Математические методы проектирования инфокоммуникационных систем. Предмет курса. Основные понятия

1. Математические методы проектирования инфокоммуникационных систем Лекция №1 «Предмет курса. Основные понятия» доцент, к.т.н. Елагин В.С.

2. Краткая история

Базовые результаты теории массового обслуживания
были сформулированы в начале XX века.
Основоположником ее прикладной ветви – теории
телетрафика –считается датский математик А.К.
Эрланг, родившийся в 1878 и умерший в 1929 году.
Именно на результаты А.К. Эрланга – как на базовые
положения теории массового обслуживания –
ссылаются специалисты, занимающиеся подобными
исследованиями.
В настоящее время теория массового обслуживания,
помимо инфокоммуникационных систем, эффективно
используется для решения задач торговли, транспорта
и других сфер экономической деятельности.

3. Ключевые понятия (1)

Модель – это упрощенное подобие объекта или процесса,
которое воспроизводит интересующие нас свойства и
характеристики оригинала.
Математическая модель – это система математических
соотношений, описывающих изучаемый процесс или
явление.
Моделирование – это построение, совершенствование,
изучение и применение моделей реально существующих
или проектируемых объектов, процессов, явлений.
БСЭ: Задача – вопрос, требующий решения на основании
определенных знаний и размышлений.
БСЭ: Математическая модель – приближенное описание
какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженного с
помощью математической символики.

4. Ключевые понятия (2)

Теория (от греческого Theoria – учение) – форма
достоверных научных знаний:
•представляющая собой множество логически увязанных
между собой допущений и суждений;
•дающая целостное представление о закономерностях и
существенных характеристиках объектов;
•основывающаяся на окружающей реальности.
Парадигма – совокупность наиболее общих идей и
методологических установок в науке, признанных
данным научным сообществом. Парадигма обладает
двумя важными свойствами:
•принята научным сообществом для дальнейшем
работы;
•содержит «переменные» вопросы, то есть открывает
простор для исследователей.

5. Ключевые понятия (3)

Метод – это прием или способ действия.
Методика – это совокупность методов, приемов
проведения какой-либо работы.
Методология – это совокупность методов, применяемых
в какой-либо науке.
Структура системы – это устойчивая упорядоченность в
пространстве и во времени ее элементов и связей между
ними.
Устойчивость проекта (project stability) – это его
эффективность при определенных изменениях условий
реализации, то есть при выборе альтернативных
сценариев. Проект считается абсолютно устойчивым
(absolutely stable), если он эффективен при всех
сценариях. Выделяют также достаточно устойчивые
(sufficiently stable) и неустойчивые (unstable).

6. Большая и сложная система

«Черный
ящик»
Вход
Выход
Команды
Отчеты
A(t)
D(t)
Управляемая
система
B(t)
Управление
C(t)
Перенести
Взять
Управляющая
система

7. Теория вероятностей – раздел математики, посвященный случайным величинам. Случайные величины обычно делят на дискретные и непрерывные. Д

Основы теории вероятностей
Теория вероятностей – раздел математики, посвященный
случайным величинам.
Случайные величины обычно делят на дискретные и
непрерывные.
Допустим, что мы провели N измерений числа
разговаривающих абонентов АТС.
При этом K раз численность разговаривающих абонентов
(событие " A ") была одной и той же.
Тогда вероятность наступления интересующего нас
события – P(A) определяется следующим образом:

8.

Основы теории вероятностей
Четыре основные аксиомы Теории вероятности (Колмогоров) приводятся
ниже в следующей форме:
а) каждому событию " A " ставится в соответствие
неотрицательное число – его вероятность P(A) ≥ 0 ;
б) вероятность достоверного события "Ω" равна единице
– P(Ω) =1;
в) если " A " и " B " непересекающиеся события, то
вероятность события " A " или " B " (оно обычно
обозначается как " A + B ") – P(A + B) равна сумме P(A)
+ P(B) ;
г) условная вероятность наступления события " B ", если
уже произошло событие " A ", – P(B|A) определяется
как P(AB) / P(A) .

9. Условная вероятность

Событие " AB " имеет одну особенность. Оно имеет
место, когда события " A " и " B " наступают
одновременно.
Тогда вероятность события " B " при условии, что уже
произошло событие " A ", представима как отношение
площадей " AB " и " A ".

10. Выводы из аксиом

Если могут наступить только события " A " и " Ā ",
то справедливы такие соотношения:
P(A+ Ā) =1 или P(A) =1- P(Ā).
Очевидно также, что 0 ≤ P(A) ≤ 1. Из аксиомы (в)
можно получить более общее соотношение для
попарно непересекающихся событий:
P(A+ B +C +… + Z) = P(A) + P(B) + P(C) +…+ P(Z).

11. Закон распределения

Полной характеристикой случайной величины
служит закон ее распределения.
Этот закон устанавливает соответствие между
возможными значениями случайной
величины и соответствующими
вероятностями.
Основной интерес представляет функция
распределения (ФР) случайной величины – F(t) .

12.

Закон распределения
Пример ФР случайной величины показан на
рисунке.
Эта функция определена на отрезке [0, Tmax].

13.

Закон распределения
F(t) = P(T > t).
Иными словами ФР равна вероятности соблюдения
неравенства T > t.
На рисунке указаны две точки Tx и Ty , которым
соответствуют вероятности P(Tx > t) и P(Ty > t).
Вероятность того, что случайная величина попадет в
интервал (Tx , Ty ), равна разности F( Ty) - F(Tx).
В некоторых случаях практический интерес
представляет дополнительная ФР – P(T ≤ t).
Очевидно, что
P(T ≤ t) =1- F(t).

14. Характеристики случайной величины

Математическое ожидание (или среднее значение) случайной величины
Математическое ожидание определяет положение центра распределения
случайной величины. Для функции f (t) (плотность вероятности) обычно
определяют медиану и моду.
Медиана делит площадь под кривой f (t) пополам.
Мода непрерывной случайной величины – такое значение t , в котором
функция f (t) достигает локального максимума.
Если функция f (t) имеет один максимум, то распределение называется
унимодальным.

15. Характеристики случайной величины

16. Характеристики случайной величины

Дисперсия случайной величины – D(T) характеризует меру
рассеяния случайной величины.
Она рассчитывается как математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от своего среднего значения:
D(T) = E[(t -T(1))2].
Корень второй степени из дисперсии – σ называется
среднеквадратическим (или стандартным) отклонением.
Отношение среднеквадратического отклонения к среднему
значению (если оно больше нуля) именуется коэффициентом
вариации случайной величины – k :

17. Законы распределения

В теории телетрафика часто используется предположение о
пуассоновском законе распределения случайных величин.
Такое предположение, например, было подтверждено экспериментально
для потока вызовов, поступающих от абонентов телефонной станции.
Для математического ожидания λ(интенсивность потока вызовов) плотность
вероятности – p(x) определяется следующим образом:
Функция распределения этого потока вызовов

18.

Законы распределения

19. Законы распределения

Второй интересный пример – дискретное равномерное
распределение. Буквой "b " обозначена левая граница области
изменения случайной величины.
Допустим, что рассматриваемая случайная величина принимает n
значений.

20.

Законы распределения
В теории телетрафика часто используется экспоненциальное
распределение, для которого функции f (t) и F(t) определяются
такими формулами:
Распределение Эрланга k-го порядка. Функции f (t) и F(t) для этого
распределения вычисляются следующим образом:
Очевидно, что при k =1 мы получаем экспоненциальное распределение.

21.

Законы распределения

22. Законы распределения

Последний пример связан с распределением случайной величины на
ограниченном интервале. Речь идет о равномерном распределении на
отрезке времени [a,b].
В этом интервале функции f (t) и F(t) определяются следующим образом:

23. Использованные источники

• Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. –
М.: Книжный дом "Либриком", 2011.
• Маликов Р.Ф. Основы математического моделирования. –
М.: Горячая линия – Телеком, 2010.
• Качала В.В. Основы теории систем и системного анализа.
– М.: Горячая линия – Телеком, 2007.
• Городецкий А.Е., Дубаренко В.В., Тарасова И.Л.,
Шереверов А.В. Программные средства интеллектуальных
систем. – СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000.
• Тарасенко Ф.П. Прикладной системный анализ. – М.:
КНОРУС, 2010.
• Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. – М.:
Наука, 1976.
• Энциклопедии и словари.
• Ресурсы Internet.

24. Вопросы?