Similar presentations:
Кручение. Лекция 5
1. Лекция 5. Кручение
Кручение – это вид деформации, характеризующийся взаимнымповоротом поперечных сечений под действием крутящих моментов,
действующих в этих сечениях.
При кручении в поперечных сечениях возникают только внутренние
крутящие моменты.
Mx 0
Остальные пять силовых факторов равны нулю.
2. Кручение круглого вала. Правило знаков
Рассмотрим вал, нагруженный системой внешних крутящих моментов инаходящийся в равновесии.
M4
M2
X
M3
M1
3. Кручение. Метод сечений
M4M2
Mx
X
X
M3
x
Mx
Запишем условие равновесия левой части вала:
M4 M3 M2 M x 0 ;
M x M 4 M 3 M 2 M1 ,
так как вал находится в равновесии, т.е.
M 4 M 3 M 2 M1 0
M1
4. Построение эпюр крутящих моментов
Практическое правило. Крутящий момент M x в любом поперечномсечении вала равен алгебраической сумме внешних крутящих моментов,
действующих с одной стороны от сечения, взятой с обратным знаком.
Рассмотрим вал, находящийся в равновесии:
m 4m 2m m 0
m
0
x1
4m
x2
2m
x3
m
x4
x
5. Построение эпюр крутящих моментов (продолжение)
Воспользуемся практическим правилом.M x m
M x m 4m 3m
M x m 4m 2m m
m
4m
x1
0
Mx
x2
2m
x3
при
при
при
m
x4
x
3m
m
0
0 x x1
x1 x x2
x 2 x x3
m
x
6. Напряжения и деформации при кручении
Задача решается при следующих допущениях:1. Вал остается прямолинейным. Его ось не искривляется.
2. Справедлива гипотеза плоских сечений: Поперечное сечение вала,
нагруженного крутящими моментами, поворачивается в своей
плоскости, как жесткий диск. Радиусы сечения не искривляются.
3. Расстояния между поперечными сечениями вала не изменяются,
т.е. длина бруса при кручении остается неизменной.
7. Система координат
rt
Mx
x
M1
Ось t - это касательная к окружности в точке пересечения
радиуса с окружностью.
Из принятых допущений следует, что все деформации, за
исключением деформации сдвига xt , равны нулю.
При кручении изменяются прямые углы между направлениями x и t
xt tx 0 .
xt tx 0
8. Кольцевой элемент
Двумя плоскостями, нормальными к оси бруса, вырежем дисктолщиной dx . Двумя соосными цилиндрическими плоскостями,
отстоящими на
толщиной
d
d
, вырежем из диска кольцо радиусом
.
d
dx
и
9. Деформация кольца
bb xt dx dd
xt
.
dx
(5.1)
10. Деформации и напряжения при кручении
Введем относительный угол закручиванияd
dx
.
(5.2)
Тогда
xt .
(5.3)
Теперь, с учетом закона Гука xt G xt , запишем
xt G .
(5.4)
Из уравнений (5.3) и (5.4) следует, что касательные напряжения xt
и сдвиги xt прямо пропорциональны расстоянию
рассматриваемой точки сечения.
от оси вала до
11. Деформации и напряжения, продолжение
12. Вычисление крутящего момента в сечении
dM x xt dFСуммарный крутящий момент равен
M x xt dF G 2 dF GI p ,
F
где
Ip
(5.5)
F
- полярный момент инерции сечения, равный
I p 2 dF .
F
(5.6)
13. Вычисление угла закручивания вала
d M x,
dx GI p
(5.7)
GI p - жесткость сечения при кручении.
L
M x dx
,
GI
p
0
M xL
GI p .
(5.8)
(5.9)
14. Вычисление напряжений при кручении
xt M xG
Ip
Mx
xt
.
Ip
(5.10)
Mx
max M x
xt
R
Ip
Wp ,
(5.11)
Wp
- полярный момент сопротивления кручению
Wp
Ip
R
.
(5.12)
15. Эпюра касательных напряжений
16. Полярные моменты инерции
dF 2 dR
I p dF 2 d
2
F
Wp
Ip
R
Для трубы
0
3
R
2
3
R 4
2
D 4
(5.13)
.
32
D 3
16
I
p
(5.14)
.
D4 d 4
W p
32
,
D4 d 4
16 D
(5.15)
.
(5.16)
17. Условный предел текучести при кручении
xt0,3
D
D 0,3
0,3 0,3
2
2 L
6 L 3
10
D
0,3
0,3 0,003
M 0,3
Wp
.
18. Расчет на прочность и жесткость при кручении
Расчет на прочность0,3
n
max
Расчет на жесткость
или
,
и
где
- допускаемый в конструкции абсолютный или
относительный угол закручивания.