Проблемы энерго- и ресурсосбережения
Приближенные методы решения задач теплопроводности
Приближенные методы решения задач теплопроводности
Приближенные методы решения задач теплопроводности
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод элементарных тепловых балансов
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Метод конечных разностей
Вопросы к экзамену
395.50K
Category: physicsphysics

Методы решения задач теплопроводности

1. Проблемы энерго- и ресурсосбережения

● Приближенные методы решения
задач теплопроводности

2. Приближенные методы решения задач теплопроводности

Точное аналитическое решение позволяет
рассчитать температуру в любой точке
тела, однако, не любую задачу
теплопроводности можно решить
аналитически. В том случае, когда тело
имеет сложную форму и коэффициент
теплоотдачи является величиной
переменной, задачу по теплообмену
аналитически решить невозможно. В этом
случае используют приближенные методы
решения задач (численные методы).

3. Приближенные методы решения задач теплопроводности

Дифференциальное уравнение
теплопроводности заменяется
системой алгебраических уравнений.
Температура рассчитывается в
отдельных фиксированных точках
тела, точность расчета зависит от
выбранного шага разбиения тела на
отдельные участки.

4. Приближенные методы решения задач теплопроводности

Наибольшее распространение
получили два метода расчета:
Метод элементарных тепловых
балансов.
Метод конечных разностей.

5. Метод элементарных тепловых балансов

Тело разбивается на отдельные объемы.
Центральным точкам каждого объема присваивается
отдельный номер.
Эти точки обладают определенной массой и
теплоемкостью.
К каждой точке теплота подводится или отводится
через стержни, с помощью которых точки условно
соединены друг с другом.
При этом внутренняя энергия точки может
увеличиваться или уменьшаться.

6. Метод элементарных тепловых балансов

Пусть температурное поле описывается
уравнением:
2
t
t
a 2
x
Разбиваем стенку на элементарные объемы:
V 1
2

7. Метод элементарных тепловых балансов

Изменение внутренней энергии в рассматриваемой
узловой точке:
U c V t0 t0 ,
c, Дж / (кг К ) - удельная массовая теплоемкость;
, кг / м3
- плотность;
t0 - начальная температура точки 0;
t0 - температура этой точки через время
(1)

8. Метод элементарных тепловых балансов

Теплота к точке 0 подводится от точки 1 и точки 2 за
счет теплопроводности:
t1 t0
Q1 0
f
t 2 t0
Q2 0
f
(2)
(3)
Уравнение теплового баланса:
U Q1 0 Q2 0
(4)

9. Метод элементарных тепловых балансов

С учетом (1), (2), (3) уравнение (4) примет вид
c
2
t t
0
0
t t
1
0
t2 t0
t0 t0
t
t
t
t
.
1
0
2
0
2
c
(5)

10. Метод элементарных тепловых балансов

a, м 2 / с - коэффициент температуропроводности.
с
a
2
Fo
- критерий Фурье.
При фиксированном значении шага разбиения по
пространству и по времени критерий Фурье
является величиной постоянной .

11. Метод элементарных тепловых балансов

Уравнение (5) принимает вид:
t0 t0 Fo t1 t2 2t0
(6)
t0
t0 Fo t1 t2 2t0
Fo
1
t0 Fo t1 t2 t0
2
Fo
(7)

12. Метод элементарных тепловых балансов

Из рассмотрения (7) следует, что
будущая температура в
рассматриваемой точке является
функцией настоящей
температуры в этой точке и
настоящих температур в соседних
точках.

13. Метод элементарных тепловых балансов

Частные случаи:
Пусть
1
Fo
2
t1 t2
t0 Fo t1 t2 t0
2
Будущая температура в рассматриваемой точке не
зависит от настоящей температуры в этой точке.

14. Метод элементарных тепловых балансов

1
Fo
3
1
t0 t1 t2 t0 .
3
1
Пусть Fo
4
Пусть
1
t0 t1 t2 2t0 .
4

15. Метод элементарных тепловых балансов

Установлено, что устойчивость решения достигается
лишь при
1
Fo
2
Fo
a
2
1
2

16. Метод элементарных тепловых балансов

Аналогично можно получить решение для двухмерной
задачи:
1
t0 Fo t1 t2 t3 t4 t0
4
Fo

17. Метод элементарных тепловых балансов

Установлено, что устойчивость решения достигается лишь при
1
Fo
4
Fo
a
2
1
4

18. Метод конечных разностей

В этом методе производные,
входящие в дифференциальное
уравнение теплопроводности,
замещаются разностными
соотношениями:
/
t m x tg

19. Метод конечных разностей

.

20. Метод конечных разностей

Приближенные значения производных
Предыдущие значения производных:
MC tm tm 1
t m x
NC
x
Последующие значения производных:
/
KA tm 1 tm
t m x
MA
x
/

21. Метод конечных разностей

Симметричные значения производных:
KB tm 1 tm 1
t m x
NB
2 x
/

22. Метод конечных разностей

Вторая производная:
tm 1 tm tm tm 1 1
t m x
x x
x
//
1
t m x 2 t m 1 tm 1 2tm
x
//

23. Метод конечных разностей

Пусть температурное поле описывается
дифференциальным уравнением:
t
t
a 2
x
2
(1)

24. Метод конечных разностей

Поскольку температура является функцией
двух переменных, удобно выбрать
прямоугольную сетку. Интервал изменения
разделим на одинаковые интервалы x , а
отрезок времени разделим на
равномерные интервалы
Восстановленные перпендикуляры к
координатным осям в точках деления при
пересечении образуют расчетные узловые
точки.
x

25. Метод конечных разностей

Расчетная сетка:

26. Метод конечных разностей

Координаты точек:
1: m x, k ;
m 1 x, k ;
2:
m 1 x, k ;
4: m x, k 1 ;
5: m x, k 1 ;
3:

27. Метод конечных разностей

Заменим производные разностными соотношениями:
t
1
t k 1 ,m tk ,m
1 ;
t
1
2 t m 1 ,k t m 1 ,k 2tm,k 2 ;
2
x
x
2

28. Метод конечных разностей

Формула (1) примет вид:
t
m , k 1
tm , k
1
1
tm, k 1
a
2 t m 1 ,k t m 1 ,k 2tm,k 2 a;
x
1 2 a
a
2 t m 1 ,k t m 1 ,k 2tm,k tm,k ;
x

29. Метод конечных разностей

Или:
tm, k 1
tm, k 1
1
Fo t m 1 ,k t m 1 ,k 2tm,k
tm,k 2 a 1
Fo
1
Fo t m 1 ,k t m 1 ,k tm,k
2 2 a 1 (2)
Fo

30. Метод конечных разностей

Уравнение (2) составляется для каждой узловой
точки включая пограничные точки.
Погрешность расчета уменьшается при 0 .
Устойчивость решения обеспечивается лишь при
условии:
1
1
2 0 Fo
Fo
2
a 1
x
Fo
2
x
2
2a
2

31. Метод конечных разностей

Пусть температурное поле описывается
дифференциальным уравнением вида:
t t
t
a 2 2
x y
2
2
(3)

32. Метод конечных разностей

Заменим производные разностными соотношениями:
t
1 k
k
k
2 t m 1 ,n t m 1 ,n 2tm,n 1 ;
2
x
x
2
t
1 k
k
k
2 tm, n 1 tm, n 1 2tm,n 2 ;
2
y
y
2
t
1 k 1 k
tm , n tm , n 3 ;

33. Метод конечных разностей

Уравнение (3) примет вид:
1 k 1 k
tm , n tm , n 3
a k
k
k
2 t m 1 ,n t m 1 ,n 2tm,n 1a
x
a k
k
k
2 tm, n 1 tm, n 1 2tm,n 2 a
y

34. Метод конечных разностей

1 , 2 , 3 0
Пусть
t
k 1
m,n
t
k
m ,n
a k
k
k
2 t m 1 ,n t m 1 ,n 2tm ,n
x
a k
k
k
2 tm, n 1 tm, n 1 2tm,n
y

35. Метод конечных разностей

Обозначают числа Фурье:
a
a
Fox
;
Fo
y
2
2
x
y
Часто принимают
x y Fox Fo y Fo

36. Метод конечных разностей

Тогда формула примет вид:
tmk ,n1 tmk ,n Fo t km 1 ,n t km 1 ,n 4tmk ,n tmk , n 1 tmk , n 1
t
k 1
m,n
k
k
k
k
k 1
Fo t m 1 ,n t m 1 ,n tm, n 1 tm, n 1 tm,n
4
Fo

37. Метод конечных разностей

Устойчивость решения обеспечивается
при условии:
1
1
4 0 Fo
Fo
4

38. Вопросы к экзамену

Метод элементарных тепловых
балансов.
2. Метод конечных разностей.
1.
English     Русский Rules