Similar presentations:
Методы решения задач теплопроводности
1. Проблемы энерго- и ресурсосбережения
● Приближенные методы решениязадач теплопроводности
2. Приближенные методы решения задач теплопроводности
Точное аналитическое решение позволяетрассчитать температуру в любой точке
тела, однако, не любую задачу
теплопроводности можно решить
аналитически. В том случае, когда тело
имеет сложную форму и коэффициент
теплоотдачи является величиной
переменной, задачу по теплообмену
аналитически решить невозможно. В этом
случае используют приближенные методы
решения задач (численные методы).
3. Приближенные методы решения задач теплопроводности
Дифференциальное уравнениетеплопроводности заменяется
системой алгебраических уравнений.
Температура рассчитывается в
отдельных фиксированных точках
тела, точность расчета зависит от
выбранного шага разбиения тела на
отдельные участки.
4. Приближенные методы решения задач теплопроводности
Наибольшее распространениеполучили два метода расчета:
Метод элементарных тепловых
балансов.
Метод конечных разностей.
5. Метод элементарных тепловых балансов
Тело разбивается на отдельные объемы.Центральным точкам каждого объема присваивается
отдельный номер.
Эти точки обладают определенной массой и
теплоемкостью.
К каждой точке теплота подводится или отводится
через стержни, с помощью которых точки условно
соединены друг с другом.
При этом внутренняя энергия точки может
увеличиваться или уменьшаться.
6. Метод элементарных тепловых балансов
Пусть температурное поле описываетсяуравнением:
2
t
t
a 2
x
Разбиваем стенку на элементарные объемы:
V 1
2
7. Метод элементарных тепловых балансов
Изменение внутренней энергии в рассматриваемойузловой точке:
U c V t0 t0 ,
c, Дж / (кг К ) - удельная массовая теплоемкость;
, кг / м3
- плотность;
t0 - начальная температура точки 0;
t0 - температура этой точки через время
(1)
8. Метод элементарных тепловых балансов
Теплота к точке 0 подводится от точки 1 и точки 2 засчет теплопроводности:
t1 t0
Q1 0
f
t 2 t0
Q2 0
f
(2)
(3)
Уравнение теплового баланса:
U Q1 0 Q2 0
(4)
9. Метод элементарных тепловых балансов
С учетом (1), (2), (3) уравнение (4) примет видc
2
t t
0
0
t t
1
0
t2 t0
t0 t0
t
t
t
t
.
1
0
2
0
2
c
(5)
10. Метод элементарных тепловых балансов
a, м 2 / с - коэффициент температуропроводности.с
a
2
Fo
- критерий Фурье.
При фиксированном значении шага разбиения по
пространству и по времени критерий Фурье
является величиной постоянной .
11. Метод элементарных тепловых балансов
Уравнение (5) принимает вид:t0 t0 Fo t1 t2 2t0
(6)
t0
t0 Fo t1 t2 2t0
Fo
1
t0 Fo t1 t2 t0
2
Fo
(7)
12. Метод элементарных тепловых балансов
Из рассмотрения (7) следует, чтобудущая температура в
рассматриваемой точке является
функцией настоящей
температуры в этой точке и
настоящих температур в соседних
точках.
13. Метод элементарных тепловых балансов
Частные случаи:Пусть
1
Fo
2
t1 t2
t0 Fo t1 t2 t0
2
Будущая температура в рассматриваемой точке не
зависит от настоящей температуры в этой точке.
14. Метод элементарных тепловых балансов
1Fo
3
1
t0 t1 t2 t0 .
3
1
Пусть Fo
4
Пусть
1
t0 t1 t2 2t0 .
4
15. Метод элементарных тепловых балансов
Установлено, что устойчивость решения достигаетсялишь при
1
Fo
2
Fo
a
2
1
2
16. Метод элементарных тепловых балансов
Аналогично можно получить решение для двухмернойзадачи:
1
t0 Fo t1 t2 t3 t4 t0
4
Fo
17. Метод элементарных тепловых балансов
Установлено, что устойчивость решения достигается лишь при1
Fo
4
Fo
a
2
1
4
18. Метод конечных разностей
В этом методе производные,входящие в дифференциальное
уравнение теплопроводности,
замещаются разностными
соотношениями:
/
t m x tg
19. Метод конечных разностей
.20. Метод конечных разностей
Приближенные значения производныхПредыдущие значения производных:
MC tm tm 1
t m x
NC
x
Последующие значения производных:
/
KA tm 1 tm
t m x
MA
x
/
21. Метод конечных разностей
Симметричные значения производных:KB tm 1 tm 1
t m x
NB
2 x
/
22. Метод конечных разностей
Вторая производная:tm 1 tm tm tm 1 1
t m x
x x
x
//
1
t m x 2 t m 1 tm 1 2tm
x
//
23. Метод конечных разностей
Пусть температурное поле описываетсядифференциальным уравнением:
t
t
a 2
x
2
(1)
24. Метод конечных разностей
Поскольку температура является функциейдвух переменных, удобно выбрать
прямоугольную сетку. Интервал изменения
разделим на одинаковые интервалы x , а
отрезок времени разделим на
равномерные интервалы
Восстановленные перпендикуляры к
координатным осям в точках деления при
пересечении образуют расчетные узловые
точки.
x
25. Метод конечных разностей
Расчетная сетка:26. Метод конечных разностей
Координаты точек:1: m x, k ;
m 1 x, k ;
2:
m 1 x, k ;
4: m x, k 1 ;
5: m x, k 1 ;
3:
27. Метод конечных разностей
Заменим производные разностными соотношениями:t
1
t k 1 ,m tk ,m
1 ;
t
1
2 t m 1 ,k t m 1 ,k 2tm,k 2 ;
2
x
x
2
28. Метод конечных разностей
Формула (1) примет вид:t
m , k 1
tm , k
1
1
tm, k 1
a
2 t m 1 ,k t m 1 ,k 2tm,k 2 a;
x
1 2 a
a
2 t m 1 ,k t m 1 ,k 2tm,k tm,k ;
x
29. Метод конечных разностей
Или:tm, k 1
tm, k 1
1
Fo t m 1 ,k t m 1 ,k 2tm,k
tm,k 2 a 1
Fo
1
Fo t m 1 ,k t m 1 ,k tm,k
2 2 a 1 (2)
Fo
30. Метод конечных разностей
Уравнение (2) составляется для каждой узловойточки включая пограничные точки.
Погрешность расчета уменьшается при 0 .
Устойчивость решения обеспечивается лишь при
условии:
1
1
2 0 Fo
Fo
2
a 1
x
Fo
2
x
2
2a
2
31. Метод конечных разностей
Пусть температурное поле описываетсядифференциальным уравнением вида:
t t
t
a 2 2
x y
2
2
(3)
32. Метод конечных разностей
Заменим производные разностными соотношениями:t
1 k
k
k
2 t m 1 ,n t m 1 ,n 2tm,n 1 ;
2
x
x
2
t
1 k
k
k
2 tm, n 1 tm, n 1 2tm,n 2 ;
2
y
y
2
t
1 k 1 k
tm , n tm , n 3 ;
33. Метод конечных разностей
Уравнение (3) примет вид:1 k 1 k
tm , n tm , n 3
a k
k
k
2 t m 1 ,n t m 1 ,n 2tm,n 1a
x
a k
k
k
2 tm, n 1 tm, n 1 2tm,n 2 a
y
34. Метод конечных разностей
1 , 2 , 3 0Пусть
t
k 1
m,n
t
k
m ,n
a k
k
k
2 t m 1 ,n t m 1 ,n 2tm ,n
x
a k
k
k
2 tm, n 1 tm, n 1 2tm,n
y
35. Метод конечных разностей
Обозначают числа Фурье:a
a
Fox
;
Fo
y
2
2
x
y
Часто принимают
x y Fox Fo y Fo
36. Метод конечных разностей
Тогда формула примет вид:tmk ,n1 tmk ,n Fo t km 1 ,n t km 1 ,n 4tmk ,n tmk , n 1 tmk , n 1
t
k 1
m,n
k
k
k
k
k 1
Fo t m 1 ,n t m 1 ,n tm, n 1 tm, n 1 tm,n
4
Fo
37. Метод конечных разностей
Устойчивость решения обеспечиваетсяпри условии:
1
1
4 0 Fo
Fo
4
38. Вопросы к экзамену
Метод элементарных тепловыхбалансов.
2. Метод конечных разностей.
1.