Сопротивление материалов. Занятие 2.3.3. Решение задач на расчет стержней, работающих на кручение

1. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ Занятие 2.3.3. Решение задач на расчет стержней, работающих на кручение

Кафедра Механики и Инженерной графики
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Занятие 2.3.3. Решение задач
на расчет стержней,
работающих на кручение

2.

Кафедра Механики и Инженерной графики
Учебные вопросы:
1.Понятие кручения.
2.Решение задач на расчет стержней,
работающих на кручение.

3.

Кафедра Механики и Инженерной графики
Кручение – это такой вид деформации бруса,
при котором в его поперечных сечениях
возникает единственный внутренний силовой
фактор крутящий момент (Мк).
Деформация кручения возникает при
нагружении бруса парами сил. Моменты этих
пар называются скручивающими моментами
(М).

4.

Кафедра Механики и Инженерной графики

5.

Кафедра Механики и Инженерной графики
При кручении бруса в его поперечных сечениях возникают только
касательные напряжения. При этом в центре бруса касательные
напряжения равны нулю, а в точках контура касательные напряжения –
максимальны!
Мк d
max
Ip 2
Ip
d4
32
0.1 d 4
Отношение полярного момента инерции к расстоянию от центра тяжести
сечения до наиболее удаленной его точки называется полярным моментом
сопротивления:
Ip
2 Ip
Wp
d
d
2
max M k
Wp
Wp
d3
16
0.2 d 3

6.

Кафедра Механики и Инженерной графики
Если крутящий момент во всех поперечных сечениях бруса имеет
одно и то же значение, а размеры сечения постоянны по всей длине,
то полный угол закручивания равен:
Mk l
G
I
p
где G·· I - жесткость сечения при кручении (Н· см , кН· м ).
2
2
p
Условие прочности при кручении:
max
M kmax
Wp
где k - допускаемое напряжение при кручении, зависящее от свойств
материала бруса и от принятого коэффициента запаса прочности.
k

7. При расчете скручиваемых брусьев на прочность возможны следующие три вида задач:

Кафедра Механики и Инженерной графики
При расчете скручиваемых брусьев на прочность
возможны следующие три вида задач:
- проверка напряжений (проверочный расчет): max k
- подбор сечения бруса (проектный
расчет):
Wp
- определение допускаемой нагрузки:
Условие жесткости при кручении:
M kmax
k
M kmax W p k
max
M
0max k 0
G Ip
где max - наибольший относительный угол закручивания бруса,
- допускаемый относительный угол закручивания.

8. ЗАДАЧА 1. Построить эпюры Мк и , из условия прочности вычислить d.

Кафедра Механики и Инженерной графики
ЗАДАЧА 1.
Построить эпюры Мк и max , из условия прочности
вычислить d.

9.

Кафедра Механики и Инженерной графики
Вычислим по участкам max
I участок:
II участок:
III участок:
IV участок:
Обозначим
I
max
II
max
III
max
IV
max
M kI
m
I
Wp
d3
:
5,09
16
M kII
m
II
d3
Wp
m
d3
5,09
16
M kIII
m
III
(1,5 d )3
Wp
M kIV
5m
IV
(1,5 d )3
Wp
m
K и построим эпюру.
3
d
m
d3
1,51
m
d3
16
m
7,55 3
d
16

10.

Кафедра Механики и Инженерной графики

11.

Кафедра Механики и Инженерной графики
Диаметр стержня вычислим из условия прочности:
max
M kmax
Wp
k
Для круглого сечения:
Wp
d
16
3
0,2 d d
3
3
M kmax
0,2 k
1,71 3
m
k

12. ЗАДАЧА 2. Построить эпюры Мк и , из условия прочности найти d.

Кафедра Механики и Инженерной графики
ЗАДАЧА 2.
Построить эпюры Мк и max , из условия прочности найти d.

13.

Кафедра Механики и Инженерной графики
Решение:
Разобьем брус на три участка:
I участок: Мк=m
II участок: Мк=m- 2m= - m
III участок: Мк=m- 2m- 0,35m= - 1,35m
Вычислим
I участок:
II участок:
III участок:
I
max
max
M kI
m
I
Wp
d3
по участкам:
5,1
16
m
d3
II
M
m
II
max
kII
(1,1 d )3
Wp
III
max
3,8
m
d3
16
M kIII
1,35m
III
(1,1 d )3
Wp
5,17
16
m
d3

14.

Кафедра Механики и Инженерной графики

15.

Кафедра Механики и Инженерной графики
Диаметр стержня вычислим из условия прочности:
max
M kmax
Wp
k
Для круглого сечения:
d
3
M kmax
1,35m
m
3
Wp
0,2 d d
3
1,89
k
16
0,2 k
0,2
3
3

16. Задача 3. К стальному валу приложены скручивающие моменты: М1, M2, M3, M4. Требуется: 1) построить эпюру крутящих моментов; 2)

Кафедра Механики и Инженерной графики
Задача 3.
К стальному валу приложены скручивающие моменты: М1, M2,
M3, M4. Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов;
2) при заданном значении определить диаметр вала из расчета
на прочность и округлить его величину до ближайшей большей,
соответственно равной: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;
3) построить эпюру углов закручивания;
4) найти наибольший относительный угол закручивания.
Дано: М1 = М3 = 2 кНм, М2 = М4 = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м,
[ ] = 80 МПа.

17.

Кафедра Механики и Инженерной графики
Решение:
I участок (КД):
M кр1 M 4 1,6 кНм,
II участок (СД): M кр 2 M 4 M 3 1,6 2 0,4 кНм,
III участок (СВ): M кр 3 M 4 M 3 M 2 1,6 2 1,6 1,2 кНм,
IV участок (ВА):
M кр 4 M 4 M 3 M 2 M 1 1,6 2 1,6 2 0,8 кНм.

18.

Кафедра Механики и Инженерной графики

19.

Кафедра Механики и Инженерной графики
2. При заданном значении [ ] определим диаметр вала из расчета
на прочность.
M kmax
Условие прочности при кручении имеет вид:
max
Wp
k
Диаметр вала определяется по формуле:
d 3
16W
3
M кр
16
16
1
,
6
10
Нм
max
3
3
0,0467 м 46,7 мм
6
2
[ ]
3,14 80 10 Н / м
Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.
3. Построим эпюру углов закручивания.
Угол закручивания участка вала длиной l постоянного
поперечногосечения определяется по формуле:
Mk l
G Ip

20.

Кафедра Механики и Инженерной графики
где GJ - жесткость сечения вала при кручении.
E
2 1011
G
0,77 1011 Н/м2
2(1 ) 2(1 0,3)
3,14 (5 10 2 ) 4 3,14 5 4 10 8
J
61,33 10 8
32
32
32
d 4
Вычислим углы закручивания сечений В, С, D и К относительно
закрепленного конца вала (сечения А):
B
M кр 4 a
GJ
0,8 10 3 Нм 1,2 м
0,0203 рад.
3
2
47,2 10 Нм

21.

Кафедра Механики и Инженерной графики
C B
D C
M кр3 b
GJ
M кр 2 c
GJ
K D
1,2 10 3 Нм 1,2 м
0,0203
0,0102
47,2 10 3 Нм 2
0,4 10 3 Нм 1,2 м
0,0102
0,0001
3
2
47,2 10 Нм
M кр1 a
GJ
рад
рад
1,6 103 Нм 1,2 м
0,0001
0,0406
3
2
47,2 10 Нм
4. Найдем наибольший относительный угол закручивания:
D K
a
M кр1
GJ
1,6 10 3 Нм
0,0339
3
2
47,2 10 Нм
рад/м
рад

22.

Кафедра Механики и Инженерной графики