ti 1
1.
Для СУ 1-го порядка
2.
Для СУ 2-го порядка
y (ti 1) y (ti ) K t[ g (ti 1) y (ti )],
y(t0 ).
y1(ti 1)
y (t )
2 i 1
y1(ti )
K1
1 0
0 1 y1(ti )
{
t
}
t {g (ti 1) 1 0
}
0 1
0 0 y2 (ti )
K2
y2 (ti )
y1(t0 )
1 t y1(ti ) K1 t
{g (ti 1) y1(ti )},
.
0 1 y2 (ti ) K 2 t
y2 (t0 )

40. Схемы дискретной СУ, удовлетворяющей условиям задачи идеального наблюдателя

1.
Для СУ 1-го порядка
2.
Для СУ 2-го порядка

41. 2. Анализ устойчивости линейных систем управления

Основы автоматики и систем автоматического управления
С.-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ», кафедра Радиотехнических систем
2. Анализ устойчивости линейных
систем управления
2013

42. Определение устойчивости линейной СУ

Линейная система называется устойчивой, если при
отсутствии воздействия (g(t)=0) и любом начальном условии
Y(t0) состояние системы Y(t) стремится к нулю при t→∞.
1.
Рассмотрим СУ 1-го порядка: д.у.
переходный процесс:
dy (t )
a0 y (t ) 0,
dt
y (t0 ).
y(t ) e a0 (t t0 ) y(t0 ).
Такая СУ устойчива при a0>0 .
2. Рассмотрим СУ n-го порядка: д.у.
dY (t )
FY (t ),
dt
и домножим обе части на матрицу Λ
d Y0 (t )
F Y0 (t ),
dt
dY0 (t )
( 1F )Y0 (t ),
dt
Y0 (t0 ) 1Y (t0 ).
Y (t0 ).

43. Определение устойчивости линейной СУ

3. Решение д.у. имеет вид
Y0 (t ) e
( 1F )t
Y0 (0).
Анализ устойчивости упрощается при диагональной форме матрицы
λ1 0
0 λ
2
( 1F )
.
.
0 0
0
0 ... 0
.
. ... .
0 ... λ n
0 ...
λ1, λ2, …, λn -- собственные числа
n
n 1
... a1λ a0 0.
Характеристическое уравнение СУ det(λI F ) λ an 1λ
eλ1t
1
(Λ
FΛ)t 0
Переходная матрица 0 (t ,0) e
.
0
0
e λ 2t
.
0
0
0 ... 0
. ...
.
0 ... eλ nt
0 ...

44. Определение устойчивости линейной СУ

4
Отклик системы имеет вид
eλ1t y (0)
01
λ
t
e 2 y02 (0)
Y0 (t ) 0 (t ,0)Y0 (0)
,
...
λ nt
e y0n (0)
5
Вектор состояния СУ
n
λl t
c
e
y
(0)
1l
0l
l 1
n
λ
t
c e l y (0)
0l
,
Y (t ) ΛY0 (t ) l 1 2l
...
n
λ
t
c e l y (0)
0l
l 1 nl
y01(0)
y (0)
Y0 (0) 02 .
...
y
(0)
0n

45. Необходимое условие устойчивости линейной СУ

6. Если все λ1, λ2, …, λn вещественны, то условие устойчивости
записывается в виде: λi<0, i=1,2,…,n.
7. Если среди собственных значений λ1, λ2, …, λn имеются
комплексно-сопряженные λi=αi+jβi и λi+1=αi-jβi , образуется
колебательный процесс
jβ i t
jβ i t
e
e
e(αi jβi )t e(αi jβi )t 2eαit
2eαit cosβit.
2
затухающий при t→∞, если αi<0.
Резюме: для обеспечения устойчивости системы
необходимо и достаточно, чтобы все собственные
значения матрицы F имели отрицательные
вещественные части.

46. Пример применения необходимого условия устойчивости

Задана структурная схема СУ:
Переходная матрица СУ:
Kτ 1
F
.
K 0
λ Kτ 1
λI F
K
λ
Характеристическое уравнение: det(λI F ) λ 2 Kτλ K 0.
2 2
K
τ
K
τ
Корни хар. ур-я (собств. знач. F) λ
K.
1,2
2
4
Условие устойчивость СУ: K>0, τ>0

47. Критерии устойчивости линейных СУ

1. Необходимое условие устойчивости ai>0, i=0,1,…,n
является также и достаточным условием для n≤2
(СУ 1-го и 2-го порядков)
2. Обобщение для n>2 – критерий Рауса-Гурвица
Коэффициенты хар. ур-я разделим на старший коэфф.
p n α1 p n 1 α2 p n 2 ... α n 1 p α n 0,
a
α1 n 1 ,
an
Матрица Гурвица: α1
α
3
α5
...
a
a
α2 n 2 , ... α n 1 1 ,
an
an
1
α2
α4
...
a
αn 0 .
an
... ... ... ... ...
α1 1 0 ... ... ...
.
α3 α 2 α1 1 0 ...
... ... ... ... ... ...
0

48. Критерии устойчивости линейных СУ

1. Необходимое условие устойчивости ai>0, i=0,1,…,n
является также и достаточным условием для n≤2
(СУ 1-го и 2-го порядков)
2. Обобщение для n>2 – критерий Рауса-Гурвица
Коэффициенты хар. ур-я разделим на старший коэфф.
p n α1 p n 1 α2 p n 2 ... α n 1 p α n 0,
a
α1 n 1 ,
an
Матрица Гурвица: α1
α
3
α5
...
a
a
α2 n 2 , ... α n 1 1 ,
an
an
1
α2
α4
...
a
αn 0 .
an
... ... ... ... ...
α1 1 0 ... ... ...
.
α3 α 2 α1 1 0 ...
... ... ... ... ... ...
0

49. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

4. Определители Гурвица
α1 1 0
α1 1
α α
, ... .
1 α1, 2 det
,
det
α
3
2
1
3
α
α
2
3
α5 α 4 α3
Для обеспечения устойчивости системы n-го порядка
необходимо и достаточно, чтобы все n определителей
Гурвица были положительны.
Поскольку 1 α1 , n α n n 1,
и с учетом необходимого условия
устойчивости необходимо вычислять только
(n-2) определителя и решать систему неравенств:
Δ 2 0,
Δ 0,
3
...
Δ n 1 0.

50. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Пример: Задана ПФ СУ Wр ( p)
K (1 p )
2
p (1 pT )
.
Характеристическое ур-е: Tp3 p 2 K p K 0.
1 2 K
K
p 0
Разделим на старший коэф. p p
T
T
T
Из необходимого условия устойчивости: T>0, K>0, τ>0
3
1
0
1/ T
Матрица Гурвица: K / T Kτ / T 1 / T
0
0
K / T
Определители Гурвица:
1 Kτ K
1/ T
K
Δ1 1 / T 0, Δ 2 det
0,
Δ
Δ 2 0.
3
2
T
T
K / T Kτ / T T
Условие устойчивости по критерию Р-Г: τ >T
ЛХ-?

51. Критерий устойчивости Михайлова

Основан на использовании АФХ замкнутой СУ
(годографа Михайлова)
n
n 1
a
(
j
)
a
(
j
)
... a1 j a0
Характерист. комплекс: n
n 1
Для обеспечения устойчивости системы n-го порядка
необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова
начиналась (при ω=0) на положительной части
вещественной оси и, с увеличением частоты ω, огибала
начало координат, проходя последовательно n
квадрантов против часовой стрелки.

52. Критерий устойчивости Михайлова

Для обеспечения устойчивости системы n-го порядка необходимо
и достаточно, чтобы кривая Михайлова начиналась (при ω=0) на
положительной части вещественной оси и, с увеличением
частоты ω, огибала начало координат, проходя последовательно
n квадрантов против часовой стрелки.

53. Критерий устойчивости Михайлова

Пример: Задана ПФ СУ Wр ( p)
K (1 p )
p 2 (1 pT )
Характ. комплекс T ( j )3 ( j )2 K j K ( K 2 ) j ( K T 3 ).
Критерии устойчивости: K>0, T>0, τ>T
Достаточно проанализировать характерные
точки годографа Михайлова
(пересечения с осями
абсцисс и ординат)

54. Критерий устойчивости Найквиста

Основан на использовании АФХ разомкнутой СУ
(годографа Найквиста)
Для обеспечения устойчивости одноконтурной СУ
необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста
не охватывал точку на комплексной плоскости с
координатами (-1, j0)
ЛХ-?

55. Минимально-фазовые системы

МФС - класс СУ, у которых нули и полюсы ПФ имеют строго
отрицательные вещественные части
Свойства МФС:
1. МФС всегда устойчивы.
2. МФС обратимы – при инвертировании ПФ св-ва МФС
сохраняются.
3. P(ω), Q(ω) МФС связаны с W ( j ) , φ(ω) преобразованием
Гильберта.
Физический смысл – МФС обладает наименьшим фазовым
сдвигом в классе систем со сходной ЛАХ

56. Коррекция СУ

Цель – повышение качества работы существующей СУ за счет
включения дополнительных элементов без изменения
существующей структуры
Задачи:
1. Обеспечение устойчивости СУ
2. Улучшение характеристик переходного процесса СУ
(снижение степени колебательности, σп, tн)
3. Достижение лучшей помехоустойчивости СУ

57. Коррекция СУ

Методы коррекции СУ:
[I] Последовательное включение корректирующих звеньев
Wж(p)= Wи(p) Wк(p)
Ограничения на корректирующие звенья:
1. Низкочастотные асимптоты исходной и
скорректированной СУ должны совпадать
2. Корректирующий элемент должен быть
физически реализуем
Задача коррекции одноконтурной СУ – приблизить ее по
свойствам к МФС

58. Свойства ЛАХ скорректированной СУ

Соответствуют свойствами ЛАХ МФС:
Наклон ЛАХ на частоте среза ωср равен -6дБ/окт
и выдерживается в пределах 2-4 октав
симметрично относительно частоты среза ωср
ЛХ-?

59. Типовые корректирующие звенья СУ

1) Пропорционально-дифференцирующее
Wтк1( p)
1 pτ1
,
1 pT1
τ1 T1.
2) Пропорционально-интегрирующее
Wтк2 ( p)
1 pτ2
,
1 pT2
τ2 T2 .
3) Комбинированное (интегро-дифференцирующее)
Wтк3 ( p)
(1 pτ3 )(1 pτ 4 )
,
(1 pT3 )(1 pT4 )
T3 >τ3 τ4 T4 .

60. Примеры последовательной коррекции

1) Уменьшение наклона ЛАХ
вблизи ωср включением
пропорционально-дифференцирующего
звена с ПФ Wтк1(p)
Уменьшает общий для СУ
сдвиг фазы вблизи ωср1
2) Перенос фрагмента ЛАХ
исходной системы с наклоном
-6 дБ/окт (если он есть)
на ось частот с помощью
пропорционально-интегрирующего
звена с ПФ Wтк2(p)
Уменьшает общий для СУ
коэффициент усиления
вблизи ωср1

61. Коррекция СУ

Методы коррекции СУ:
[II] Параллельное включение корректирующих звеньев
Wж(p)= Wи(p)+ Wк2(p)
Wк2 ( p) Wи ( p)[Wк1( p) 1]
[III] Включение корректирующих звеньев в цепь ООС
KWи ( p)
Wж ( p)
.
1 KWи ( p)Wк ( p)
При выполнении условия KWи ( p)Wк ( p) 1.верно
1
Wж ( p)
,
Wк ( p)
1
Wк ( p)
.
Wж ( p)

62. Устойчивость дискретных СУ

Задано разностное ур-е СУ:
Y (ti 1) Y (ti ),
Y (t0 ),
Выполнив преобразования, аналогичные примеру для
непрерывных СУ, получим характеристическое ур-е
det( zI ) z n an 1z n 1 ... a1z a0 0.
где z1, z2, …, zn – собственные числа переходной матрицы Φ
Введем матрицу Φ0 :
z1 0 0
0 z 0
2
0
.
. .
0 0 0
0
... 0
.
... .
... zn
...
Y0 (ti 1) 0Y0 (ti ),
Y0 (t0 ),

63. Устойчивость дискретных СУ

Значения в каждый момент времени tm:
zm
1
m 0
( 0 )
.
0
0
0 ... 0
. ...
.
m
0 ... zn
z m y (t )
1 01 0
z2m y02 (t0 )
z2m
Y0 (tm )
.
.
...
m
0
zn y0n (t0 )
Решение (аналогично случаю непрерывной системы)
0
0 ...
n
имеет вид
m
c
z
kl l y0l (t0 ) , откуда условие устойчивости
l 1
zi 1,
i 1,2,..., n.

64. Устойчивость дискретных СУ

Пример: дискретная СУ 1-го порядка
Характеристическое уравнение z-1+KΔt=0
Собственное значение переходной матрицы z1=1-KΔt
Из условия z1 1 определяем область допустимых
значений параметра СУ K KΔt , при которых она устойчива
0 K 2.

65. Алгебраический критерий устойчивости дискретных СУ

Если в характеристическом уравнении дискретной СУ
an z n an 1z n 1 ... a1z a0 0
выполнить замену переменной z на w с помощью
билинейного преобразования
1 w
z
,
1 w
то получим характеристическое уравнение
эквивалентной непрерывной СУ.
В дальнейшем к эквивалентной СУ могут применяться все
критерии и методы определения устойчивости,
разработанные для анализа непрерывных СУ

66. Алгебраический критерий устойчивости дискретных СУ

Пример: задана СУ 2-го порядка
Переходная матрица СУ:
1 t K1 t
1 t 1 K1 t t (1 K1 t )
1 0
.
2
1 K 2 t
0 1 K2 t
0 1 K2 t
Характеристическое ур-е СУ:
det( zI ) z 2 ( 2 K1 t K2 t 2 ) z (1 K1 t ) 0.

67. Алгебраический критерий устойчивости дискретных СУ

a2 a1 a0 K 2 0,
Условия устойчивости: a2 a1 a0 4 2 K1 K 2 0,
a2 a0 K1 0.

68. 3. Точность и помехоустойчивость систем управления

Основы автоматики и систем автоматического управления
С.-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ», кафедра Радиотехнических систем
3. Точность и помехоустойчивость
систем управления
2013

69. Классификация ошибок линейных СУ

В линейных СУ суммарная ошибка может быть представлена
как сумма двух составляющих (принцип суперпозиции)
2
2 д2 ф
1. Динамическая ошибка д (t ) создается при прохождении
через систему полезного воздействия g (t )
2. Флуктуационная ошибка ф (t ) создается случайной
помехой v(t ) и характеризуется дисперсией σ2ф

70. Точность СУ при типовых регулярных воздействиях

Точность СУ при типовых регулярных воздействиях
характеризуется установившимся значением динамической
ошибки
Ast s
, s 0,1,2,...
1. Задано входное воздействие вида g (t )
s!
G ( p)
2. Преобразуем его по Лапласу
As
p s 1
3. Запишем ПФ разомкнутой СУ
Wр ( p)
bm pm bm 1 p m 1 ... b0
p r (an pn r an 1 pn r 1 ... ar )
K
βm p m βm 1 p m 1 ... 1
p r (αn p n r αn 1 p n r 1 ... 1)
K B( p )
p r A( p)
A( p) αn p n r αn 1 p n r 1 ... 1
B( p) βm p m βm 1 p m 1 ... 1
K b0 ar
β k bk b0
αi ai a0

71. Точность СУ при типовых регулярных воздействиях

Динамическая ошибка СУ по входному воздействию
(t ) g (t ) y(t )
Преобразование Лапласа
1
E ( p) G ( p) Y ( p) G ( p)
1 Wр ( p)
Значение ошибки в установившемся режиме
As
1
eу lim e(t ) lim pE ( p) lim
t
p 0
p 0 p s 1 K B ( p )
p r A( p)
Параметры, влияющие на характер динамической ошибки:
s – порядок задающего воздействия
r – порядок астатизма СУ

72. Точность СУ при типовых регулярных воздействиях

Значение ошибки в установившемся режиме
As
1
eу lim e(t ) lim pE ( p) lim
t
p 0
p 0 p s 1 K B ( p )
p r A( p)
Качественные варианты решения:
1.
r s
2. r s
3.
r s
eу 0
eу
s – порядок задающего воздействия
r – порядок астатизма СУ
As K , r 0,
eу
As K 1, r 0.

73. Точность СУ при типовых регулярных воздействиях

Типовые значения динамической ошибки СУ
s – порядок задающего воздействия
r – порядок астатизма СУ
Nф - порядок формирующего фильтра

74. Коэффициентный метод оценки ошибок СУ

Рассмотрим лапласиан сигнала ошибки СУ
E ( p) G ( p)We ( p)
Разложим G(p) в ряд Тейлора в окрестности точки p = 0
r
p
We ( p) We ( p) p 0 pWe(1) ( p )
... W ( r )e ( p)
r!
p 0
p 0
Введем определение коэффициента ошибок Сi
Ci We(i )
d iWe ( p)
dpi
p 0

75. Коэффициентный метод оценки ошибок СУ

Выразим сигнал ошибки через введенный коэффициент
pr
E ( p) C0G( p) C1 pG( p) ... Cr
G( p)
r!
Откуда значение ошибки в установившемся режиме
eу (t ) C0 g (t ) C1g
(1)
Cr (r )
(t ) ...
g (t )
r!
g
(i )
(t )
d i g (t )
dt i

76. Коэффициентный метод оценки ошибок СУ

Пример. Задана ПФ разомкнутой СУ
Тогда ПФ СУ по ошибке: We ( p)
W р ( p) K
1
1 K
1
Коэффициент ошибки C0 We ( p) p 0
1 K
В установившемся режиме:
1
-- Ошибка по положению eу (t )
g (t )
1 K
1
eу (t )
Vt
-- Ошибка по скорости
1 K

77. Анализ помехоустойчивости СУ в частотной области

ω
Анализ помехоустойчивости СУ в частотной области
Преобразование случайного процесса (СП) в линейной СУ
S y (ω) Sп (ω) W ( jω)
2
Для случая узкополосного тракта СУ
S y (ω) Sп W ( jω)
W ( j )
2
2
Sп ( )
0

78. Анализ помехоустойчивости СУ в частотной области

ω
Анализ помехоустойчивости СУ в частотной области
Расчет дисперсии флуктуационной ошибки
1
2
фл
2
где
1
f эф
2
1
S y (ω)dω
Sп
2
2
W ( jω) dω
2
W ( jω) dω Sп f эф
-- шумовая полоса СУ
Для дробно-рациональной ПФ СУ
f эф
где
1
2
2
W ( jω) dω
1
2
2
C ( jω)
dω
D( jω)
C ( jω) c0 c1 jω c2 ( jω)2 ...
D( jω) d0 d1 jω d2 ( jω)2 ... dn ( jω)n
Решение задачи оптимизации помехоустойчивости СУ
связано с минимизацией эффективной полосы пропускания

79. Анализ помехоустойчивости СУ в частотной области

Результаты минимизации флуктуационной ошибки
для некоторых типовых СУ

80. Анализ помехоустойчивости СУ в частотной области

Kv
Пример. Задана ПФ СУ Wр ( jω)
jω(1 jωT )
KV
f
Из табл. имеем эф
2
(помехоустойчивость СУ не зависит от постоянной времени
апериодического звена)
Площадь под кривой
резонансного пика
сохраняется за счет появления

81. Точность СУ при случайных входных воздействиях

Структура СУ со случайных воздействием на входе
– БГШ ;
– СП на входе СУ ;
– СП на выходе СУ
1
СПМ сигнала ошибки СУ: Se (ω) S g (ω) We ( jω) S g (ω)
1 Wр ( jω)
2
где S g (ω) S0 Wф ( jω)
2
; S 0 -- СПМ БГШ на входе ФФ
Дисперсия ошибки СУ: 2д
1
2
2
S g (ω)
1
dω
1 Wр ( jω)
2

82. Точность СУ при случайных входных воздействиях

Типовые примеры входных воздействий:
1. Винеровский процесс – ФФ состоит из интегрирующего
звена Wф ( jω) 1 jω ,
2
S0
СПМ имеет вид S g (ω) S0 Wф ( jω) 2 , что соответствует
ω
бесконечно расходящейся дисперсии g2 E g 2 (t ) S0 (t t0 )
(нестационарный процесс, анализ в част. обл. невозможен)
2. Экспоненциально-коррелированный процесс – ФФ состоит
из апериодического звена Wф ( jω) 1 (1 jωT )
СПМ имеет вид
АКФ имеет вид
2
S g ( ) S0 Wф ( jω)
S0
1 ω2T 2
|τ|
S0 T
1
jωτ
Rg (τ)
S
(ω)
e
d
ω
e
g
2π
2T

83. Анализ точности СУ со случайным воздействием во временной области

Применим также и для нестационарных процессов
d
1. Винеровский процесс g (t ) u (t )
dt
2. СП с винеровским законом изменения фазы
d
г (t ) г (t )
dt
d
г (t ) u (t )
dt
d
X (t ) AX (t ) BU (t )
dt
г ( t )
G (t )
ω
(
t
)
г
0
B
1
01
A
0 0

84. Анализ точности СУ со случайным воздействием во временной области

г (i )
Дискретный эквивалент G (i )
ω
(
i
)
г
1 t
(ti 1, ti ) I A (ti 1 ti )
0
1
Переходная матрица
t (ti 1 ti )
Корреляционная матрица
t 3 3 t 2 2
Q (ti 1, t1) BS0 BT T (ti 1, t1)dt1 S0
2
t 2 t
ti
ti 1
Разностные уравнения СУ
φг (i 1) φг (i) tωг (i) u1(i)
ωг (i 1) ωг (i) u2 (i)

85. Анализ точности СУ со случайным воздействием во временной области

Разностные уравнения СУ
φг (i 1) φг (i) tωг (i) u1(i)
ωг (i 1) ωг (i) u2 (i)

86. Анализ точности СУ со случайным воздействием во временной области

Типовые структуры ФФ при случайном входном воздействии:
1. Экспоненциально-коррелированный процесс
d
1
1
g (t ) g (t ) u (t )
dt
T
T
Дифференциальное ур-е ФФ
Разностное ур-е дискр. эквивалента g (i 1) g (i ) u (i )
Переходная матрица
ti 1 ti
t
(ti 1, ti ) e T e T M

87. Анализ точности СУ со случайным воздействием во временной области

2. СП с экспоненциально-коррелированной скоростью
Дифф. ур-я ФФ
d
s(t ) Vв (t )
dt
d
1
1
Vв (t ) Vв (t ) u (t )
dt
Tв
Tв
Разностные ур-я дискр. эквивалента
s(i 1) s(i ) Vв (i ) t u1(i )
Vв (i 1) M вVв (i ) u2 (i )

88. Расчет флуктуационной ошибки во временной области

Задано д.у. ФФ
d
G(t ) AG(t ) BU (t ), G(0) 0,
dt
Вектор наблюдения
Д.у. СУ
Z (t ) HG(t ) V (t )
d
Y (t ) FY (t ) KZ (t ), Y (0) Y0
dt
Расчет ошибки СУ E (t ) G(t ) Y (t )
E(t ) [ A KH ]G(t ) FY (t ) BU (t ) KV (t )
Для несмещенной ошибки F A KH
Расчет д.у. для СУ, удовлетворяющей условиям задачи
идеального наблюдателя d E (t ) ( A KH ) E (t ) BU (t ) KV (t )
dt
d
P(t ) ( A KH ) P(t ) P(t )( A KH )T BQBT KRK T P(0) P0
Корр. м.
dt

89. Расчет флуктуационной ошибки во временной области

Тогда СУ с несмещенной ошибкой будет описываться д.у.
d
Y (t ) AY (t ) K ( Z (t ) HY (t )), Y (0) Y0
dt

90. Расчет флуктуационной ошибки во временной области

Пример. Задано: ПФ СУ имеет вид Wр ( p) Kv p
Входной (полезный) СП: винеровский
d
g (t ) u (t )
dt
АКФ ГБШ u(t ) (исп. для формирования полезного сигнала)
равна S0 (t1 t2 )
Уравнение наблюдения z (t ) g (t ) v(t )
АКФ ГБШ v(t ) (помеха) равна Sп (t1 t2 )

91. Расчет флуктуационной ошибки во временной области

d
y(t ) Kv ( z (t ) y(t ))
При 1 T Kv запишем д.у. искомой СУ:
dt
A 0 B 1 H 1 F Kv K Kv
A KH Kv
Расчет ошибки СУ e(t ) Kv e(t ) u(t )
Расчет корр. матрицы
P(t ) 2 Kv P(t ) S0 Kv2Sп , P(0) P0
Расчет флуктуационной ошибки
t
2
ф
P(t ) e 2 K vt P0 e 2 K v (t ) ( S0 Kv2Sп )d
e
2 Kvt
0
e 2 Kvt
)
2 Kv
2 Kv
1
P0 ( S0 Kv2Sп )(
S0
K v Sп
В установившемся режиме p
2 Kv
2

92. Расчет флуктуационной ошибки дискретной СУ во временной области

Заданы разностные уравнения для дискретного экв. ФФ
G(i 1) G(i) U (i), G(0) 0
Z (i) HG(i) V (i)
Требуется найти разностное уравнение согласованной СУ
Y (i) FY (i 1) KZ (i), Y (0) 0
Расчет вектора ошибки фильтрации E (i) G(i) Y (i)
E (i) ( I KH )( G(i 1) U (i 1)) FY (i 1) KV (i )
Действующее значение E (i) ( I KH ) G (i 1) F X (i 1)
Разностное уравнение СУ с несмещенной ошибкой
Y (i) Y (i 1) K{Z (i) H Y (i 1)}, Y (0) 0
Ошибка такой СУ E (i) ( I KH )( E (i 1) U (i 1)) KV (i)

93. Расчет флуктуационной ошибки дискретной СУ во временной области

Дисперсионная матрица ошибки фильтрации
P(i) E(i) ET (i) ( I KH )( P(i 1) T Q)( I KH )T KRK T
Матрица ошибок экстраполяции
P (i) P(i 1) T Q
P (i) [( I KH ) P (i 1)( I KH )T KRK T ] T Q
Решение находится численными методами с помощью ЭВМ
Пример. Задано разностное ур-е ФФ
g (i 1) g (i) u(i), g (0) 0
z (i) g (i) v(i)
Разностное ур-е СУ 1-го порядка имеет вид
2
2
y(i) y(i 1) k{z (i) y(i 1)}
H 1 Q σq R σr K k
p(i) (1 k )2 ( p(i 1) 2q ) k 2 2r
Дисперсионное ур-е
В установ. режиме p (1 k )2 ( p 2q ) k 2 2r

94. Расчет флуктуационной ошибки дискретной СУ во временной области

Пример. Задано разностное ур-е ФФ
g (i 1) g (i) u(i), g (0) 0
z (i) g (i) v(i)
Разностное ур-е СУ 1-го порядка имеет вид
2
2
y(i) y(i 1) k{z (i) y(i 1)}
H 1 Q σq R σr K k
Дисперсионное ур-е
p(i) (1 k )2 ( p(i 1) 2q ) k 2 2r
В установ. Режиме
p (1 k )2 ( p 2q ) k 2 2r
p
(1 k )2 σ 2q k 2qr2
k (2 k )
Область устойчивости СУ (p > 0) соответствует 0 k 2

95. 4. Примеры СУ радиотехнического назначения

Основы автоматики и систем автоматического управления
С.-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ», кафедра Радиотехнических систем
4. Примеры СУ радиотехнического
назначения
2013

96. Следящие измерители

Следящий измеритель (СИ) – СУ, сигнал на входе которой
является неизвестной функцией времени.
Примеры СИ радиотехнического назначения:
-- следящие измерители дальности и угловых координат
целей (азимута и угла места) в радиолокационных системах
(РЛС);
-- следящий измеритель задержки времени приема
радиосигнала от спутника в РНС космического базирования.

97. Следящие измерители

Модели следящих измерителей: в зависимости от полноты
априорных сведений относительно G(t) возможны 2
ситуации:
-- Известен вид функции G(t), но неизвестны ее параметры
(используется модель с регулярным входным воздействием);
-- Вид функции G(t) неизвестен (используется модель со
случайным входным воздействием).
Поисково-следящий измеритель – может работать в режиме
слежения (при небольших расстройках, не выходящих за
пределы полосы удержания СУ) и в режиме поиска (ввод
следящей аппаратуры в режим слежения). Пример: приемник
ГНСС

98. Следящие измерители

Функциональная схема следящего измерителя:
Пример: системы автоподстройки частоты (АПЧ, ФАПЧ)

99. Следящие измерители

Программно-цифровая реализация следящего измерителя:
Циклы выполнения программы:
В зависимости от соотношения времени анализа данных ta
и интервала поступления информации t
1)
ta t
-- эквивалент СУ непрерывного действия
2)
ta t
-- дискретно-импульсная СУ

100. Следящие измерители

Обобщенная ПФ следящего измерителя:
Wр ( p )
K д KмW1 ( p )
p rW2 ( p )
K Д , K M – коэффициенты передачи дискриминатора и
модулятора
r – порядок астатизма СУ

101. Следящие измерители

Функция передачи СУ по ошибке:
1
We ( p)
1 Wp ( p)
Порядок астатизма можно определить по индексу первого
ненулевого коэффициента ошибок:
Ci
d iWe ( p )
dp
i
p 0
Порядок астатизма определяется числом интеграторов,
содержащихся в передаточной функции Wp ( p).
В электромеханических системах в качестве интегратора
используется электродвигатель, имеющий передаточную
функцию (выходной сигнал – угол поворота вала)
Wдв ( p)
K дв
p( pTдв 1)

102. Следящие измерители

Реализация интегрирующего элемента на ОУ:
uвых = -Kuвх
Wp ( p ).
uвых ( p)
K
e( p) uвх ( p)
W
(
p
)
.
pC (uвых ( p) uвх ( p)), оп
e( p)
1 pKRC
R
1
1
KRC
.
На верхних частотах (выше
) Wоп ( p)
pRC

103. Следящие измерители

Реализация дискретного интегратора:
Приближенное (кусочно-постоянное) интегрирование:
T
N
e(t )dt eд (i) t ,
0
i 1
N T t
Разностное уравнение:
y(i 1) y(i) eд (i).
При необходимости параллельного слежения за несколькими
каналами (например, в РНС) реализуют параллельные схемы
интегрирования (например на базе сигнальных процессоров)

104. Следящие измерители

Измеритель дальности:
Использование следящего измерителя для измерения
дальности позволяет решить следующие задачи:
– выделение полезного сигнала на фоне импульсов помех и
других отраженных сигналов;
– фильтрацию шумовых помех;
– формирование непрерывного отсчета при кратковременных
замираниях сигнала.

105. Временной дискриминатор

ПФ ВД :
Kд (1 pTд )
Сигнал ошибки: e 2u ( ˆ )
K д -- крутизна дискр. хар-ки

106. Управляемый генератор задержки

107. Фиксатор временного положения сигнала

108. Временной дискриминатор кодированного ПСП-сигнала

Крутизна дискриминационной характеристики при
прямоугольной форме элементарных импульсов: K д 2u (T 0 )
Т – время накопления в сумматорах;
0 – период временной дискретизации сигнала в АЦП

109. Цифровой дальномер для импульсных сигналов

Используется сглаживающий фильтр с двумя дискретными
интеграторами:

110. Работа следящего измерителя дальности при кратковременном замирании входного сигнала

1) Экстраполяция (выполняется независимо от наличия
сигнала на входе)
ˆ (i 1) ˆ (i) tVˆ (i),
2) Фильтрация (производится при приеме сигнала и
позволяет сформировать сигнал ошибки на выходе
дискриминатора)
ˆ (i 1) ˆ (i 1) K1e(i 1),
Vˆ (i 1) Vˆ (i ) K 2e(i 1),
При отсутствии сигнала на входе выполняется только шаг (1)

111. Измеритель угловых координат

Схема измерения угловых координат
Структура измерителя

112. Угломер с конических сканированием

Схема измерения угловых координат
Структура измерителя

113. Угломер с конических сканированием

Пример. Расчет крутизны дискриминационной
характеристики (на примере одного координатного канала)
Напряжение принятого сигнала на выходе УПЧ при нулевом
фазовом сдвиге uc (t ) U (t ) E (t ) (1 K se cos t ),
U (t ) – импульсное высокочастотное напряжение
E (t ) – закон случайной модуляции отраженного сигнала
K s – крутизна диаграммы направленности антенны
Для квадратичной характеристики детектора на выходе
2
2
2
пикового детектора имеем uпд kucд E (t ) (1 K s e cos t ) ,
На выходе фазового детектора (умножающее устройство)
uфд cos t uпд
2
Сигнал ошибки uco kKseuсд
2
Крутизна дискриминационной характеристики Kд kKsuсд

114. Моноимпульсный угломер с четырехлепестковой антенной

Схема измерения по четырем лучам
Схемы измерения двух угловых координат

115. Моноимпульсный угломер с четырехлепестковой антенной

Формирование сигнала ошибки в моноимпульсном угломере

116. Моноимпульсный угломер с четырехлепестковой антенной

Пример. Расчет параметров моноимпульсного угломера
2 d
sin e y
Сдвиг фаз принимаемых сигналов:
Сигнал ошибки: uсо K (u1 u2 u3 u4 ) K (u1 u2 u3 u4 )
K K ((u1 u2 )2 (u3 u4 )2 )
(ошибка стремится к нулю при равенстве сигналов в каналах)
Сигналы на выходах приемников суммы и разности при малой
ошибке e равны u (t ) U (t ) E (t ) , u (t ) U (t ) Kme E (t )
K m 1,57θ0 1 – крутизна разностной диаграммы
θ0 – ширина суммарной диаграммы
Для ФД, выполненного на умножителе, сигнал ошибки
2
2
uсо kK meuсд
E (t ) ,
k – коэффициент передачи фазового детектора
uсд – действующее напряжение сигнала на выходе УПЧ

117. Моноимпульсный угломер с четырехлепестковой антенной

Пример. Расчет параметров моноимпульсного угломера
2
Крутизна дискриминационной характеристики Kд kKmucд
.
ПФ и ЛХ разомкнутого контура угломера со сканированием
Wфд ( p) K д (1 pTд )
ПФ следящей системы угломера Wр ( p)
(вкл. корр. цепь)
1 pT2
Wкор ( p)
,
1 pT1
K д Kдв KpWкор ( p)
p(1 pTдв )(1 pTд )
,

118. Система автоматической посадки летательного аппарата

Схема глиссадного канала
Вертикальная скорость: Vв V
t
Ошибка наведения по высоте: h Vвd
0
Ошибка по углу глиссады:
Функциональная схема:
t
1
h r V d
r
0
V
( p) ( p)
rp

119. Системы автоподстройки частоты (АПЧ)

Решаемые задачи:
- Слежение за несущей частотой отраженного сигнала в РЛС
(включая доплеровскую поправку за счет движения цели)
- Слежение за несущей частотой в РТС передачи
информации (искажения в результате атмосферных
искажений, связь с подвижными объектами)
- Обеспечение стабильности генераторов гармонических
колебаний (гетеродинов радиотехнических устройств,
синтезаторов частоты и др.)

120. Системы автоподстройки частоты (АПЧ)

Классификация
1. Системы (частотной) автоподстройки частоты (ЧАПЧ,
АПЧ)
2. Системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ)
Причины использования ФАПЧ:
- Более высокая точность фазовых измерений
- Отсутствие систематической ошибки по частоте
(при использовании СУ 2го порядка)
Недостатки ФАПЧ:
- Неоднозначность фазовых измерений
- Малая полоса захвата СУ
Решение: комплексирование АПЧ + ФАПЧ

121. Системы автоподстройки частоты (АПЧ)

Структура системы АПЧ
Функциональная схема квадратурного частотного детектора

122. Системы автоподстройки частоты (АПЧ)

Дискретная реализация (квадратурного) частотного детектора
Квадратурные составляющие: S (t ) I (t ) jQ(t ) S (t ) e j (t )
На входе ЧД имеется сдвиг частоты: uс (t ) U sin(ω + Δω)t
На выходах умножителей в квадратурных каналах:
uс (t )sin ωt U sin 2 ωt cos ωt U cosωt sin ωt sin ωt
uс (t )cosωt U sin ωt cosωt cos ωt U cos 2 ωt sin ωt

123. Системы автоподстройки частоты (АПЧ)

На выходах ФНЧ (сглаживающих цепей) квадратурных
каналов (после отфильтровки высших гармоник):
1
I (t ) U cos ωt
2
1
Q(t ) U sin ωt
2
Связь расстройки по частоте со значениями сигналов в
квадратурных каналах:
d (t ) d
Q(t ) I (t )Q (t ) Q(t ) I (t )
ω
arctg
dt
dt
I (t )
I 2 (t ) Q2 (t )
В дискретной СУ производные определяем как первые
I (i) I (i 1)
Q(i ) Q(i 1)
разности:
I (i)
Q (i )
t
t
Окончательно расстройка: ω C ( I (i 1)Q(i) I (i)Q(i 1))
где C 1 t ( I 2 (i) Q2 (i))

124. Алгоритм прямого цифрового синтеза сигнала

Фаза синтезируемого сигнала:
ˆ i ) t
ˆ (i 1) ˆ (i ) ω(
Функциональная схема алгоритма:

125. Дискретная реализация АПЧ

Функциональная схема:
Входной сигнал:
S (i ) S e j ω(i ) t i
Сигнал обратной связи:
DS (i ) 1 e j ω̂(i ) t i cos ˆ (i) j sin ˆ (i)
Сигнал ошибки:
ˆ
e(i ) S (i ) DS (i ) S e j ( ω(i ) ω(i )) t i

126. Система ФАПЧ

Функциональная схема:
Управление частотой генератора осуществляется с
использованием информации о фазе (производная от
частоты), поэтому требуется доп. интегратор в составе СУ
Фазовый детектор:

127. Система ФАПЧ

Фазовый детектор и его дискриминационная характеристика:
Преобразования в фазовом детекторе:
1
uфд Uc sin ωt U г sin(ωt (t )) U cU г (cos (t ) cos(2ωt (t ))
2
1
Сигнал ошибки:
uсо UсUг cos (t )
2

128. Основные соотношения для дискретной системы ФАПЧ

Сигнал на входе ФАПЧ:
S (i ) S e j (i )
Сигнал обратной связи:
DS (i ) 1 e j (i )
Сигнал ошибки:
ˆ
e(i ) S (i ) DS (i ) S e j ( (i ) (i ))
ˆ
Уравнения экстраполяции:
ˆ i)
ˆ (i 1) ˆ (i) t ω(
ˆ (i 1) ω(
ˆ i)
ω
Уравнения фильтрации:
ˆ (i 1) ˆ (i 1) K1 (i 1)
ˆ i 1) ω(
ˆ i) K 2 (i 1)
ω(

129. Синтезаторы частоты

Функциональная схема:
Частота на выходе: fвых fоп Kпкд
Коэффициент передачи СУ: Kv Kфд K у K уг Kпкд
Преобразование частоты с помощью умножителя:
Частота на выходе понижается до f вых f вых mf оп

130. Система автоматической регулировки усиления (АРУ)

Функциональная схема:
На выходе имеем: uвых uвх K ру (u у )
log uвых log uвх log K ру (uу )
При линейной ВАХ усилителя: 20log uвых 20log lg uвх c Ka uу
Вспом. переменная x (uвых uз ) uз
u (1 x)
u
u
u
log uвых log uз log вых log з
log(1 x) 2.3x 2.3 вых з
uз
uз
uз
uвых uз 2.3uз (log uвых log uз )

131. Система автоматической регулировки усиления (АРУ)

Структурная схема:
Входное напряжение при превышении допустимого уровня на
20log uвх 20log uвх0
ПФ по ошибке:
Ошибка АРУ:
We ( p)
xl
1
1 0.115дБ-1KKa uз
1 0.115дБ-1KKa u0

132. Помехоустойчивость следящих измерителей

Дисперсия флуктуационной ошибки:
2
фл
Sп f эф
Для линейного дискриминатора
СПМ сигнала ошибки на выходе: Sп S Kд2
Экв. дисперсия измерения информационного параметра
2g 2 K д2
(в импульсном режиме работы, период имп. Tп
пересчитывается на один импульс)
СПМ ошибка измерения для видеоимпульсов Sп 2gTп

133. Помехоустойчивость следящих измерителей

Отношение сигнал / помеха: q
2E
N
Дисперсия ошибки измерения произвольного параметра
1
(при оптимизированном алгоритме измерения):
2g
2 q 2

134. Помехоустойчивость следящих измерителей

Пример: Расчет ошибки оценки временного положения
сигнала ГНСС ГЛОНАСС (дальномерные измерения)
Задано: период ПСП 1 мс, длительность символа ПСП 2 мкс
С/П: 30 дБ Гц , по мощности Q 1000 Гц , полоса ПУ 15 МГц
Дисперсия задержки по одному символу ПСП:
СПМ для (видео)импульса:
Sп 2g
2g
2 BaQ
1
2 2B Q
2 Ba q
a
Для f эф 10 Гц флуктуационная ошибка измерителя задержки:
2
фл
Sп f эф
2 10 610
2 15 1061000
0.666 10 15
Ошибка по времени фл 2.58 10 2 мкс , по дальности фл 7.74 м

135. Помехоустойчивость следящих измерителей

Пример: Расчет ошибки оценки временного положения
сигнала ГНСС ГЛОНАСС (фазовые измерения)
Задано: период ПСП 1 мс, длительность символа ПСП 2 мкс
С/П: 30 дБ Гц , по мощности Q 1000 Гц , полоса ПУ 15 МГц
Дисперсия задержки по одному символу ПСП: 2g 1 q2 1 ( Q)
СПМ для (видео)импульса: Sп 2g 1 Q
Для f эф 50 Гц флуктуационная ошибка фазового измерителя:
f эф
50
2
фл
0.05
Q
1000
фл 0, 227 рад
При f0 1600 МГц, 18.75 ошибка по дальности фл 6,7 10-3 м

136. 5. Оптимизация систем управления

Основы автоматики и систем автоматического управления
С.-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ», кафедра Радиотехнических систем
5. Оптимизация систем управления
2013

137. Параметрическая оптимизация следящих измерителей

Задача: оптимизация параметров измерителя для
2
минимизации суммарной ошибки σc2 (a1, a2 ,..ai ,..an ) eу2 σфл
Точка экстремума: σ2 (a , a ,...a ) 0
c 1 2
n
ai
Пример 1. Дана ПФ СУ Wр ( p) Kv p , W ( p)
1
1 p Kv
,
входные воздействия: полезное g t Vt и мешающее Sп
2
0.5Sп Kv
Дисперсия флуктуационной ошибки: σфл
Если скорость изменения параметра V имеет вид обобщенного
телеграфного сигнала, тогда динамическая ошибка e2 у V 2 Kv2

138. Параметрическая оптимизация следящих измерителей

Суммарная ошибка измерителя:
σc2 ( Kv ) 0.5Sп Kv V 2 Kv2
Уравнение оптимизации: 0.5Sп 2V 2 Kv3опт 0
Оптимальный коэффициент усиления СУ:
Kvопт 3 4V 2 Sп
Суммарная ошибка при оптимальном значении КУ: σc2 1,19 3 V 2Sп2
Пример 2. Дана ПФ СУ Wр ( p) Ka (1 pτ) p 2 , воздействие g t at 2 2
Оптимальная шумовая полоса СУ: f эф 1 τ K a
Флуктуационная ошибка: σф2 Sп Ka
2
a 2 K a2
Динамическая ошибка: eуст
Уравнение оптимизации: 0.5Sп Ka 0.5 2 a2 Ka3 0
Оптимальный КУ:
4a 2 2 5
K aопт (
)
Sп
Минимальное значение ошибки: σc2 ( Kaопт ) 1.65(a 2Sп4 )1 5

139. Параметрическая оптимизация дискретной СУ

СУ с одним интегратором, входное воздействие содержит
регулярную составляющую g t Vt и аддитивный белый шум
Ур-е ФФ: G(i 1) G(i)
g (i )
G (i ) 1
g 2 (i )
1 t
0 1
0
G (0)
V
Сигнал на входе с учетом помехи: z (i) HG (i) v(i) g1(i ) v(i )
H 10
Разностное ур-е СУ: y (i 1) y (i) k1( z (i) y (i))

140. Параметрическая оптимизация дискретной СУ

Ур-е экстраполяции: P (i) [( I KH ) P (i 1)( I KH )T K 2 K T ] T
Элементы матрицы P11
P11
(1 k1 )2 2 t (1 k1 ) P12
tP22
k12σ 2
экстраполяции:
P12
(1 k1 ) P12
tP22
P22
V 2 3
k1σ
P11
2
2 k1
V 2 t 2
3k12
Уравнение оптимизации: k13 Nk12 4 Nk1 4 N 0
Оптимальное значение:
N
2N
N
k1
2N 2N 1
3
27
3
27
3
2
1
2N
3
2N
2N
N
2N 2N 1
3
27
27
3
k1 t Kv 3 4 N
2
1
3
.

141. Задачи оптимальной фильтрации

Исходные условия: статистические характеристики
информационного сигнала и помех
Решаемые задачи:
- Фильтрация (оптимальное выделение полезного
информационного сигнала на фоне помех)
- Интерполяция (оптимальное восстановление
промежуточных значений по выборочным измерениям)
- Прогнозирование (оптимальная оценка будущих значений
информационного сигнала на основании ряда наблюдений)
Классы оптимальных систем:
- Линейные
- С постоянными параметрами
- Нелинейные
- С переменными параметрами

142. Оптимальный линейный фильтр с постоянными параметрами (частотное описание)

На вход системы поступают полезное воздействие g (t )
и помеха v(t ) , известны их корреляционные свойства
Задача: найти структуру фильтра, обеспечивающую минимум
ошибки xˆ (t )
Частный случай: система, удовлетворяющая условиям задачи
идеального наблюдателя, т.е. x(t ) g (t ) , тогда решение
описывается уравнением Винера-Хопфа

143. Оптимальный линейный фильтр с постоянными параметрами (частотное описание)

Уравнение Винера-Хопфа
h(τ) Rzz (t τ)dτ Rzg (t ) 0,
t 0
z (t ) g (t ) v(t )
Решение определяется только корреляционной структурой
Rzz (t τ) z (T t ) z (T τ)
Rzg (t ) z (τ t ) g (τ)
Пусть СПМ имеет дробно-рациональный вид S (ω)
ПФ оптимального линейного фильтра:
1
jωτ 1
W ( jω)
e
( jω)
2
0
S ( jω)
zg
jωτ
( jω)
e
dωdτ
C (ω2 )
D (ω2 )
( jω) ( jω) S z (ω)
S z (ω) - СПМ процесса z(t ) (смеси сигнал + помеха)
S zg (ω) - взаимная СПМ процессов z(t ), g (t ) (сигнала и помеха)
Нахождение ПФ фильтра требует факторизации СПМ

144. Оптимальный линейный фильтр с постоянными параметрами (частотное описание)

Задача может быть упрощена, если:
- принять информационный сигнал и помеху
некоррелированными S z (ω) S g (ω) Sп
- принять модель белого шума Sп (ω) Sп
Для этого случая решение имеет вид:
W ( jω) 1
Sп
( jω)

145. Оптимальный дискретный линейный фильтр с постоянными параметрами (временное описание)

Сигнал на входе:
Физически нереализуемый фильтр:
Физически реализуемый фильтр:
КИХ-фильтр:
Синтез КИХ-фильтра:
Критерий оптимальности:

146. Оптимальный дискретный линейный фильтр с постоянными параметрами (временное описание)

Решение:
Оптимальные коэффициенты фильтра определяются
уравнениями Юла-Уокера (Yule-Walker):

147. Оптимальный дискретный линейный фильтр с постоянными параметрами (временное описание)

Значение ошибки для оптимального случая:
Для фильтра с бесконечной импульсной характеристикой
Оптимальное решение описывается уравнением
(уравнение Винера-Хопфа в дискретной форме)
Пример. Оптимальный фильтр для ДВЗ-процесса:K ~
ai H 0.5 i 1
H 1.5
H 1 2
0 1

148. Оптимальный линейный фильтр с переменными параметрами

d
Y (t ) AY (t ) BU (t )
Дифф. ур-е СУ:
dt
Z (t ) HY (t ) V (t )
Q (t1 t2 ) - корр. матрица случ. вектора на входе ФФ U (t )
R (t1 t2 ) - корр. матрица случ. вектора помехи V (t )
Уравнение оценки:
d ˆ
Y (t ) AYˆ (t ) K ( Z (t ) HYˆ (t ))
dt
Yˆ (0) Y0
Для вектора ошибки E (t ) Y (t ) Yˆ (t ) корр. матрица:
d
P(t ) ( A KH ) P(t ) P(t )( A KH )T BQBT KRK T , P(0) P0
dt
n
Критерий минимума ошибки: min Sp P(t ) p jj (t )
T
Условие экстремума: 2P(t ) H 2KR 0
j 1
Оптимальное значение коэфф. усиления фильтра: K (t ) P(t ) H T R 1
При этом значение минимальной ошибки:
d
P(t ) AP(t ) P(t ) AT GQGT P(t ) H T R 1HP(t ), P(0) P0
dt

149. Оптимальный линейный фильтр с переменными параметрами

Структура оптимального фильтра (Калман, 1960):

150. Оптимальный дискретный линейный фильтр с переменными параметрами

1. Разностные уравнения: Y (i 1) Y (i) U (i)
Z (i) HY (i) V (i)
2. Оценка экстраполяции: Yˆ (i) Yˆ (i 1)
Ошибка экстраполяции: E (i) Y (i) Yˆ (i) E (i 1) U (i 1)
Корр. матрица
ошибок экстраполяции: P (i) E (i)( E (i))T = P(i 1) T Q
3. Оценка фильтрации:
Yˆ (i) K1(i)Yˆ (i) K (i) Z (i)
Несмещенная оценка:
Yˆ (i) Yˆ (i) K (i)(Z (i ) HYˆ (i ))
Ошибка оценки:
E (i) ( I K (i) H ) E (i ) K (i )V (i )
Результат оптимизации:
K (i) P (i) H T ( HP (i) H T R) 1
Оценка к.м. мин. ошибок: P(i) ( I K (i) H ) P (i)

151. Оптимальный дискретный линейный фильтр с переменными параметрами

Формирующий фильтр
Дискретный фильтр Калмана

152. Оптимальный дискретный линейный фильтр с переменными параметрами

Пример. Фильтр Калмана для оптимального оценивания фазы
формируемого узкополосного колебания.
Пусть скорость изменения фазы описывается винеровским
процессом.
1. Экстраполяция: φˆ г (i) φˆ г (i 1) t ωˆ г (i 1)
ˆ г (i) ω
ˆ г (i 1)
ω
2. Фильтрация:
φˆ г (i) φˆ г (i) k1(i)( z (i) φˆ г (i))
ˆ г (i) ω
ˆ г (i) k2 (i)( z (i) φˆ г (i))
ω

153. Оптимальный фильтр с линеаризацией

Д.у. нелинейного процесса:
d
Y (t ) A(Y (t )) BU (t )
dt
Z (t ) H (Y (t )) V (t )
Функции A(Y (t )) , H (Y (t )) -- нелинейные
Аналитически полное решение найдено Стратоновичем (1960)
На практике часто применяется подход на основе
линеаризации (замены нелинейных зависимостей линейными
эквивалентами):
d
A
A
ˆ
Y (t ) A(Yˆ (t ))
(
Y
(
t
)
Y
(
t
))
BU
(
t
)
ˆ
ˆ Y (t ) C1(t ) BU (t )
dt
Y Y (t )
X X (t )
H
H
ˆ
Z (t ) H (Yˆ (t ))
(
Y
(
t
)
Y
(
t
))
V
(
t
)
ˆ (t )
ˆ (t ) Y (t ) C2 (t ) V (t )
Y
Y
Y
Y
dA
ˆ
C1(t ) A(Yˆ (t ))
ˆ (t ) Y (t )
Y
dY
H
ˆ
C2 (t ) H (Yˆ (t ))
ˆ (t ) Y (t )
Y
Y

154. Оптимальный фильтр с линеаризацией

Заменой переменных Y1(t ) Y (t ) C2 (t )
д.у. сводится к виду:
d ˆ
A
H
ˆ
Y (t )
Y
(
t
)
C
(
t
)
K
(
t
)(
Y
(
t
)
ˆ (t )
ˆ (t ) Y (t ))
1
1
Y
Y
dt
Y
Y
Оптимальное решение на основе линеаризации
(расширенный фильтр Калмана)
d ˆ
Y (t ) A(Yˆ (t )) K (t )[ Z (t ) H (Yˆ (t ))]
dt
H T
1
K (t ) P(t )
R
ˆ
Y Y (t )
d
A
AT
H T
T
1 H
P(t )
P
(
t
)
P
(
t
)
BQB
P
(
t
)
R
ˆ (t )
ˆ (t )
ˆ (t )
ˆ (t ) P(t )
Y
Y
Y
Y
dt
Y
Y
Y
Y

155. Оптимальный фильтр с линеаризацией

Пример. Расширенный фильтр Калмана для дальномера с
импульсным сигналом.
Скорость объекта Vτ моделируется винеровским процессом
Д.у. СУ:
d
Y (t ) AY (t ) BU (t )
dt
Вектор состояния:
τ(t )
Y (t )
V
(
t
)
τ
01
A
0 0
H T
ˆ (t ) U
Y
ˆ
τ τ̂(t
Y Y (t )
Ур-е набл-я: z(t ) U (t τ) v(t )
Расширенный фильтр Калмана:
p11 1
d ˆ (t ) vˆ(t ) U
ˆ
ˆ (t ) [ z (t ) U (t (t ))]
dt vˆ(t ) 0
p12 Sп
H T
1 p11
K (t ) P(t )
R
ˆ (t )
Y
Y
p12
0
B
1
H T
U
ˆ
Y
(
t
)
0
ˆ
τ τ̂(t )
Y Y (t )
p21 U
p11 1
1 1 U
ˆ t)
ˆ t)
τ(
τ(
p22 τ
0 Sп τ
p12 Sп

156. Оптимальный фильтр с линеаризацией

Структура расширенного фильтра Калмана:
k1 p11 Sп
k2 p12 Sп
p11 1
d ˆ (t ) vˆ(t ) U
ˆ
[
z
(
t
)
U
(
t
(
t
))]
ˆ (t )
p S
dt vˆ(t ) 0
12 п

157. Оптимальный дискретный фильтр с линеаризацией

Разностные ур-я системы:
Y (i 1) F (Y (i)) U (i)
Z (i) H (Y (i)) V (i)
F (Y (i))
, H (Y (i)) -- нелинейные функции
Линеаризация:
F
ˆ
Y (i) F (Yˆ (i 1))
ˆ (i 1) (Y (i 1) Y (i 1)) U (i 1)
Y
Y
F
Y (i 1) C1(i 1) U (i 1)
ˆ
Y Y (i 1)
F
ˆ
C1(i 1) F (Yˆ (i 1))
ˆ (i 1) Y (i 1)
Y
Y

158. Оптимальный дискретный фильтр с линеаризацией

1. Оценка экстраполяции
F
ˆ
Yˆ (i )
ˆ (i 1) Y (i 1) C1(i 1)
Y
Y
Yˆ (i) F (Yˆ (i 1))
Корр. матрица ошибок:
F
F T
P (i)=
ˆ (i 1) P(i 1)
ˆ (i 1) Q
Y
Y
Y
Y
Линеаризация в точке экстраполяции:
H
ˆ (i)) V (i)
Z (i) H (Yˆ (i))
(
Y
(
i
)
Y
ˆ
Y Y (i )
H
ˆ Y (i ) C2 (i ) V (i )
Y Y (i )
H
ˆ
ˆ
C2 (i) H (Y (i))
Y
(i)
ˆ
Y Y (i )

159. Оптимальный дискретный фильтр с линеаризацией

2. Уравнение фильтрации Yˆ (i) Yˆ (i) K (i)[Z1(i) H
ˆ (i)]
Y
ˆ
Y Y (i )
Yˆ (i) Yˆ (i) K (i)[ Z (i) H (Yˆ (i))]
Корр. матрица ошибок фильтрации:
T
H T
H
H
1
K (i) P (i)
[
P
(
i
)
R
]
ˆ
ˆ
ˆ
Y Y (i ) Y Y (i )
Y Y (i )
H
P(i) ( I K (i )
)
P
(i )
ˆ
Y Y (i )

160. Оптимальный дискретный фильтр с линеаризацией

Пример. Расширенный фильтр Калмана для дальномерной РНС
x (i )
V (i )
x
Y (i )
y (i )
V (i )
y
Вектор состояния
( xm 2 , ym 2 )
Разностное ур-е
Y (i 1) Y (i) U (i)
1 t
0 1
0 0
0 0
00
00
1 t
0 1
0
u (i )
x
U (i )
0
u y (i )
Ур-е наблюдения:
( xm1, ym1 )
( xm 3 , ym 3 )
R j (i ) ( x(i ) xmj )2 ( y (i ) ymj ) 2
R1(i) v1(i)
Z (i ) H (Y (i )) V (i ) R2 (i ) v2 (i )
R3 (i ) v3 (i )

161. Оптимальный дискретный фильтр с линеаризацией

Оценка экстраполяции: Yˆ (i) Yˆ (i 1)
Оценка фильтрации:
( xm 2 , ym 2 )
По отдельным координатам:
R1
ˆ (i ) cos 1x
Y
x
R1
ˆ (i ) cos 1y
Y
y
По всем координатам:
cos 1x 0 cos 1 y 0
H
ˆ (i ) cos 2 x 0 cos 2 y 0
Y
Y
cos
0
cos
0
3x
3 y
( xm1, ym1 )
( xm 3 , ym 3 )
R j (i ) ( x(i ) xmj )2 ( y (i ) ymj ) 2

162. 6. Комплексирование систем управления

Основы автоматики и систем автоматического управления
С.-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ», кафедра Радиотехнических систем
6. Комплексирование систем управления
2013

163. Комплексирование систем управления

Основная задача комплексирования:
Минимизация принципиальных ошибок, присущих
используемым методам измерения в отдельности
(пример: РНС и ИНС)
Классификация комплексных СУ:
1. По объему используемых априорных данных:
- Описание комплексированной СУ в виде единого объекта
(с помощью единого д.у. высокого порядка либо системы д.у.,
включая текущую информацию о входных данных)
- Комплексирование на основе принципа инвариантности
(без использования текущей информации о входных данных)

164. Комплексирование систем управления

Классификация комплексных СУ:
2. По глубине интеграции:
- Слабая
(без ОС между
измерительными
устройствами)
- Глубокая
(с ОС между
измерительными
устройствами)

165. Комплексирование на основе принципа инвариантности

Схема компенсации:
Фильтр с ПФ Wк ( p) оптимальным образом выделяет оценку
помехи vˆ1(t )
Ошибка
e(t ) y (t ) g (t ) v1(t ) vˆ1(t )
Максимальная эффективность комплексирования достигается
при минимальном перекрытии спектров ошибок измерителей

166. Комплексирование на основе принципа инвариантности

Фильтрация шумов:
ИНС
W1( p)
pT
1 pT
РНС
W2 ( p)
Схема фильтрации, эквивалентная схеме компенсации:
W1( p) (1 Wк ( p))
W2 ( p) Wк ( p)
e( p) v1( p)W1( p) v2 ( p)W2 ( p)
y ( p) z1( p)W1( p) z2 ( p)W2 ( p)
1
1 pT

167. Комплексирование дальномерного и фазового измерителей запаздывания сигналов в РНС

1. Дальномерный канал: измеряют запаздывание сигнала τк (t )
τк (t ) τ(t ) vк (t ) - с учетом случайной ошибки
2. Фазовый канал: измеряют запаздывание τ φ (t ) как ф-ю фазы
τφ (t ) τ(t ) vφ (t ) Nλ c - с учетом случайной ошибки и ошибки
неоднозначности фазы
Схема комплексирования:
Wк ( p)
1
1 pT
Wφ ( p)
pT
1 pT

168. Комплексирование дальномерного и фазового измерителей запаздывания сигналов в РНС

Ошибка комплексирования каналов в СРНС ГЛОНАСС
1. Дальномерный канал:
Sп 2g
2 BaQ
2.6 10 8 с
7.7 м
2. Фазовый канал:
Sп 2g 1 Q
0,227 рад
6,7 10-3 м
3. Комплексированный измеритель:
] T 100c , K v T 1 , период поступления измерений t 1c
2
Sп ф
t 7.74 м
2
σ τ Sп f эф σф
2T 1.82 10 9 с
0.55м

169. Цифровой алгоритм комплексирование дальномерного и фазового измерителей запаздывания сигналов в РНС

Фильтры в измерительных каналах СУ:
d
1
yк (t ) Kv ( к (t ) yк (t )) ( к (t ) yк (t ))
dt
T
Wк ( p ) Kv p 1 pT
d
d
1
y (t ) (t ) y (t ))
dt
dt
T
Wφ ( p) pTWк ( p)
Оценка запаздывания в комплексированной СУ:
d
d
1
1
ˆ (t ) (t ) ˆ (t ) к (t )
dt
dt
T
T
Разностное ур-е:
τˆ (i 1) τˆ (i) τφ (i 1) τφ (i)
Оценка экстраполяции:
Оценка фильтрации:
t
(τк (i) τˆ (i))
T
ˆ i) τφ (i 1) τφ (i)
τˆ (i 1) τ(
ˆ i) τˆ (i)
τ(
t
(τк (i) τˆ (i))
T

170. Комплексирование дальномера и датчика воздушной скорости

Схема комплексирования:
1 – измерения дальности d (t ) с помощью РТС ( v(t ) - помеха РТС)
2 – ФФ измер. воздушной скорости ( Vв - проек. скорости ветра)
3 – модель автономных измерений

171. Комплексирование дальномера и датчика воздушной скорости

Схема комплексирования:
ПФ каналов комплексного измерителя:
1
1
K м K д ( τ)
K K ( pτ 1)
p
p
W1 ( p)
2 м д
1
1 p K м K д ( pτ 1)
1 K м K д ( τ)
p
p
1
p2H
p
W2 ( p)
1
1 p 2 Kм K д ( pτ 1)
1 Kм K д ( τ)
p
p
pH

172. Комплексирование дальномера и датчика воздушной скорости

Оценка помехоустойчивости комплексного измерителя:
1. Дальномерный канал
Ka Kм Kд
W1 ( p )
Kм K д ( pτ 1)
p 2 Kм K д ( pτ 1)
σc2 1.65(a 2Sп4 )1 5
2. Канал измерителя воздушной скорости
W3 ( p) W2 ( p) p
R(τ)
S0 τ
e
2Tv
Tv
σv2e
τ Tv
S0
S ( )
1 ω2Tv2
pH
p 2 Kм Kд ( pτ 1)
W3 ( p)
p
p2 p Ka Ka
Дисперсия ошибки комплексного измерителя:
S
2д 0
2
2
S ( ) W3 ( j ) d
S0
4 K a (1 K a Tv K aTv2 )

173. Комплексирование дальномера и датчика воздушной скорости

Дисперсия ошибки комплексного измерителя:
S
2д 0
2
] Sп 300 м 2с
a 10 м/c 2
S0
2
S ( ) W3 ( j ) d
4 K a (1 K a Tv K aTv2 )
σv 5,5 м/c
1. Без комплексирования K a 1,12
2. С комплексированием
Tv 1 c
σ c2 396 м 2

174. Комплексирование с использованием информации о текущих входных данных

Д.у. вх. данных и медленных составляющих ошибок измерений
Y1 (t )
- вектор входных данных
Y2 (t ) - вектор медленных
составляющих ошибки
Ур-е наблюдения:
Для комплексированной СУ:
Y (t )
Y (t ) 1
Y2 (t )
U1(t )
U (t )
U 2 (t )
Д.у. комплексированной СУ:
Z (t ) H1Y1(t ) H 2Y2 (t ) V (t )
H H1 H 2
Q1 0
A1 0
Q
A
0 Q
2
0 A2
B1 0
B
0 B2

175. Комплексирование с использованием информации о текущих входных данных

Ур-я наблюдения: z1 (t ) Vo (t ) Vв (t )
z2 (t ) s(t ) v(t )
Ур-е наблюдения комплексной СУ:
z1 (t )
0 1 01
Z (t )
H
1 0 0 0
z
(
t
)
2
- воздушной скорости
- дальномерные изм-я
Z (t ) HY (t ) V (t )
0
V (t )
v
(
t
)
Громоздкая структура комплексного измерителя
(по 1 координате размерность 4, по трем – 12)
Упрощенное решение на основе принципа инвариантности:
t
t
z (t ) z2 (t ) z1(τ)dτ Vв (τ)dτ v(t )
0
0
t
t
0
0
s(t ) Vo (τ)dτ ( z1(t ) Vв (τ))dτ
d
1
1
Vв (t ) Vв (t ) uв (t )
dt
Tв
Tв
d
s(t ) z1(t ) Vв (t )
dt

176. Комплексирование с использованием информации о текущих входных данных

Упрощенное решение на основе принципа инвариантности:
t
t
z (t ) z2 (t ) z1(τ)dτ Vв (τ)dτ v(t )
t
0
0
t
s(t ) Vo (τ)dτ ( z1(t ) Vв (τ))dτ
0
0
Д.у. инвариантной комплексной СУ:
s(t )
Y (t )
Vв (t )
U (t ) uв (t )
z1 (t )
C (t )
0
d
1
1
Vв (t ) Vв (t ) uв (t )
dt
Tв
Tв
d
s(t ) z1(t ) Vв (t )
dt
d
Y (t ) AY (t ) BU (t ) C (t )
dt
0 1
A
0 1 Tв
0
B
1 Tв
(размерность в 1 канале сокращена до 2, в трех – до 6)

177. 7. Дискретно-импульсные системы управления

Основы автоматики и систем автоматического управления
С.-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ», кафедра Радиотехнических систем
7. Дискретно-импульсные
системы управления
2013

178. Дискретно-импульсные системы управления

Причины описания СУ дискретно-импульсными моделями:
1. Использование цифровой элементной базы (дискретизация
и квантование по уровню информационных сигналов)
2. Использование импульсной модуляции в канале
3. Воздействие сосредоточенных во времени помех
Моделируется с использованием импульсного элемента (ИЭ):

179. Дискретно-импульсные системы управления

Для представления сигнала с короткими импульсами
относительно периода их повторения (Δτ<< Δt) используется
модель идеального импульсного элемента (ИИЭ)
На выходе ИИЭ формируется
решетчатая ф-я:
*
x (t )
x(ti )δ(t ti ),
i 0
Формирующий элемент задает форму
импульсов (напр. прямоугольную):
1 e τ p 1 - e τp
Wфэ ( p) L{1(t ) 1(t )}
.
p
p
p

180. Дискретный эквивалент непрерывной СУ

1.
Д.у. СУ заменяется разностным уравнением
Y (ti 1) ( I FΔt )Y (ti )
ti 1
[ I F (ti 1 η]Kg (η)dη
ti
Y (ti ) t[ FY (ti ) Kg (ti )],
2.
Y (t0 ),
i 0,1,2,...
На практике используется приближенное интегрирование
dY (t ) Y (ti 1) Y (ti )
dt
Δt
3.
Дискретная модель безошибочно описывает непрерывную СУ, если
выполняется условие теоремы Котельникова
π
π
1
1
t tн
ср 2πfср 2 fср 2 fв

181. Свойства решетчатой функции

xн* (t )
Решетчатая ф-я:
Ее пр-е Лапласа: L{x
*
*
(t )} x (t )e
0
x(i)δ(t / t i).
i 0
pt
dt
x(ti )δ(t ti )e
0 i 0
pt
dt
x(ti )e pti Fд ( p).
i 0

182. Z – преобразование

Для несмещенной решетчатой ф-и:
Для смещенной решетчатой ф-и:
Примеры z – преобразований:
Z {x(ti )}
Z{x(ti , )}
x(ti ) z i .
i 0
x(ti , ) z i .
i 0

183. ПФ дискретного эквивалента СУ

Разностное ур-е СУ: a0 y (ti ) a1 y (ti 1 ) ... an y (ti n )
b0 g (ti ) b1g (ti 1) ... bm g (ti m ),
Его z – преобразование:
y( z )(a0 a1z 1 ... an z n ) g ( z )(b0 b1z 1 ... bm z m ),
ПФ дискретной СУ:
y ( z ) b0 b1z 1 ... bm z m
W ( z)
.
1
n
g ( z ) a0 a1z ... an z

184. ПФ дискретного эквивалента СУ

Описание СУ в ПС: Y (ti ) Y (ti 1) Kg (ti ),
y(ti ) HY (ti ),
Его z – преобразование: Y ( z ) z 1Y ( z ) Kg ( z ),
y ( z ) HY ( z ).
ПФ дискретной СУ:
W ( z)
Пример: СУ 1-го порядка
y( z )
H ( zI ) 1 zK .
g ( z)
y (ti ) y (ti 1) K t[ g (ti ) y (ti 1)],
y (t0 ) 0.
y( z ) z 1 y( z ) K t[ g ( z ) z 1y( z )].
W ( z)
KΔt
Wр ( z )
,
1 W ( z) z 1
z 1 y ( z )
KΔtz 1
KΔt
W ( z)
.
1
g ( z)
z ( KΔt 1)
1 ( KΔt 1) z

185. Частотные характеристики дискретного эквивалента СУ

ПФ дискретной СУ 1-го порядка:
W ( jω)
z e jω t cosω t j sin ω t
KΔt
.
cosωΔt j sin ωΔt ( KΔt 1)
Для непрерывной СУ 1-го порядка:
Wр ( p ) K / p,
Для дискретного эквивалента:
KΔt
K
W ( jω)
.
1 jωΔt KΔt 1 K jω
W ( jω)
K
.
K jω

186. Частотные характеристики дискретного эквивалента СУ

Описание СУ 2-го в ПС:
y1(ti ) 1 K1 t
y (t ) K t
2
2 i
H 1 0 ,
t y1(ti 1) K1 t
g (ti ),
1 y2 (ti 1) K 2 t
1 K1 t
K 2 t
ПФ дискретной СУ: W ( z )
t
,
1
y1(t0 ) 0
y (t ) 0 ,
2 0
K1 t
K
.
K
t
2
K1Δtz ( K1Δt K2Δt 2 )
2
2
( z 1) K1Δtz ( K1Δt K2Δt )
Wр ( z )
i 1,2,3,...
K1Δtz ( K1Δt K 2Δt 2 )
( z 1)
2
,
.

187. Частотные характеристики дискретного эквивалента СУ

z e jω t cosω t j sin ω t
Z – преобразование:
ПФ непрерывного эквивалента СУ:
K
1 K p K2 Kа (1 pτ)
Wр ( p) ( 2 K1) 1
, Kа K2 , τ K1 /K 2.
2
2
p
p
p
p
W ( jω)
W ( jω)
K1 jω K 2
2
( jω) K1 jω K 2
K1Δt 2 jω+K2Δt 2
2
2
( jωΔt ) K1Δt jω+K 2Δt
2
.
K1 jω+K 2
2
( jω) K1 jω+K 2
.
Низкочастотные асимптоты частотных ПФ непрерывных СУ
1-го и 2-го порядков и их дискретных эквивалентов совпадают

188. Связь характеристик дискретной и непрерывной СУ

Связь ПФ дискретной СУ с переходной характеристикой ее
непрерывного эквивалента:
W ( z)
z
H ( z ),
z 1
Связь ПФ эквивалентных дискретной и непрерывной СУ
(билинейное преобразование, или преобразование Тастина):
2 z 1
p
,
t z 1

189. Связь характеристик дискретной и непрерывной СУ

Пример: СУ 2-го порядка
y1(ti ) 1 K1 t t (1 K1 t ) y1(ti 1) K1 t
g (ti ),
y (t )
2 y (t ) K t
1 K 2 t 2 i 1 2
2 i K2 t
ПФ дискр. эквивалента:
W ( jω)
W ( z)
y1(t0 ) 0
y (t ) 0 .
2 0
K1Δtz ( K1Δt K 2Δt 2 )
2
2
z ( 2 K1Δt K 2Δt ) z (1 K1Δt )
K1 jω+K 2
( jω)2 ( K1 K 2 t ) jω+K 2
.

190. Связь характеристик дискретной и непрерывной СУ

Пример: дана ПФ непрерывной СУ W ( p)
Воспользуемся преобразованием Тастина:
K1 p +K 2
2
p K1 p +K 2
.
2 z 1
p
t z 1
ПФ дискр. эквивалента:
W ( z)
(2 K1Δt K 2Δt 2 ) z 2 K 2Δt 2 z ( 2 K1Δt K 2Δt 2 )
2
2
2
2
(4 2 K1Δt K2Δt ) z ( 8 2 K 2Δt ) z (4 2 K1Δt K 2Δt )
.
N.B. Прямое и обратное преобразования Тастина
(переход от дискретной СУ к ее непрервыному эквиваленту и
наоборот) позволяют применять все разработанные методы
анализа устойчивости, точности, помехоустойчивости и др.,
разработанные как для дискретных, так и для непрерывных СУ

191. Дискретно-непрерывные СУ

ПФ дискретно-непрерывной СУ
W ( z)
y( z, )
.
g ( z)
ПФ приведенной непрерывной части СУ:
W ( p)
Wп ( p) Wфнп ( p)Wн ( p) (1 e pΔt ) н
.
p
Ее z – преобразование: Wп ( z, ) (1 z 1)Wн ( z, ).
Реакция системы с учетом инерционности: x(ti ) g (ti ) y(ti 1,ε) ε 1.
x( z ) g ( z ) z 1 y ( z,ε)
Ее z – преобразование:
Сигнал на выходе: y ( z,ε) x( z )Wп ( z,ε).
ПФ всей СУ: W ( z,ε)
Wп ( z,ε)
1
1 z Wп ( z,ε) ε 1
, Wп ( z,ε) ε 1
y ( z,ε) ε 1
x( z )
.
ε 1

192. Дискретно-непрерывные СУ

Пример: СУ 1-го порядка Wн(p)=K/p
Z – преобразование для непрерывной части СУ:
W ( p)
K tz 1
Wн ( z, ) Z{ н }
(
ε).
p
z 1 z 1
ПФ приведенной части СУ:
Wп ( z, ) K t (
ПФ всей СУ:
W ( z)
1
ε).
z 1
Wп ( z,ε) ε 0
1 z 1Wп ( z,ε) ε 1
K t
z ( K t 1)

193. СУ с конечным временем съема данных

Моделирует работу СУ с переменными параметрами
с неидеальным импульсным элементом,
когда время замыкания ИЭ сопоставимо с его периодом
(ранее примененное приближение Δτ<< Δt не выполняется):
Обычно применяется для описания работы СУ с замираниями,
выборочным поступлением информации и т.п.
СУ с переменными параметрами – описание возможно
только во временной области

194. СУ с конечным временем съема данных

Модель ключа:
K,
K (t )
0,
ti t ti τ
ti τ t ti 1
(ключ замкнут),
(ключ разомкнут),
Временное описание СУ сводится к системе из 2-х д.у.,
используемых попеременно (метод припасовки):
dY (t )
dt ( A KH )Y (t ) Kg (t ), Y (ti ), ti t ti τ,
dY (t ) AY (t ), Y (t τ), t τ t t .
i
i
i 1
dt
Решение 1-го д.у. является н.у. для 2-го на момент размыкания
ключа:
Y (ti Δτ) e( A KH )ΔτY (ti ).
Решение 2-го д.у. является н.у. для 1-го на момент замыкания
ключа:
A(Δt Δτ)
Y (ti 1) e
Y (ti Δτ).

195. СУ с конечным временем съема данных

Разностное ур-е эквивалентной СУ:
Y (ti 1) e A(Δt Δτ)e( A KH )ΔτY (ti )
Переходная матрица экв. СУ: э e A(Δt Δτ)e( A KH )Δτ
Характеристическое ур-е экв. СУ: det( zI э ) 0
Используя характерист. ур-е, можно выполнить анализ
устойчивости, точности, помехоустойчивости СУ
рассмотренными ранее методами для непрерывных СУ
Реализация СУ с конечными временем съема данных и
непрерывной обработкой сигнала:

196. СУ с конечным временем съема данных

Реализация СУ с конечными временем съема данных
и дискретной обработкой сигнала:
] Δτ=nδt ,
Δt=(n+m)δt ,
tk=kδt
K ,
0,
Алгоритм работы ключа: K (tk )
ti tk ti τ
ti τ tk ti 1
(ключ замкнут),
(ключ разомкнут),
1. Работа СУ при замкнутом ключе (есть входной сигнал):
Y (tk ) Y (tk 1) K [ g (tk ) H Y (tk 1)], Y (ti ).
2. Работа СУ при разомкнутом ключе (пауза входного сигнала):
Y (tk ) Y (tk 1), Y (ti ).

197. СУ с конечным временем съема данных

Проверка устойчивости СУ с конечным временем съема
данных:
1. Находим разностное ур-е для моментов размыкания ключа
τi=ti+Δτ
Y (τi ) [( I KH ) ]n mY (τi 1).
2. Находим дискретный эквивалент такой СУ
э n m ; ( I KH )

198. СУ с конечным временем съема данных

1 δt
K
1
Пример: СУ 2-го порядка
,
K
, H 1 0 .
0 1
K2
Характеристическое ур-е:
z 2 z sp э det э 0
В результате факторизации получим:
1 K1 (1 K1)δt
.
K
1
K
δ
t
2
2
n
n
n
n
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ1
2 ( K1 K2δt )
( K1 K2δt )2
n
1
2
1
2
2
I , ψ1,2
K2δt .
2
4
ψ1 ψ2
ψ1 ψ2
Переходная матрица:
1 mδt
0 1
m
ψ1n ψ2n
ψ1n ψ2 ψ2n ψ1
ψ1n ψ2n
m
m
sp э sp( )
sp( )
sp -mK2δt
ψ1n ψn2 .
ψ1 ψ2
ψ1 ψ2
ψ1 ψ2
n m
det э [det( I KH )]n (det )m n (1 K1)n .

199. СУ с конечным временем съема данных

Оценка устойчивости выполняется с помощью алгебраического
критерия:
1. m=0 , n=1 (нет пауз входного сигнала) – решение идентично
эквивалентной непрерывной СУ
2. m>>n (длительные паузы входного сигнала) – предельный
режим устойчивости K1=K2δt=1

200. 8. Нелинейные системы управления

Основы автоматики и систем автоматического управления
С.-Петербургский государственный электротехнический университет
«ЛЭТИ», кафедра Радиотехнических систем
8. Нелинейные системы управления
2013

201. Нелинейные системы управления

Типичные виды статистических характеристик нелинейных СУ:
1. Функции с переменной крутизной (функции с эффектом
«насыщения», тригонометрические функции)
2. Кусочно-линейные функции
3. Релейные функции
Подходы к анализу нелинейных СУ:
1. Анализ нелинейной системы во временной области
(с использованием описания нелинейными д.у.)
2. Нахождение линейной СУ, в заданном режиме работы
эквивалентной исходной нелинейной СУ (линеаризация)

202. Нелинейные системы управления

Специфика анализа нелинейных СУ:
1. Не выполняется принцип суперпозиции (в т.ч. по ошибке,
т.е. флуктуационная и динамическая составляющая ошибки
не могут быть рассчитаны независимо)
2. Не выполняется принцип коммутативности (нельзя
переставлять местами линейные и нелинейные звенья)
3. Отличное от линейных СУ понятие устойчивости,
возможность устойчивых автоколебательных режимов
-- Устойчивость при малых расстройках:
δ : x δ y f x ε
-- Устойчивость при произвольных расстройках:
δ : x δ y f x ε

203. Анализ нелинейной системы ФАПЧ

Структура нелинейной системы ФАПЧ:
Нелинейный ФД:
Д.у. СУ:
Ошибка СУ:
f (φс φг ) A sin(φс φг ),
dφг (t )
н AK уг sin[φc φг (t )],
dt
δφ(t ) φг (t ) φс
dδφ(t )
Д.у. СУ по ошибке:
н AK уг sin(δφ(t )),
dt
φг (t0 ).
δφ(t0 ).

204. Анализ нелинейной системы ФАПЧ

Графическое решение д.у. СУ по ошибке: δφ(t ) Δωн 2π Δfн ,
1. Нулевая расстройка
(ошибка отсутствует)
2. Малая расстройка
(в пределах полосы
удержания)
3. Расстройка достигает
границы полосы удержания
(срыв слежения ФАПЧ)
AK уг
Kv

205. Анализ нелинейной системы ФАПЧ

При уменьшении расстройки Δωн<Δωз СУ входит в режим
слежения
В рассмотренном примере для СУ 1-го порядка Δωу = Δωз ,
т.е. полоса удержания равна полосе захвата
При наличии инерционных звеньев Δωз ≤ Δωу
Точная оценка Δωз может быть выполнена при анализе
нелинейной СУ во временной области (напр. методом ПС)

206. Гармоническая линеаризация

Схема замещения НЭ при гармонической линеаризации:
x(t)=a sinωt
НЭ
Wл(p)
–
E{y(t)} -› 0
ФНЧ
Wн(p)
Критерием эквивалентности является равенство амплитуд
первой гармоники сигнала на выходе НЭ и сигнала на выходе
эквивалентного линейного элемента.
Влияние высших гармоник не учитывается за счет ФНЧ:
Wл ( jωk ) Wл ( jω) ,
k 2,3,...

207. Гармоническая линеаризация

Схема замещения НЭ при гармонической линеаризации:
ФНЧ
x(t)=a sinωt
❶
НЭ
❷
Wн(p)
Wл(p)
Wл(p)
❹
–
❸
E{y(t)} -› 0
❻
❺
❷ y(t)=f(a sinωt) Разложение в ряд Фурье:
y(t)=f(a sinωt)=c0+s1 sinωt+c1 cosωt+ s2 sin2ωt+c2 cos2ωt+…
1 2π
c0
f (a sin ωt )dωt 0
2π 0
❸ y (t ) s1 sin ωt c1 cosωt ,
1 2π
1 2π
s1 f (a sin ωt )sin ωtdωt , c1 f (a sin ωt )cosωtdωt.
π 0
π 0

208. Гармоническая линеаризация

Поиск линейного эквивалента:
s1
c1 dx(t )
1 dx(t )
'
y(t ) x(t )
q(a) x(t ) q (a)
, q(a)=s1/a; q’(a)=c1/a
a
aω dt
ω dt
p
y ( p) [q(a) q (a) ]x( p).
ω
'
ПФ линейного эквивалента НЭ:
y ( p)
p
'
Wн ( p, a)
q(a) q (a) .
x( p )
ω
ЧХ линейного эквивалента НЭ:
Wн (a) q(a) jq' (a),
s12 c12
2
'
2
Wн (a) [q(a)] [q (a)]
a
q ' (a)
φ(a) arctg
q(a)

209. Гармоническая линеаризация

Пример 1: линеаризация реле с зоной нечувствительности.
c, x b,
y 0, x b,
c, x b.
1 2π
Wн ( a ) q( a )
f (a sin ωt )sin ωtdωt
πa 0
π/2
4c
4c
sin ωtdωt cosφ1.
πa φ
πa
1
cosφ1 1
b2
a
2
.
Пример 2: идеальное реле. b=0
4c
b2
Wн (a) q(a)
1 ,
πa
a2
Wн (a)
4c
.
πa
a b.

210. Автоколебательный режим нелинейной СУ

Условия возникновения автоколебаний:
ПФ разомкнутой СУ (после гармонической линеаризации)
Wр ( p, a) Wн (a)Wл ( p).
Условие возникновения автоколебаний (по критерию Найквиста):
Wр ( jω, a) 1
Условие возникновения устойчивого автогенераторного режима:
Wл ( jω) Wн 1(a)
Wн (a)Wл ( jω) 1.

211. Статистическая линеаризация

Схема замещения НЭ при статистической линеаризации:
ФНЧ
x(t) – СП
❶
НЭ
❷
Wн(p)
Wл(p)
Wл(p)
❹
E [ y (t ) y1(t )]2 min
–
❸
❻
❺
1
p
(
x
)
e
❶ Нормальная ПВ входного сигнала:
2πσ x
( x mx ) 2
2σ 2x
Рассмотрим отдельно постоянную и флуктуационную
составляющие: x(t)=mx+xо(t);
y(t)=my+yо(t)
❹ y1(t ) K0mx K1xо (t ),
K0 и K1 – коэффициенты статистической линеаризации
Критерий эквивалентности: m y m y1,σ2y σ2y1
,

212. Статистическая линеаризация

Определение коэффициентов статистической линеаризации:
1. my1=K0mx=my
1
K0
f ( x) p( x)dx.
mx mx
2. 2y1 K12 x2 2y ,
1 2
2
K1
f
(
x
)
p
(
x
)
dx
m
y.
2
σ x σ x
my
σ2y

213. Статистическая линеаризация

Пример: статистическая линеаризация идеального реле.
p( y ) p1δ( y c) p2δ( y c).
my
c
0
u
f ( x ) p( x )dx
f ( x ) p( x )dx c f ( x ) p( x )dx
0
x mx
,
σx
mx /σ x
1
1
u 2 /2
u 2 /2
m y c
e
du
e
du 2c (mx / σ x ),
2π m /σ
2π
x x
1
( mx / σ x )
2π
mx /σ x
0
e
u 2 /2
du
K0 (mx ,σ x )
2c
(mx / σ x ).
mx

214. Статистическая линеаризация

Пример: статистическая линеаризация идеального реле.

215. Статистическая линеаризация

Пример: статистическая линеаризация идеального реле.
σ2y
f 2 ( x) p( x)dx m2y c 2 4c 2 2 (mx / σ x ).
1/2
c
2
K1(mx ,σ x )
1 4 (mx / σ x ) .
x

216. Статистическая линеаризация

Пример: статистическая линеаризация идеального реле.

217. Статистическая линеаризация

Обобщенный критерий статистической линеаризации:
E [ y (t ) y1(t )]2 min.
Выделим постоянную и флуктуационную составляющие:
m2y σ 2y K02mx2 K12σ 2x 2 K 0mx m y 2 K1E x о (t ) y о (t ) min,
2 K1E xо (t ) y о (t ) 2 K1E xо (t )[ y (t ) m y ] 2 K1E xо (t ) y (t ) .
Искомые коэффициенты стат. линеаризации:
K0mx m y 0, K1 x2 E{x o (t ) y (t )} 0
1
1
1
o
K0
f ( x) w( x)dx, K1 2 E{x (t ) y(t )} 2 ( x mx ) f ( x)w( x)dx.
mx mx
σx
σ x
my
Критерии стат. линеаризации эквивалентны при гауссовском
входном воздействии (когда p(x) полностью определяется mx,σx)

218. Статистическая линеаризация

Анализ нелинейной СУ методом статистической линеаризации:
Выделим пост. сост.: x(t)=mx+ xо(t), y(t)=my+ yо(t), z(t)=mz+ zо(t).
Показатели качества стат. линеаризации:
Динамическая составляющая ошибки: mx=g-mz
Дисперсия флуктуационной ошибки: σ2z E{[ z o (t )]2}.

219. Статистическая линеаризация

Искомые ПФ в разомкнутом состоянии:
Wр1(p) K0 (mx ,σ x )Wл ( p)
Wр2 (p) K1(mx ,σ x )Wл ( p)
Задача решается путем нахождения решения системы уравнений
относительно mx,σx
Пример: пусть НЭ – идеальное реле, ФНЧ Wл ( p)
имеет СПМ вида Sп (ω)
Тогда:
2τσv2
2 2
1 ω τ
K0 (mx ,σ x ) K
1
Wр (p)
,
,
K
, шум v(t)
p
K1(mx ,σ x ) K
2
Wр (p)
.
p
p
Дисперсия флуктуационной
составляющей на выходе:
2
σ 2x
2
1
1
1
2 1
S
(ω)
d
ω
=
2τσ
dω
п
v
2
2
2π
2π K1 ( m x ,σ x ) K [1 K1( m x ,σ x ) Kτ] jω+τ( jω)
1 Wр ( jω)
σ2v
=
.
1 K1(mx ,σ x ) Kτ

220. Статистическая линеаризация

При mx=0 K1(mx ,σ x )
c
x
,
σ 2x
σv2
cKτ
(cKτ)2
, σx
σv2 .
cKτ
2
4
1
σx
При g(t)=Vt динамическая составляющая ошибки может быть
найдена из уравнения:
V
mx =
K0 (mx ,σ x ) K
Замена переменных: α K0 (mx ,σ x )mx m y ,
V
α .
K
2
2
W ( jω)
Дисперсия флукт. ошибки: σ 2z 1 Sп (ω) р 2
dω=
2π
1 Wр ( jω)
2
K1(m*x ,σ*x ) Kτσ v2
K
2 1
2τσ v
dω=
2π K1(mx ,σ x ) K [1 K1(mx ,σ x ) Kτ] jω+τ( jω)2
1 K1(m*x ,σ*x ) Kτ

221. Статистическая линеаризация

Решение удобно найти графическим способом:

222. Анализ нелинейных СУ с использованием марковских моделей случайных процессов

Отсчет марковского СП зависит только от предшествующего
отсчета, но не от более ранних
Пример линейного марковского СП: авторегрессионный (АР)
СП 1-го порядка:
с АКФ вида K(τ) ~
Систему, порождающую нелинейный марковский СП, в общем
виде можно описать с помощью д.у. вида
dX (t )
F [ X (t )] Kv(t ),
dt
X (t0 ),
F[X(t)] – векторная нелинейная функция

223. Анализ нелинейных СУ с использованием марковских моделей случайных процессов

При этом изменения ПВ p[X(t),t] данного СП описывает ур-е
Фоккера-Планка-Колмогорова:
p[ X (t ), t ]
L { p[ X (t ), t ]},
t
n
1 n n 2
L { p[ X (t ), t ]}
( F [ X (t )]*{})
i
( KSп K T *{})
ij
2 i 1 j 1 xi x j
i 1 xi
оператор сдвига
оператор расширения
F[X(t)] – отражает скорость изменения математического
ожидания СП X(t) (коэффициент сноса)
KSп K T – отражает интенсивность флуктуаций
(коэффициент диффузии)
Решение обычно находят численными методами,
аналитическое решение известно для СУ невысоких порядков

224. Анализ нелинейных СУ с использованием марковских моделей случайных процессов

dx(t )
Пример. СУ описывается д.у. вида
[V Kf ( x)] Kv(t ).
dt
Ур-е ФПК:
p( x, t )
1 2 2
([V Kf ( x)] p( x, t )) K Sп
p ( x, t ),
2
t
x
2
x
p( x, t0 ) δ( x x0 ).
1. В установившемся (стационарном) режиме: p[ x, t ] p( x).
p[ x, t ]
0
t
1 2 dp( x, t )
[
V
Kf
(
x
)]
p
(
x
,
t
)
K Sп
0.
При
решение
2
dx
x
Тогда ПВ имеет вид p( x) C1 exp{ 22 [V Kf ( )]d },
Например:
K Sп 0
2
- Линейная ДХ: f(x)=x , p( x) C2 exp{ x 2 2σф
},
2
σф
Sп K / 2.
- Релейная ДХ: f(x)=sign(x) , p( x ) C3 exp{ x σф2 }.

225. Анализ устойчивости нелинейных СУ с использованием марковских моделей случайных процессов

Дискриминационная характеристика:
Рабочая апертура ДХ [γ1, γ2]
Граничные условия устойчивости:
p[ x γ1, t ] p[ x γ 2 , t ] 0
(далее происходит срыв слежения)
Для СУ 1-го порядка м. превести ПВ к виду p( x, t ) p( x)exp( t ),
exp( t ) определяет вероятность срыва слежения
Стационарный режим работы (без срывов) при exp( t ) 1
d
1 2 d2
На основании решения д.у. Λp( x) ([V Kf ( x)] p( x)) K Sп 2 p( x).
x
2
x
1 2 dp( x)
Получим [V Kf ( x)] p( x) K Sп
G ( x), где для обеспечения
2
x
стационарного режима необходимо и достаточно G(x) = 0

226. Анализ устойчивости нелинейных СУ с использованием марковских моделей случайных процессов

Обобщенно для 2-х граничных условий:
1 2 dp( x) G (γ1), x mx ,
[V Kf ( x)] p( x) K Sп
2
x
G (γ 2 ), x mx .
G(γ1) G(γ2 ) .
При смещенной оценке (существенно отличное от нуля среднее
значение) mx >> 0 можно учитывать только одну границу
(вторая на практике почти никогда не будет достигаться), тогда:
K S (mx )
G(γ1)
π S ( x1)
1/2
exp{
2
2
x1
[V Kf ( )]d },
K Sп m
x
S(mx) и S(x1) – крутизна дискриминационной характеристики в
точках устойчивого mx
2 K S ( mx )
Λ G γ1
π S ( x1 )
1/ 2
x
2 1
exp{
f ( )d }; Pсрыва слеж. (t0 ) 1 exp( t0 )
KSп m
x

227. Анализ устойчивости нелинейных СУ с использованием марковских моделей случайных процессов

Альтернативный вариант – анализ
статистик выбросов СП
Если отсчеты СП на входе независимы,
распределение выбросов имеет вид
(νt0 )n
p(n, t0 )
exp( νt0 ), γ σ x ,
n!
p(n,t0) – вероятность появления за время t0 ровно n выбросов;
ν – средняя частота выбросов (среднее число пересечений процессом x(t)
граничного уровня γ в одном направлении в единицу времени);
σx – среднеквадратическое значение случайного процесса x(t);
условие γ>>σx соответствует малой вероятности срыва слежения.
Вероятность появления хотя бы одного выброса за время t0
W (t0 ) 1 p(0, t0 ) 1 e νt0 .,
откуда W (t0 ) 1 e (ν1 ν2 )t0 , где ν1 и ν2 – средние
частоты пересечения уровней γ1=γ-mx и γ2=γ+mx.

228. Анализ устойчивости нелинейных СУ с использованием марковских моделей случайных процессов

Решения для типовых ПФ СУ:
Средняя частота
пересечения уровня γ
относительно просто
рассчитывается для
линейной (в пределах
апертуры [-γ, γ])
дискриминационной
характеристики с
известной крутизной S:
γ2
2
A σф
ν
2π
e
.