Кручение прямого бруса

1. Кручение прямого бруса

Кручение – это вид деформации, характеризующийся взаимным
поворотом поперечных сечений под действием крутящих моментов,
действующих в этих сечениях.
При кручении в поперечных сечениях возникают только внутренние
крутящие моменты.
Mx 0
Остальные пять силовых факторов равны нулю.

2. Кручение круглого вала. Правило знаков

Рассмотрим вал, нагруженный системой внешних крутящих моментов и
находящийся в равновесии.
M4
M2
X
M3
M1

3. Кручение. Метод сечений

M4
M2
Mx
X
X
Mx
M3
x
Запишем условие равновесия левой части вала:
M4 M3 M2 M x 0 ;
M x M 4 M 3 M 2 M1 ,
так как вал находится в равновесии, т.е.
M 4 M 3 M 2 M1 0
M1

4. Построение эпюр крутящих моментов

Практическое правило. Крутящий момент M x в любом поперечном
сечении вала равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов,
действующих с одной стороны от сечения, взятой с обратным знаком.
Рассмотрим вал, находящийся в равновесии:
m 4m 2m m 0
0
m
4m
2m
m
x1
x2
x3
x4
x

5. Построение эпюр крутящих моментов (продолжение)

Воспользуемся практическим правилом.
M x m
M x m 4 m 3m
M x m 4m 2m m
m
4m
x1
0
Mx
x2
x1 x x 2
x2 x x3
x3 x x4
при
при
при
2m
x3
m
x4
3m
m
0
x
m
x

6. Напряжения и деформации при кручении

Задача решается при следующих допущениях:
1. Вал остается прямолинейным. Его ось не искривляется.
2. Справедлива гипотеза плоских сечений: Поперечное сечение вала,
нагруженного крутящими моментами, поворачивается в своей
плоскости, как жесткий диск. Радиусы сечения не искривляются.
3. Расстояния между поперечными сечениями вала не изменяются,
т.е. длина бруса при кручении остается неизменной.

7. Система координат

r
M1
t
x
Mx
Ось t - это касательная к окружности в точке пересечения
радиуса с окружностью.
Из принятых допущений следует, что все деформации, за
исключением деформации сдвига
g xt , равны нулю.
При кручении изменяются прямые углы между направлениями
g xt g tx 0 .
xt tx 0
xи t

8. Кольцевой элемент

Двумя плоскостями, нормальными к оси бруса, вырежем диск
толщиной dx . Двумя соосными цилиндрическими поверхностями,
отстоящими на d r , вырежем из диска кольцо радиусом r и
толщиной dr.
dr
Mx
Mx
dx
r

9. Деформация кольца

bb g xt dx rd
d
g xt r
.
dx
(5.1)

10. Деформации и напряжения при кручении

Введем относительный угол закручивания
d
.
dx
(5.2)
Тогда
g xt r .
(5.3)
Теперь, с учетом закона Гука xt Gg xt , запишем
xt Gr .
(5.4)
Из уравнений (5.3) и (5.4) следует, что касательные напряжения xt
и сдвиги g xt прямо пропорциональны расстоянию r от оси вала до
рассматриваемой точки сечения.

11. Деформации и напряжения, продолжение

12. Вычисление крутящего момента в сечении

dM x xt dFr
Суммарный крутящий момент равен
M x r xt dF Gr 2 dF GI p ,
F
где
(5.5)
F
I p - полярный момент инерции сечения, равный
I p r 2 dF .
F
(5.6)

13. Вычисление угла закручивания вала

d M x
,
dx GI p
(5.7)
GI p - жесткость сечения при кручении.
L
M x dx
,
GI
p
0
M xL
GI p .
(5.8)
(5.9)

14. Вычисление напряжений при кручении

xt M x
G
r
Ip
Mx
xt
r .
Ip
(5.10)
Mx
max M x
xt
R
Ip
Wp ,
(5.11)
W p - полярный момент сопротивления кручению
Wp
Ip
R
.
(5.12)

15. Эпюра касательных напряжений

16. Полярные моменты инерции

dF 2 rdr
R
I p r dF 2 r dr
2
F
Wp
Ip
R
Для трубы
0
3
R
2
3
R 4
2
D 4
(5.13)
32 .
D 3
16
I
p
(5.14)
.
D4 d 4
W p
32
,
D4 d 4
16 D
(5.15)
.
(5.16)

17. Условный предел текучести при кручении

g xt r
D
D 0,3
g 0,3 0,3
2
2 L
6 L 3
0,3 10
D
0,3
g 0,3 0,003
M 0,3
Wp .

18. Расчет на прочность и жесткость при кручении

Расчет на прочность
0,3
n
max
Расчет на жесткость
или
,
и
где
- допускаемый в конструкции абсолютный или
относительный угол закручивания.

19. Кручение эллиптического вала

a b

20. Напряжения при кручении эллиптического вала – трехмерный график

T

21. Напряжения при кручении эллиптического вала – контурный график

T

22. Кручение вала прямоугольного сечения

a b

23. Напряжения при кручении прямоугольного вала – трехмерный график

T1

24. Напряжения при кручении прямоугольного вала –контурный график

T1

25. Максимальные напряжения в прямоугольном сечении при кручении

Максимальные касательные напряжения возникают по
контуру в середине большей стороны и равны
где
На контуре середины меньшей стороны действует
напряжение
Деформация равна
где