Площадь треугольника. Теоремы, следствия и задачи

1. Площадь треугольника

26.02.2019
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Полезные теоремы, следствия и задачи.
Харламова Е.А. учитель математики
ГОУ СОШ № 1028
1

2. Вспомните ответы на вопросы

26.02.2019
ВСПОМНИТЕ ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ
1) Сформулируй понятие площади
геометрической фигуры.
2) Сформулируй основные свойства
площадей геометрических фигур.
3) Как можно вычислить площадь
прямоугольника и параллелограмма?
2

3. Площадь геометрической фигуры

26.02.2019
ПЛОЩАДЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ
Площадью геометрической фигуры
называется величина,
характеризующая размер данной фигуры.
3

4. Основные свойства площадей геометрических фигур

26.02.2019
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
- Любая плоская геометрическая фигура
имеет площадь.
- Эта площадь – единственная.
- Площадь любой геометрической фигуры
выражается положительным числом.
- Площадь квадрата со стороной,равной
единице,равна единице.
- Площадь фигуры равна сумме площадей
частей,на которые она разбивается.
4

5. Площадь прямоугольника

26.02.2019
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА
Площадь прямоугольника равна
произведению двух его соседних сторон.
а
S=а·в
в
5

6. Площадь параллелограмма

26.02.2019
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Площадь параллелограмма равна
произведению его стороны на высоту,
опущенную на эту сторону
h
S=а·h
а
6

7. Площадь параллелограмма

26.02.2019
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Площадь параллелограмма равна
произведению двух его соседних сторон
на синус угла между ними.
В
С
а
А
в
Д
S= а · в · sin А
7

8. Площадь треугольника

26.02.2019
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема
Площадь треугольника равна
половине произведения его стороны
на высоту, опущенную на эту сторону.
В
S= ½ AC · ВД
А
Д
С
8

9. Доказательство теоремы

26.02.2019
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ
В
А
К
Д
С
S(АВС)= ½ S(АВДС)=1/2 АС · ВК
9

10. Следствия из теоремы

26.02.2019
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ
Попробуй доказать самостоятельно
следующие следствия из теоремы:
10

11. Следствие 1

26.02.2019
СЛЕДСТВИЕ 1
Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов.
В
С
А
S= ½ ВС · АС
11

12. Следствие 2

26.02.2019
СЛЕДСТВИЕ 2
Площадь тупоугольного треугольника
равна произведению любой из его сторон
на высоту, опущенную на прямую,
содержащую эту сторону.
В
А
С
Д
12

13. Следствие 3

26.02.2019
СЛЕДСТВИЕ 3
Площадь треугольника равна
половине произведения двух любых его сторон
на синус угла между ними.
В
А
С
S= ½ АВ · АС · sin А
13

14. Следствие 4

26.02.2019
СЛЕДСТВИЕ 4
Площадь равностороннего треугольника
вычисляется по формуле:
S
a
2
3
4
где а – сторона треугольника
14

15. Сначала реши легкие задачки

26.02.2019
СНАЧАЛА РЕШИ ЛЕГКИЕ ЗАДАЧКИ
1. Найти площадь треугольника, основание
которого равно 16 см,
а высота, опущенная на это основание,
равна 20 см.
2. Найти площадь равностороннего
треугольника со стороной 6 см.
3. Найти площадь прямоугольного
треугольника, катеты которого равны
9 см и 12 см.
15

16. Поясняющие чертежи к этим легким задачкам

26.02.2019
ПОЯСНЯЮЩИЕ ЧЕРТЕЖИ
К ЭТИМ ЛЕГКИМ ЗАДАЧКАМ
2
1
6
20
16
3
9
12
16

17. Теперь реши задачки потруднее

26.02.2019
ТЕПЕРЬ РЕШИ ЗАДАЧКИ ПОТРУДНЕЕ
1. В равнобедренном треугольнике боковая
сторона равна 13 см, а основание равно
10 см. Найдите площадь треугольника.
2. Дан равносторонний треугольник со
стороной а. Найти площадь треугольника,
составленного из средних линий данного
треугольника.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника
равна 10 см, а один из его катетов
равен 8 см. Найдите площадь этого
прямоугольного треугольника
17

18. Теперь реши самые трудные задачи

26.02.2019
ТЕПЕРЬ РЕШИ САМЫЕ ТРУДНЫЕ ЗАДАЧИ
1. Боковая сторона равнобедренного
треугольника равна a, а угол при
основании равен . Найдите площадь
треугольника.
2. Высота равностороннего треугольника
равна h. Вычислите его площадь.
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза
равна с, а один из острых углов равен .
Найдите площадь треугольника.
18

19. Ответы к легким задачкам

26.02.2019
ОТВЕТЫ К ЛЕГКИМ ЗАДАЧКАМ
1. 160 см2
2. 9 см 2
3. 54 см 2
19

20. Ответы к более трудным задачкам

26.02.2019
ОТВЕТЫ К БОЛЕЕ ТРУДНЫМ ЗАДАЧКАМ
1. 60 см 2
2. а 16 3
3. 24 см 2
2
20

21. Ответы к самым трудным задачкам

26.02.2019
ОТВЕТЫ К САМЫМ ТРУДНЫМ ЗАДАЧКАМ
1. ½ a2sin2
2. h3 3
3. 1 c 2 sin cos .
2
2
21

22. Это интересно!

26.02.2019
ЭТО ИНТЕРЕСНО!
Определение площадей геометрических фигур
- одна из древнейших практических задач.
Правильный подход к их решению
был найден не сразу.
Один из самых простых и доступных
способов вычисления площадей был
открыт Евклидом. При вычислении
площадей он использовал простой
прием, называемый методом
разбиения.
22

23.

26.02.2019
Например, мы уже знаем,
как можно вычислить площадь
квадрата, прямоугольника и
параллелограмма, а нам нужно
вычислить площадь
произвольного треугольника.
Применим следующий алгоритм:
23

24.

26.02.2019
-Отметим на одной из сторон
треугольника точку, которая
является серединой этой стороны.
-Проведем через эту точку
прямую, параллельную одной из
сторон этого треугольника.
-Прямая разбивает этот
треугольник на малый треугольник и
трапецию.
-Переставим меньший
треугольник к трапеции так, чтобы
получился параллелограмм.
24

25. Поясняющий чертеж

26.02.2019
ПОЯСНЯЮЩИЙ ЧЕРТЕЖ
25

26.

26.02.2019
Исходный треугольник и полученный параллелограмм
являются равносоставными фигурами, а значит и
равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры это фигуры, имеющие равные площади. Значит
площадь исходного треугольника равна площади
полученного параллелограмма.
26

27.

26.02.2019
Площадь параллелограмма равна произведению
его основания на высоту, а высота исходного
треугольника по построению в 2 раза больше высоты
параллелограмма. Значит площадь треугольника равна
половине произведения его основания на высоту!
27

28. И в заключении…

26.02.2019
И В ЗАКЛЮЧЕНИИ…
Надеюсь, что эта информация
поможет вам хорошо
разобраться в этой теме, а
значит получить на контрольной
работе только «5»!
Благодарю за внимание !
28