Основные формулы площади треугольника

1. Основные формулы площади треугольника

2. Теорема

Площадь треугольника равна половине
произведения стороны и проведённой
к ней высоты.
В
А
С
К
Дано : АВС ; ВК АС; К АС.
Доказать : S ABC
1
AC BK
2

3. Доказательство

Рассмотрим параллелограмм АВDC
D
B
A
C
K
Треугольники АВС и DCB равны. Следовательно их
площади равны.
SABC=0,5*SABDC=0,5*AC*BK.

4. Следствия

1.Площадь треугольника равна произведению
средней линии и перпендикулярной ей
высоты.
В
N
М
А
SABC= MN*BH
Н
С

5. Следствия

2.
А
S ABC
В
Площадь треугольника равна
половине произведения двух его
сторон и синуса угла между ними
С
1
1
AB AC sin BAC bc sin
2
2

6. Следствия

3. Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения его катетов
1
S ab
2
b
а

7. Следствия

4. Площадь равностороннего треугольника
а
а
2
1
a 3 a 3
S a
2
2
4

8. Площадь треугольника и радиус описанной и вписанной окружностей

S = pr; p – полупериметр треугольника
abc
S
4R
В
В
R
А
r
А
С
С

9. Упражнения

1. Вычислите площадь треугольника со
стороной 5 3 см и высотой 3 см
Ответ: Если высота проведена к данной
стороне, то S = 7,5 cм2, если – нет, то
определить нельзя.

10. Упражнения

2. Вычислите площадь прямоугольного
треугольника с катетами 80 м, 45 м
Ответ: 30 м2
3. Вычислите площадь прямоугольного
треугольника АВС, если даны проекции его
катетов на гипотенузу.
С
Ответ:
h = 24 ; S = 600
А 18
32
В

11. Упражнения

4. Найдите площадь прямоугольного
треугольника с данной гипотенузой и
острым углом.
с
Ответ:
s 0,5c sin cos
2

12. Упражнения

5. Найдите площадь равнобедренного
треугольника со стороной а и углом
Рассмотреть 4 случая.
А)
Б)
В)
Г)
а
а
а
а
Ответ:A) 0,25a2 tg ; Б) а2 sin2 ; B) 0,25a2 ctg0,5
Г) 0,5а2 sin

13. Упражнения

6. Найдите площадь равностороннего
треугольника, если даны, а) h, б) R, в) r.
B
Ответ: а) S h
o
R
A
r
H
C
3
3
2
3
R
3
б) S
4
в) S 3r 2 3

14. Упражнения

6. Найдите площадь данного треугольника
В
с
А
С
Указание: примените
теорему синусов
c 2 sin cos
S
2 sin( )

15. Площадь – вспомогательная величина в задачах

№1
В
3
А
Дано: ∆АВС,
АВ = 3, ВС = 4
S∆АВС = 3 3
Найти АС
4
С
Решение:
S ABC AB BC sin ABC ABC 600 или ABC 1200
по теореме косинусов находим АС. АС 13 или АС 37

16. Площадь – вспомогательная величина в задачах

№2 Стороны треугольника имеют
длины 4 см, 6 см, и 8 см, одна из
высот равна 5см. Найдите остальные
высоты.
Указание: данная высота проведена к
сторон 4см, т.к. в противном случае
образуется прямоугольный
треугольник, у которого катет больше
1
гипотенузы. Ответ: 3 см; 2,5 см
3

17. Задачи практического содержания

№1
7м
тюльпаны
ромашки
6м
гвоздики
6м
На клумбе прямоугольной формы для создания узора
необходимо посадить ромашки, тюльпаны и
гвоздики. По норме на 1м2 необходимо высадить
50 луковиц тюльпанов. Определите, сколько
луковиц тюльпанов необходимо высадить на
указанную клумбу.

18. Задачи практического содержания

№2
600
Основание дома имеет форму
прямоугольника длиной 10 м и шириной 6 м
Оба ската крыши наклонены под углом 600 к
земле. Найдите площадь всей крыши дома.

19. Задача С4 ЕГЭ 2010

Расстояние между параллельными
прямыми равно 4. На одной из них
лежит точка С, а на другой – точки
А и В, причём треугольник АВС –
остроугольный равнобедренный, и его
боковая сторона равна 5.
Найдите радиус окружности, вписанной
в треугольник АВС.