Обзор методов решения задач теплопроводности

1.

ЛЕКЦИЯ 5
Обзор методов решения задач теплопроводности
Метод функций Грина
Метод Дюамеля (Дюамеля-Неймана)
Точные
методы
Метод разделения переменных (метод Фурье)
Методы интегральных преобразований в конечных и
бесконечных пределах
Задачи
теплопроводности
Cтационарные
Постоянные
условия
на границе
Условия
на границе,
зависящие
от времени
Нестационарные
Aвтомодельные
Сопряженные
задачи
С подвижными
границами
С подвижными
источниками
тепла
1

2.

Литература:
1. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача, М.: Энергия,
1975. -488 С.
2. Ф. Крейт, У.Блэк Основы теплопередачи /М.: Мир, 1983. – 512 С.
3. Коздоба Л.А.Методы решения нелинейных задач теплопроводности, М,
1975
4. Теория тепломасообмена, под ред. Леонтьева А.И., М., 1979
5. Баскаков А.П., Берг Б.В., Витт О.К. и др. Теплотехника, Учебник для
ВУЗов / М.: Энергоиздат, 1982. – 264 С.
6. Лыков А.В. Теория теплопроводности
7. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача /М:
Едиториал УРСС, 2003. – 784 С.
2

3.

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
До сих пор мы рассматривали системы, в которых в результате теплопроводности
процессы изменения температуры во времени были завершены.
Но для
установления стационарного состояния с заданной точностью требуется некоторое
время. Кроме того, большинство технологических процессов обработки материалов
высокоэнергетическими источниками являются существенно нестационарными.
Поэтому на анализе некоторых нестационарных задач мы остановимся, не прибегая к
изучению теоретических основ точных аналитических методов.
n
V
Te
T
c , ,
A
Характерный
размер тела
V
объем
L
A площадь
c
T
T
t
T
T Te
n A
велик или тело мало:
(1)
c V
Te const
(3)
для шара
4 3 r03 r0
L
для куба
(4)
(2)
t 0 : T T0
для цилиндра
dT
T Te
dt
4 r02
3
r02l r0
L
, l r0
2 r0l 2
L
l3
l
6l 2 6
Уравнение
теплового
баланса
Условие применимости
L
t* c
1
(5)
3

4.

Простейшая задача в безразмерных переменных
T Te
;
T
T
0 e
Вводим переменные
Характерный
размер тела
V
объем
L
A площадь
Bi
Разделяем
переменные:
t
;
t*
t* L2 , c
d
At*
L
Bi
d
c V
0 1
L
;
- число Био
d
Bi Fo
t
2 Fo
L
или
(6)
- число Фурье
exp Bi Fo
ln
Использование безразмерных критериев
позволяет представить результат для
всех тел с любыми коэффициентами
теплопроводности на едином графике
(7)
Плохой
теплообмен
Fo
Bi 1
Хороший
теплообмен
Bi 1
Bi 1
4

5.

Пример
При измерении температуры термометром важно знать, насколько быстро
термометр реагирует на изменение температуры.
Полупериодом tП называют интервал времени, в пределах которого начальная
разность между истинной температурой и показаниями термометра сокращается
наполовину после внезапного изменения истинной температуры.
Определим этот полупериод для ртутного термометра, находящегося в потоке
воздуха. Пусть ртутный «шарик» имеет форму цилиндра r0 3 мм. Коэффициент
теплопроводности ртути 7,45 ккал/(м ч К). Коэффициент
температуропроводности 0,0166 м2/ч . Термическим сопротивлением тонкой
стеклянной стенки пренебрегаем. Коэффициент теплообмена для потока воздуха
есть 50 Ккал/(м2ч К).
находим
r02l r0
L
,
2 r0l 2
отношение
Bi
L 50 0,003
0,01
7 ,45 2
T Te T0 Te 0,5 ,
когда численное значение показателя степени в (7) равно 0,693:
t П
exp Bi Fo
0,693 0,693
69,3
2
Bi
0,01
L
Bi Fo
(7)
t П L
0,693;
2
L
69,3 9 10 6
tП
3600 33,8 c
0,0166 4
Следовательно, можно полагать, что показания термометра
правильно отражают изменение истинной температуры, если это
изменение происходит более медленным темпом
5

6.

Пусть теперь граничные условия – функция времени. Примем, что температура
потока меняется со временем линейно ( и тело будет нагреваться от T0 )
Te Bt T0
Тогда уравнение теплового баланса принимает вид
c V
В переменных
(отличается от
предыдущего)
dT
T Bt T0 ;
dt
T T0
;
T
T
* 0
t 0 : T T0
t
;
t*
Fo
t
2 Fo
L
имеем
Bt
d
Bi Bi ,
T T0
d
Решение имеет вид
(8)
0: 0
1 exp Bi Fo
Bi
t* L2
e
(9)
Te T 0
Fo
T* T0
Температура детали Т всегда отстает от температуры потока Те,. При Fo
это отставание становится постоянным
3
Один из способов
решения задачи (8)
будет показан
дальше: слайд 11
1 :
BL2
T* T0
e
2
2,5
1
Bi=0,5
1
0
0
1
2
3
Fo
6

7.

Простейшие краевые задачи
Пусть на поверхности «полубесконечного» тела поддерживается постоянная
температура Ts
. Это «выполняется», если размер образца Н много больше зоны
прогрева, которая формируется в образце за время обработки H t* c
I
c , ,
c
Ts
T0
T T
t x x
c , , const
x 0 : T Ts
erfc z
x : T T0
Безразмерные
переменные
T T0
;
T
T
s 0
t 0 : T T0
t
x
;
t*
x*
t* 2
;
c x*2 2
1
t*
c x*2
L2 x*2
2
t*
Fo, c L x* t*
2
2;
0:
erfc
2
1;
: 0;
0 : 0.
(10)
(11)
Для любых теплофизических
свойств и любых температур в
рамках данной задачи
1:
0
z
Характерный размер
z
2
y2
erfc z
e dy
erfc 0 1
(12)
erfc 0
7

8.

erfc
2 Fo
Fo=1. - 0,1
2. - 0,2
3. - 0.5
4. - 1.0
5. - 3.0
0,9
(13)
0,6
x
T T0 Ts T0 erfc
2 t
5
0,3
(14)
1
2 3
4
0,0
0,0
1,5
3,0
4,5
Полезно знать асимптотические разложения
z 1 : erfc z
2
z
exp z 2
z 1 : erfc z
z
T T0 Ts T0
x
t
x 0, t 0
t Ts T0 x 2
T T0 2
exp
4 t
x
(15)
(16)
Такие задачи удобно решать операционным методом (т.е., методом интегральных
преобразований по Лапласу). Это один из самых эффективных методов решения
нестационарных задач теплопроводности
p
Обозначения и
определения
f F p
F p
f f p
" "
f p
эквивалентно
" "
0 f exp p d
(17)
0 f exp p d
(17,а)
8

9.

Говорят: функция f p или F p является изображением функции f или
Функция
f с помощью преобразования (15) переходит в f p или в
0
;
2
p 0,
0:
0:
2
(11)
1;
: 0;
Общее решение в пространстве изображений имеет вид
- корни уравнения k 2 p 0, k1 p ; k2
Лыков А.В. Теория
теплопроводности
;
(18)
1
f
2 i
1
exp p
p
Ae k1 Bek2 ,
где
p
B 0
В соответствии с граничными условиями
Обратное
преобразование
d 2
1
;
p
: 0;
0 : 0.
ki
d 2
F p
и
A
1
p
(19)
i
i
(20)
erfc
2
(12)
F p e p dp
9

10.

Для ряда задач такой путь был бы весьма сложным, если бы не имеющиеся в настоящее
время таблицы интегральных преобразований и теоремы, существенно упрощающие ход
решения
Бейтмен Н.Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований в двух томах. Справочная
математическая библиотека. Т.1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.1969 г. Т.2.
Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М. 1970
изображение
оригинал
изображение
оригинал
1
p
1
1
p a
e -a
1
p
2
1
p
p
3 2
p
1
2
cos k
p k2
2
1 k
e
p
p
k
erfc
2
k 0
p a p b
e b e a
3
1
2
В некоторых случаях перейти к оригиналам все же не удается. И тогда на помощь приходят
разнообразные приближенные методы и асимптотические разложения, позволяющие
построить приближенное решение изучаемой задачи, что очень важно для инженерных
приложений. Некоторые простые примеры мы далее рассмотрим.
10

11.

d
Bi Bi ,
d
Возвращаемся к простейшей задаче:
1
d
Bi Bi ,
d
0: 0
p Bi
В пространстве изображений по Лапласу:
Раскладываем на множители:
1
p
1
p2
Fo
f
f t dt
0
Bi
p2
Bi
p 2 p Bi
1
1
p Bi
«Противоположное»
правило:
(9)
1 1
1 1
1 1
1
2
p p p Bi p
Bi p p Bi
В соответствии с представленной таблицей:
Мы пользовались правилом:
0: 0
e Bi
1
1 exp Bi Fo
Bi
pF p f 0
1
F p
p
11

12.

II
T T
t x x
T
x 0: -
q0
x
x : T T0
c
c , ,
q0
T0
const
(21)
t 0 : T T0
T T0
;
T
T
* 0
Таким образом мы
определяем масштаб
температуры
t
x
;
t*
x*
(22)
q t*
q0 t*
0
1
T* T0
c T* T0
(23)
0
2
2;
0 : - 1;
: 0;
0 : 0.
Решаем на доске!
p 0,
0:
d 2
;
2
d
d 1
;
d p
: 0;
(25)
1
p p
exp p
(24)
2 i erfc
2
2
2
exp - erfc
4
2
12

13.

2
2
exp - erfc
4
2
Fo= 1. - 0,05
2. - 0.2
3. - 0.5
4. - 1.0
5. - 2.0
1,2
(25)
0,8
5
1,2
1. - 0,0
2. - 0.1
3. - 0.2
4. - 0.5
5. - 1.0
2
1
3
4
0,8
5
4
3
0,4
0,4
2
0,0 1
0
0:
2
4
1; 2
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
Fo
Температура поверхности
(25) в физических переменных:
x2 x
q0
t
x
T T0
erfc
2 exp
4
t
c
2
t
На поверхности:
x 0 : T T0
q0 2
t
c
(26)
(27)
tg 2
13

14.

II,a Граничные условия зависят от времени
x 0: -
T
q0 f t ;
x
0: -
f ; (28)
В пространстве изображений решение будет иметь вид
f F p ,
f p
exp p
p
,
0
В физических
переменных:
q0
T t , x T0
c
t
0
(29)
f y
2
exp
d y
4
y
y
c x 2
f y
exp
dy
4
t
y
t y
(30)
Пример 1. Для одиночного импульса имеем
единичная функция
Хевисайда
Тогда
1, 0 t t i ,
f t t i t
t ti ,
0 ,
t
c x 2
t i y
q0
T x ,t T 0
exp
d y
c 0 t y
4 t y
14

15.

t
c x 2
t i y
q0
exp
T x ,t T 0
d y
y
t
4
c 0 t y
x2
z
4a t y
Введем новую переменную по формуле
2
y t
x2
4 az 2
a
c
dy
x2
2 az 3
dz
Следовательно
T x ,t T 0
q0
x 2
exp z 2
x2
x
t
t
dz
i
2
2
z
4
a
z
at
Подинтегральная функция равна нулю, если
T x ,t T 0
q0
x2
z
4a t i t
2
x 2 at i
x 2 at
exp z 2
dz
x
2
z
B
Интегрируем по частям
u exp z 2
dv dz z 2
A
B
B
udv uv A
vdu
A
15

16.

T
x2 x
q0 t
x
T T0
erfc
2 exp
c
a
2 at
4at
x 0
t tp
x2
2
exp
4a t t p
T0
ti
t
Найти область параметров (q0,ti),
в которой
T(0,ti)<Ts
x 0:
T T0
2q0
c
x
x
erfc
2 a t tp
a
t t tp
t t
p
t t p
q0
c
q0
Ts T0
2
c
t
1 ti
16

17.

Пример 2
q0
T t , x T0
c
t
c x 2
f y
exp
dy
4
t
y
t y
0
1, ti t p k 1 t ti ti t p k 1
f t
0, ti ti t p k 1 t ti t p k
q t q0 f t
tp
I 0 q0ti
q0
50, 100, 1000
Гц
1400
700
0,0
2
1
3
4 5
0,2
6
0,4
t,c
T,K
T,K
2100
2100
1400
1400
700
700
0,0
0,2
0,4
t,c
Вт/см2
Fe
x 1 0;2 0,025;3 0,05;
4 0,1; 5 0,15;6 0,25 см
ti
2100
(31)
За один импульс, Дж/см2
I 1,0 103 Дж/см2 ; q0 1,0 104
T,K
(30)
0,0
Подобные источники тепла часто
встречаются при обработке
поверхностей внешними
источниками энергии,
соответствующим потоком ионов,
электронов и т.п.
0,2
0,4
17
t,c

18.

Задача с граничными условиями третьего рода
III.
Задача с граничными условиями третьего рода соответствует нагреву или охлаждению
полупространства или теплоизолированного с боковой поверхности стержня (слоя)
бесконечной длины в потоке газа или жидкости. На границе задается теплообмен с потоком
по закону Ньютона.
T T
c
t x x
x 0:
T
Te T
x
x : T T0
2
;
2
T T0
Te T 0
0:
: 0;
t 0 : T T0
0 : 0.
Решение задачи в пространстве
изображений
Bi
p Bi p
exp p
er f c
2
ex p Bi Bi 2 er f c Bi
.
2
На поверхности
4
0,75
3
5
5
0,50
2
4
0,25
1 exp Bi 2 erfc Bi
0,00
0,0
2,5
5,0
пунктир
3
2
1
0
Bi 1
2
1
7,5
18

19.

В размерных
переменных:
x
T T 0 Te T 0 er f c
2 at
x
2
t
exp
c
c
a
x
er f c
t
c
2 at
x
T 0 ,t T0 Te T 0 1 exp
erfc
t
c a
c
Асимптотические свойства:
При больших значениях коэффициента теплообмена
erf c
2
exp
t
c
c
t
3
c
t
и
T T0 Te T0 1 O 3
Почти
постоянная
температура
поверхности
В противоположном случае
2
2
T T0 Te T 0 1 1
t ... 1
t ...
c
c
T0 2 Te T0
c
t
Нагрев потоком
величины
q 0 Te T0
19

20.

1.Задача на дом:
Найти решение задачи, используя операционный метод
T
2T
c
A exp x
2
t
x
T
x 0:
0
x
x : T T0
t 0 : T T0
20

21.

Для целого ряда нестационарных задач весьма удобным оказывается метод
T T
t x x
t 0 : T T0 x 0
Дюамеля
c
x 0 : T f t ;
t 0
x : T T0
Полагаем
T u v
Введенные функции должны удовлетворять дифференциальному
уравнению той же формы, но более простым краевым условиям
u T0 , t 0, x 0;
u 0,
(32)
x 0, t 0
(33)
и
v 0,
t 0, x 0;
v f t , x 0, t 0
(34)
Решение задачи для u с граничными условиями (33) нам известно, вернее, легко может быть
получено из решения задачи (10) с г.у. I рода , записанного в размерных переменных:
Следовательно,
x
T T0 Ts T0 erfc
,
c
2 t
x
x
u T0 1 erfc
T
erf
0
2
t
2
t
(35)
z
2
y2
erf z
e
dy
0
(36)
21

22.

Для нахождения функции v нам потребуется теорема Дюамеля
Теорема Дюамеля гласит
Если x, t есть решение для изменения температуры в твердом теле, начальная температура
которого равна нулю, а поверхность поддерживается при температуре, равной единице, то
решение v x, t для случая, когда температура поверхности тела меняется со временем, т.е.,
v f t , x 0 , дается формулой
v x, t
t
f y
x, t y dy
t
(37)
0
Теорема Дюамеля может быть применена и к случаям конвективного теплообмена на поверхности,
когда твердое тело, имеющее однородную начальную температуру, внезапно подвергается
воздействию окружающей жидкости (газа), температура которой меняется со временем по
заданному закону.
Чтобы применить теорему Дюамеля, найдем решение x, t , которое также содержится в (35)
x
T T0 Ts T0 erfc
,
c
2 t
Следовательно,
x
x, t y erfc
2 t y
и
(35)
x
x
1 erf
erfc
2
t
2
t
T0 0;Ts 1 :
x exp x 2 4 t y
x, t y
t
2
t y 3 2
22

23.

В результате решение для функции v принимает вид:
x
v x, t
2
t
f y
dy
exp x 2 4 t y
t y
32
0
(38)
dy
Если мы введем новую переменную z x 4 t y , то найдем
32
t y
2
2
v x, t
2
4
dz и
x
x 2 z 2
f t
e dz
4 z 2
x 2 t
(39)
Полное решение дается суммой величин u v
Пример
Найдем решение для линейного изменения температуры поверхности
f t T0 Ct
(40)
Мы должны проинтегрировать уравнение (39)
2
v x, t
2T
0
X
2Ct
e z dz
2
2
2
T C t x e z dz
4 z 2
0
x 2 t
X
Cx 2
z
e dz
2
2
z2
X
e
dz,
2
z
X
x
2 t
23

24.

z
; dq
В третьем слагаемом проинтегрируем по частям p e
2
z2
X
e
z2
e
dz
pq
qdp
x
z2
z2
Объединяем все результаты
X
dz
z2
2 e z dz
x
2
dp 2 ze
e
X 2
X
X
2
z2
dz; q
erfc X
x
2
2
2
X
X
T T0 Ct 1 2 X erfc X
Xe
,
2 t
T,K
x=1. - 0 см
2. - 1 cм
3. - 2 см
4. - 3 см
1200
Распределение температуры
вблизи нагреваемой
поверхности в различные
моменты времени показано
на рисунке. В расчетах
использованы свойства,
близкие к свойствам железа
(41)
1000
1
800
3
2
4
600
400
0
25
50
75
t,c
Даже при линейном изменении температуры поверхности в точках, отличных от
температура меняется со временем нелинейно, что, естественно, связано с
процессом теплопроводности
x 0 ,
24
1
z

25.

T T
c
t x x
T 0,t T0 Ts T0 cos t
x : T T0
t 0 : T T0
0:
cos ;
p
p2
cos y
;
2
2
exp
dy
4 y
3
2 y
0
(42)
Граничные условия такого вида
встречаются в поршневых двигателях
внутреннего сгорания, циклических
регенераторах и наблюдаются в верхнем
слое земной поверхности в результате
ежедневно и ежегодно повторяющихся
вариаций температуры
2. Задание на дом (или лаб.): Используя
теорему Дюамеля, найти решение задачи
(42) в физических переменных и построить
зависимость температуры от времени в
разных точках и для разных
теплофизических свойств в различные
моменты времени
25

26.

Примеры сопряженных задач
Предположим, что термическая обработка материала
тепловым потоком постоянной величины осуществляется
в среде, свойства которой отличны от свойств
обрабатываемого материала. Требуется оценить влияние
среды на величину температуры материала по сравнению
с его обработкой в вакууме.
T1 T1
1
,
t x x
x 0
(50)
T2 T2
2
,
t x
x
x 0
(51)
c1 1
c2 2
x 0 : 1
Окружающая
среда
c 2 , 2 , 2
q0
T0
c1 , 1 , 1
T1
T
- 2 2 q0 ,
x
x
T1 T 2
(52)
x : Ti T0 ,i 1,2
(53)
t 0 : Ti T0 ,i 1,2
(54)
Решаем задачу операционным методом
pT1 T0 1
pT2 T0 2
d 2T1
dx
2
d 2T2
dx
2
;
(55)
;
(56)
q
dT
dT
x 0 : 1 1 - 2 2 0 ,
dx
dx
p
p
T
T1 0 A1 exp
x ;
p
1
A1 A2 A
T1 T 2
T
p
T2 0 A2 exp
x
p
2
q0
1
qe
,
p p c1 1 1 c2 2 2 p p c2 2 2
Для сопряженных
задач операционный
метод практически
незаменим
(57)
qe
q0
1 K
26

27.

Окружающая
среда
c 2 , 2 , 2
q0
T0
c1 , 1 , 1
Нагрев потоком, уменьшенным в 1 K раз:
qe
T2 T0
c2 2 2
qe
q0
1 K
t
x2
x
x
(58)
erfc
2 exp
2
2 2t
4 2t
K ,1 0,093
(59)
c1 1 1
K
c2 2 2
вода-железо
K ,2 3,19 10 4 воздух-железо
Качественное распределение температуры
c
452 Дж/(кг К)
7870 Кг/м3
81,1
вода
4182
998,2
0,597
воздух
1012
1,163
0,025 Вт/(м К)
железо
T 293K
T
t 2 t1
Окружающая
среда, 1
образец, 2
t1
t2
x
27

28.

Термическая обработка материала с покрытием
Теплообмен между
нагреваемой средой T Ts
и поверхностью идеальный
c1 , 1 , 1
T0
c 2 , 2 , 2
h
Перейдем к безразмерным переменным
T T0
t
x
; Fo;
t*
x*
Ts T0
T1 T1
1
,
t x x
0 x h
T2 T2
2
,
t x
x
x h
c1 1
x
c2 2
(60)
x h : 1
T1
T
2 2 ;
x
x
T1 T 2
x 0 : T1 Ts
x : T2 T0 ;
1
2 1
Kc
K
;
2
2
2 2
;
2
t 0 : Ti T0 ,i 1,2
0
0 : 1 1;
: K 1 2 ; 1 2
: 2 0;
0 : i 0; i 1,2
(61)
c
Kc 1 1 ;
c2 2
K 1
2
h
x*
(62)
28

29.

Ход решения
1.Задача в пространстве изображений
d 2 1
d 2 2
K c p 1 K d
; 0 ;
p 2
;
2
2
d
0 : 1 1 p ;
d d
: K 1 2 ; 1 2
d
d
: 2 0;
1 A1 exp k1 B1 exp k1
2.Общее решение имеет вид
(65)
2 A2 exp k2 B2 exp k2
(63)
(64)
k1
B2 0
k2
Kc
p
K
p
3.Используя условия в нуле и на границе раздела, находим систему уравнений для
определения постоянных интегрирования
Корни
1
A1 B1
характеристического
p
уравнения
k1
k1
k 2
A1e
B1e A2e
(66)
K A1k1e k1 B1k1e k1 A2 k2e k 2
(67)
1
e k1
A1
;
p ek1 e k1
A2
e k1
B1
p e k1 e k1
1
1
p ek1 e k1
29

30.

В результате решение задачи в пространстве изображений примет вид
1 e k1 e k1
1
;
k1
k1
p
e e
4.Переходим к оригиналам
Используем
z
1
1
e
1
1
p
1 Kc K
;
1 Kc K
k1
e
k1
1
e k1
1 e
2k1
e
(68)
(69)
k1
ne 2k n ;
1
(70)
n 0
K c n 1
Kc
n
exp
2
n
p
exp
2
n
1
p ;
K
K
n 0
1
2
p
1
(71)
Kc
n exp 2n 1
p ;
K
n 0
Это –
точное
решение
задачи
1 1 e k2
1
;
p e k1 e k1
1
exp p erfc
p
2
n
2n K c K n 1
2n 1 K c K
erfc
erfc
;
2
2
(72)
n 0
2n 1 K c K
2 1 n exp
;
2
30
n 0

31.

Часто требуется знать решение в отдельных точках для ограниченных значений времени. В этом
случае можно получить приближенное решение в простой форме, что удобно для использования
Kc
1
n
:
1 2
p ; 1
exp 2n 1
p
K
n 0
2n 1 K c K
1 2 1 n erfc
2
n 0
(73)
Ряд быстро сходится
Kc
Kc
1
1 2
exp
p
exp
3
p
...
;
p
K
K
Следовательно,
(74)
Kc K
3 K c K
1 2 1 erfc
erfc
... ;
2
2
Быструю сходимость ряда в
решении иллюстрирует рисунок
(75)
большие значения
комплексной
переменной p
соответствуют
малым значениям
времени
0,75
0,50
Kc
h
K
1t
0,25
0,00
0,0
2,5
5,0
7,5
Сплошные линии соответствуют расчету по формуле (73) с удержанием 25 членов
ряда, а символы – расчету по формуле (75). Видно, что результаты практически
совпадают.
31

32.

Параметр , входящий в решение, можно трактовать как термическую толщину покрытия.
Это отношение реальной толщины покрытия к толщине теплового пограничного слоя,
формирующегося в материале покрытия за некоторое характерное время.
Kc
h
K
1t
Если покрытие является термически тонким, мы можем воспользоваться асимптотическим
представлением известной нам функции .
А
Kc
h
1 - «термически тонкое» покрытие
K
1t*
1 2 1 1
Б
Kc
K
3
1
Kc
K
...
2
z
z 1 : erfc z
exp z 2
z 1 : erfc z
z
(76)
Малость параметра можно использовать непосредственно
в пространстве изображений
Kc
1
1 2
1
1
3
p
...
;
p
K
1 3 K c
1 4 Kc
1 2 1 1
... 1
K
K
1
2
4
3
(77)
1
1
1
32

33.

Задача с неидеальным тепловым контактом
Неидеальный тепловой контакт может быть связан с
шероховатостью поверхностей; процессами
газификации…
Переход к безразмерным переменным и способ
решения – аналогичны предыдущему.
Граничное условие для температур на контакте в
безразмерных переменных принимает вид
h 2
1 2 D 2 , ; D
3 2t*
Решение в пространстве изображений по Лапласу,
c1 1
T1 T1
1
,
t x x
0 x h
T2 T2
2
,
x h
t x
x
T
T
x h : 1 1 2 2 ;
x
x
(78)
T
T1 T 2 2 2
3 x x h
c2 2
x 0 : T1 Ts
x : T2 T0 ;
t 0 : Ti T0 ,i 1,2
Kc
exp
p
2K
K
1 K 1 D p
(79)
2
;
1 1
1 K 1 D p
1 K 1 D p
Kc
1 exp 2
p
K
2
2
K
D
2
DK
p
;
D 1 :
; 2 2 D 0
2
0
p K
1 K 2
c
K p K
1
1
Различие между
1
D
температурами с
1
2 2 D 0
...
(80)
течением
времени
2K
33
1
убывает
1 K

34.

34