Лекция 7

1.

Лекция №7 (к работе №6)
Рассматриваемые темы:
Тема 19. Уравнение теплопроводности. Постановка задачи (начальные и
граничные условия).
Тема 20. Стационарное уравнение теплопроводности. Численная схема
решения.
Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и неявная
численные схемы решения. Число Куранта.
Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Тема 23. Уравнение теплопроводности в двухмерной системе координат с
неоднородным распределением коэффициента теплопроводности. Явная
численная схема.
1

2.

Тема 19. Уравнение теплопроводности. Постановка задачи
(начальные и граничные условия).
Уравнение теплопроводности является дифференциальным уравнением в частных
производных (сокращенно, ДУЧП).
Общий вид:
T
(a T ) q( x, t )
t
Обозначения: T – температура, a – коэффициент температуропроводности,
q – источниковое слагаемое.
a
c
λ – коэффициент теплопроводности
c – удельная теплоемкость
ρ – плотность
2

3.

Тема 19. Уравнение теплопроводности. Постановка задачи
(начальные и граничные условия).
T
(a T ) q( x, t )
t
Данное уравнение позволяет найти эволюцию или динамику
распространения температуры.
1
0 ( u ) gradP
В отличии от уравнения Навье-Стокса
или закона Дарси u
Уравнение теплопроводности является
нестационарным, то есть температура зависит и от
координат, и от времени:
k
gradP
T T (r , t )
3

4.

Тема 19. Уравнение теплопроводности. Постановка задачи
(начальные и граничные условия).
В случае, если: а) среда распространения тепла имеет одинаковый
коэффициент температуропроводности «а», б) отсутствует теплообмен
с окружающей средой, т.е. q(r,t)= 0
T
a T
t
лапласиан
T
2T
Если среда одномерная, то
a 2
t
x
Если среда двухмерная, то
T
2T 2T
a( 2 2 )
t
x
y
4

5.

Тема 19. Уравнение теплопроводности. Постановка задачи
(начальные и граничные условия).
Граничные и начальные условия
T
2T
a 2
t
x
Первый порядок производной по времени, значит в каждой точке
необходимо одно (!) условие по времени. Оно называется начальным:
T ( x,0) T 0 ( x)
В общем случае, в каждой точке в начальный момент
времени может быть разная температура.
5

6.

Тема 19. Уравнение теплопроводности. Постановка задачи
(начальные и граничные условия).
Граничные и начальные условия
T
2T
a 2
t
x
Второй порядок производной по координате, значит необходимо два (!)
граничных условия. В общем случае, они могут меняться во времени.
in (входная граница, подвод тепла)
n -нормаль
out (выходная граница,
отток тепла)
внешняя теплоизоляционная граница (external)
T (0, t ) T _ in (t )
T ( L, t ) T _ out (t )
T
0
n
6

7.

Тема 20. Стационарное уравнение теплопроводности.
Численная схема решения.
Рассмотрим уравнение теплопроводности в одномерном пространстве с
однородным распределением теплопроводности (коэффициент a)
T
2T
a 2
t
x
Будем исследовать решение в стационарном состоянии, т.е. в
ситуации, когда температурное поле является установившимся или
независящим от времени.
Это означает, что
T
0
t
2T
0
2
x
Такой переход можно осуществить, только если a = const в каждой точке
7

8.

Тема 20. Стационарное уравнение теплопроводности.
Численная схема решения.
2T
0
2
x
Стационарное уравнение теплопроводности
Рассмотрим однородный стержень длиной L предельно малой толщины,
поскольку исследуется одномерный случай.
Вход (in, источник тепла)
Выход (out, рассеивание тепла)
x
Начальных условий нет, т.к. в уравнении отсутствует переменная t
8

9.

Тема 20. Стационарное уравнение теплопроводности.
Численная схема решения.
Выход (out, рассеивание тепла)
Вход (in, источник тепла)
x
Необходимо 2 граничных условия по координате, поскольку ДУ 2-го порядка
Второе условие на выходе
Подвод нагревательного элемента
1)Расположение «холодильника» с
известной температурой
T ( x L) T _ out
T ( x 0) T _ in
ИЛИ
Первое условие на входе
2)Открытый конец (окружающая среда)
T
0
x x L
9

10.

Тема 20. Стационарное уравнение теплопроводности.
Численная схема решения.
Это обычное ДУ второго порядка,
численная схема решения которого
нам известна (см. работу 3)
2T
0
2
x
Наложим на стержень сетку с равномерным шагом h и распишем уравнение в узле :
ОХ
h
x0
x1
x2
x3
…
xi
…
xn
2Ti Ti 1 2 Ti Ti 1
0
2
2
x
h
10

11.

Тема 20. Стационарное уравнение теплопроводности.
Численная схема решения.
2Ti Ti 1 2 Ti Ti 1
0
2
2
x
h
T1 T _ in
1)Расположение
«холодильника» с
известной
температурой
узел i=1 (вход)
T3 2 T2 T1 0
узел i=2
T4 2 T3 T2 0
узел i=3
T5 2 T4 T3 0
узел i=4
T6 2 T5 T4 0
узел i=5
Это СЛАУ
Решение находится
матричным методом
(см. работу 3)
.
.
Tn T _ out
узел i=n (выход)
11

12.

Тема 20. Стационарное уравнение теплопроводности.
Численная схема решения.
2Ti Ti 1 2 Ti Ti 1
0
2
2
x
h
T1 T _ in
узел i=1 (вход)
T3 2 T2 T1 0
узел i=2
T4 2 T3 T2 0
узел i=3
T5 2 T4 T3 0
узел i=4
T6 2 T5 T4 0
узел i=5
Это СЛАУ
Решение находится
матричным методом
(см. работу 3)
.
.
2)Открытый конец
(окружающая среда)
Tn Tn 1
узел i=n (выход)
12

13.

Тема 20. Стационарное уравнение теплопроводности.
Численная схема решения.
Пример решения для ГУ1 на выходе
Распределение температуры по длине стержня
13

14.

Тема 20. Стационарное уравнение теплопроводности.
Численная схема решения.
Пример решения для ГУ2 на выходе
Распределение температуры по длине стержня
В результате весь стержень равномерно нагрелся до температуры нагревателя
14

15.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
В данном разделе будет рассматриваться уравнение теплопроводности в
одномерном пространстве с однородным распределением
теплопроводности (коэффициент a)
T
2T
a 2
t
x
В качестве переменных, определяющих температуру в
каждом узле сетки и в каждый момент времени, будем
использовать следующее:
Ti
t
индекс, определяющий номер
временного шага
индекс, определяющий номер узла сетки
15

16.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
Явная схема
Распишем данное уравнение в узле сетки i в момент времени t
T
2T
a 2
t
x
t 1
T
Ti Ti
t i
t
t
t
t
T
Ti t 1 2Ti t Ti t 1
2
x i
h2
2
Шаг по времени
16

17.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
Явная схема
Ti t 1 Ti t
Ti t 1 2Ti t Ti t 1
a
t
h2
Ti t 1 Ti t 1 (1 2 )Ti t Ti t 1
Это рабочее уравнение для нахождения
температуры в узле i во временной шаг t+1
t
a 2
h
Это число Куранта
17

18.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
Явная схема
Временной момент t+1
i
Ti t 1 Ti t 1 (1 2 )Ti t Ti t 1
Временной момент t
i-1
i
i+1
Двухслойный шаблон для явной схемы
Для того, чтобы найти температуру в момент времени t+1 в узле i,
необходимо знать температуру в момент t в узлах с номерами i+1, i, i-1.
18

19.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
Явная схема. Пример.
Вход (in, источник тепла)
Выход (out, рассеивание тепла)
x
T1 100
Tn 27
В начальный момент времени (t=0), T=27 в каждом узле
19

20.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
i
t
ГУ
T21 T30 (1 2 )T20 T10
ГУ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Явная схема. Пример.
НУ
0
1
2
3
100
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
100
41.6
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
100
50.36
28.46
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
100
55.908
32.548
27.292
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
Растягиваем
4
5
6
7
8
100
100
100
100
100
60.0544 63.2664 65.83366 67.9398 69.70507
36.1688 39.36912 42.19802 44.70595 46.93972
28.2848 29.61632 31.10202 32.64097 34.17657
27.0584 27.292 27.7008 28.25396 28.91655
27
27.01168 27.06541 27.17987 27.36161
27
27
27.00234 27.01448 27.04476
27
27
27
27.00047 27.00318
27
27
27
27
27.00009
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
20

21.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
Явная схема. Пример.
Динамика развития температуры в стержне. С течением времени
распределение температуры стремится к решению стационарного
уравнения
21

22.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
Неявная схема
Распишем данное уравнение в узле сетки i в момент времени t
T
2T
a 2
t
x
t 1
T
Ti Ti
t i
t
t
t
Шаг по времени
t 1
T
x 2 i
2
Ti t 11 2Ti t 1 Ti t 11
h2
Отличие неявной схемы от явной,
в явной было t
22

23.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
Неявная схема
Ti t 1 Ti t
Ti t 11 2Ti t 1 Ti t 11
a
t
h2
Ti t 11 (1 2 )Ti t 1 Ti t 11 Ti t
Это рабочее уравнение для нахождения
температуры на временном шаге t+1
23

24.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
Неявная схема
Временной момент t+1
i-1
i
i+1
Ti t 11 (1 2 )Ti t 1 Ti t 11 Ti t
Временной момент t
i
Двухслойный шаблон для неявной схемы
Для того, чтобы найти температуру в момент времени t+1 в узлах i+1, i, i-1, необходимо
знать температуру в момент t в узле с номером i.
24

25.

Тема 21. Нестационарное уравнение теплопроводности. Явная и
неявная численные схемы решения. Число Куранта.
Уравнение для явной схемы
Ti t 1 Ti t 1 (1 2 )Ti t Ti t 1
Решается обычной последовательной итерацией (см. работу 2)
Уравнение для неявной схемы Ti t 11 (1 2 )Ti t 1 Ti t 11 Ti t
Это система СЛАУ (см. работу 3)
ATt+1=-Tt
неизвестно
известно в момент
времени t
Каждый шаг по времени необходимо решать СЛАУ. Это долгий и
трудоемкий процесс, если делать в EXCEL. Но неявная схема более
устойчива, по сравнению с явной схемой (об этом далее).
25

26.

Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Рассмотрим явную схему
Распишем данное уравнение в узле сетки i в момент времени t
T
2T
a 2
t
x
t 1
T
T Ti
i
O( t )
t i
t
t
t
t
T
Ti t 1 2Ti t Ti t 1
2
O
(
h
)
2
2
x i
h
2
Остаточный член
Остаточный член
Аппроксимация производной имеет
первый порядок точности по шагу по
времени
Аппроксимация производной имеет
второй порядок точности по шагу сетки
См. работу 1
26

27.

Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Явная схема
Ti t 1 Ti t 1 (1 2 )Ti t Ti t 1 t O( t h 2 )
Остаточный член
Неявная схема
Ti t 11 (1 2 )Ti t 1 Ti t 11 Ti t t O( t h 2 )
Остаточный член
Вывод: разностные явная и неявная схемы аппроксимируют уравнение
теплопроводности с первым порядком точности по шагу по времени и вторым
порядком точности по шагу сетки. Итоговая погрешность складывается.
27

28.

Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Вопрос: являются ли устойчивыми явная и неявная схемы? Иными словами при
любом ли наборе параметров мы получим физичное решение?
Явная схема
При пренебрежении остаточным членом рабочая формула имеет вид:
Ti t 1 Ti t 1 (1 2 )Ti t Ti t 1
Пусть ε – разность (погрешность) между численным и точным (аналитическим)
решениями, полученными в узле i на временном шаге t
it Ti t Ti t (точное)
28

29.

Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Явная схема
Учитывая, что
Ti t 1 (точное) Ti t 1 (точное) (1 2 )Ti t (точное) Ti t 1 (точное) t O( t h 2 )
справедливо будет следующее соотношение:
it 1 it 1 (1 2 ) it it 1 t O( t h 2 )
29

30.

Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Явная схема
А) Рассмотрим случай, когда 0.5
it 1 it 1 (1 2 ) it it 1 t O( t h 2 )
Очевидно, что все коэффициенты перед ε
положительны. Тогда имеет место неравенство:
it 1 it 1 (1 2 ) it it 1 t O( t h 2 )
Допустим, что
it 1 it it 1
и учтем, что
( (1 2 ) ) it it
30

31.

Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Явная схема
it 1 it t O( t h 2 )
Вывод 1: на 1 временном шаге совершается ошибка, пропорциональная t O( t h 2 )
Тогда за N шагов по времени: it 1 i0 N t O ( t h 2 )
Учитывая, что ε0 =0 – погрешность на нулевой момент времени, когда заданы точные
t 1
2
начальные условия, получим:
i
N t O( t h )
Вывод 2: при Δt, стремящемся к 0, накопленная ошибка имеет первый
порядок точности по времени. Явная схема является условно устойчивой
при γ<0.5
31

32.

Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Явная схема
Б) Рассмотрим случай, когда 0.5
it 1 it 1 (1 2 ) it it 1 t O( t h 2 )
При таком условии данный коэффициент, очевидно, меньше 0. Таким
образом, в зависимости от конкретных значений it 1 , it , it 1
возможно получить как положительную погрешность на t+1 шаге, так и
отрицательную. В конечном итоге возникнут пульсации погрешности по
знаку, что привезет к «развалу» и нефизичному решению.
Вывод 3: при γ>0.5 явная численная схема является неустойчивой.
32

33.

Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Неявная схема
Ti t 11 (1 2 )Ti t 1 Ti t 11 Ti t t O( t h 2 )
Построим рассуждение на том же принципе:
it 11 (1 2 ) it 1 it 11 it t O( t h 2 )
Допустим, что
и учтем, что при любом γ
it 11 it 1 it 11
( (1 2 ) ) 1
33

34.

Тема 22. Устойчивость явной и неявной схем.
Неявная схема
Получим:
it 1 it t O( t h 2 )
Вывод 4: неявная численная схема является абсолютно
устойчивой при любом γ
34

35.

Тема 23. Уравнение теплопроводности в двухмерной системе координат с
неоднородным распределением коэффициента температуропроводности.
Явная численная схема.
Уравнение в двухмерной системе координат:
T
T
T
(a T )
(a ) (a )
t
x x
y y
Нельзя вынести за скобки, т.к. в каждой точке a различное
Введем обозначение:
W a
T
x
35

36.

Тема 23. Уравнение теплопроводности в двухмерной системе координат с
неоднородным распределением коэффициента температуропроводности.
Явная численная схема.
T
T
T
(a T )
(a ) (a )
t
x x
y y
Распишем первое слагаемое в узле (i,j)
Wi 1 / 2, j Wi 1 / 2, j
T
W
(a )
x x i , j
x i , j
h
i-1/2,j
i-1,j
i+1/2,j
i,j
i+1,j
36

37.

Тема 23. Уравнение теплопроводности в двухмерной системе координат с
неоднородным распределением коэффициента температуропроводности.
Явная численная схема.
i-1/2,j
i-1,j
i+1/2,j
i,j
i+1,j
Ti 1, j Ti , j
T
Wi 1 / 2, j a
ai 1 / 2, j
x i 1 / 2, j
h
Ti , j Ti 1, j
T
Wi 1 / 2, j a
ai 1 / 2, j
x i 1 / 2, j
h
Ti 1, j Ti , j
Ti , j Ti 1, j
T
W
(a )
ai 1 / 2, j
ai 1 / 2, j
2
x x i , j
x i , j
h
h2
37

38.

Тема 23. Уравнение теплопроводности в двухмерной системе координат с
неоднородным распределением коэффициента температуропроводности.
Явная численная схема.
T
T
T
(a T )
(a ) (a )
t
x x
y y
i,j+1
Аналогично для второго слагаемого:
Ti , j 1 Ti , j
Ti , j Ti , j 1
T
W
(a )
ai , j 1 / 2
ai , j 1 / 2
2
y y i , j
y i , j
h
h2
i,j+1/2
i,j
i,j-1/2
i,j-1
38

39.

Тема 23. Уравнение теплопроводности в двухмерной системе координат с
неоднородным распределением коэффициента температуропроводности.
Явная численная схема.
Ti ,t j 1 Ti ,t j
Общая явная численная схема
h2
ai 1 / 2, j (Tit 1, j Tit, j ) ai 1 / 2, j (Tit, j Tit 1, j ) ai , j 1 / 2 (Tit, j 1 Tit, j ) ai , j 1 / 2 (Tit, j Tit, j 1 )
t
ai 1 / 2, j 0.5 (ai , j ai 1, j )
ai 1 / 2, j 0.5 (ai , j ai 1, j )
ai , j 1 / 2 0.5 (ai , j ai , j 1 )
ai , j 1 / 2 0.5 (ai , j ai , j 1 )
a
Схема будет условно устойчива, если γ < 0.25
t
(без доказательства). Для одномерного случая γ < 0.5.
h2
39

40.

Задание к лабораторной работе №6.
Рассматривается одномерный однородный стержень. Начальная температура равна комнатной.
Внутри стержня есть от 3 до 5 источников тепла с заданной температурой (координаты и температуры
задать самостоятельно).
1) Решить стационарное уравнение теплопроводности в случаях,
а) если на концах стержня температура поддерживается комнатной ;
б) если концы открытые.
2) Решить нестационарное уравнение теплопроводности в случаях,
а) если на концах стержня температура поддерживается комнатной ;
б) если концы открытые.
Требования. Использовать явную схему. Количество узлов не менее 50. Для нестационарного уравнения
представить решения для t=100, 200, 300 и сопоставить с решением стационарного уравнения.
Представить решения для двух разных чисел Куранта
Источники тепла
Внешняя граница
Внешняя граница
50 узлов
40

41.

Спасибо за внимание
41